《高中数学第三单元导数及其应用3_3_3导数的实际应用课件新人教b版选修1_1》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学第三单元导数及其应用3_3_3导数的实际应用课件新人教b版选修1_1(47页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、第三章 导数及其应用,3.3.3 导数的实际应用,1.能利用导数解决实际问题. 2.提高综合运用导数知识解题的能力,培养化归与转化意识.,学习目标,题型探究,知识梳理,内容索引,当堂训练,知识梳理,知识点 生活中的优化问题,1.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为 . 2.利用导数解决优化问题的实质是求函数最值. 3.解决优化问题的基本思路,上述解决优化问题的过程是一个典型的 过程.,优化问题,数学建模,题型探究,类型一 几何中的最值问题,命题角度1 平面几何中的最值问题 例1 某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场. 如图,圆形广场的圆心为O,半径为100
2、 m,并与北京 路一边所在直线l相切于点M.点A为上半圆弧上一点,过 点A作l的垂线,垂足为点B.市园林局计划在ABM内进 行绿化.设ABM的面积为S(单位:m2),AON(单 位:弧度). (1)将S表示为的函数;,解答,BMAOsin 100sin , ABMOAOcos 100100cos ,(0,),,5 000(sin sin cos ),(0,).,(2)当绿化面积S最大时,试确定点A的位置,并求最大面积.,解答,S5 000(2cos2cos 1)5 000(2cos 1)(cos 1),,当变化时,S,S的变化情况如下表:,此时AB150 m, 即点A到北京路一边l的距离为15
3、0 m.,平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形,主要研究与面积相关的最值问题,一般将面积用变量表示出来后求导数,求极值,从而求最值.,反思与感悟,跟踪训练1 如图所示,在二次函数f(x)4xx2的图象与x轴所围成图形中有一个内接矩形ABCD,求这个矩形面积的最大值.,解答,设点B的坐标为(x,0),且0x2, f(x)4xx2图象的对称轴为x2, 点C的坐标为(4x,0), |BC|42x,|BA|f(x)4xx2. 矩形面积为y(42x)(4xx2)16x12x22x3, y1624x6x22(3x212x8),,命题角度2 立体几何中的最值问题 例2 请你设计一个包装盒如
4、图所示,ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得ABCD四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E,F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设AEFBx cm. (1)若广告商要求包装盒侧 面积S最大,则x应取何值?,解答,当且仅当x30x,即x15时,等号成立, 所以若广告商要求包装盒侧面积S最大,则x15.,(2)若广告商要求包装盒容积V最大,则x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.,解答,(1)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积,并在此基础上解决与实际相关的问题. (2
5、)解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式,如果已知图形是由简单几何体组合而成,则要分析其组合关系,将图形进行拆分或组合,以便简化求值过程.,反思与感悟,跟踪训练2 周长为20 cm的矩形,绕一条边旋转成一个圆柱,则圆柱 体积的最大值为_ cm3.,答案,解析,设矩形的长为x cm,则宽为(10x)cm (0x10). 由题意可知,圆柱体积为Vx2(10x)10x2x3. V20x3x2.,类型二 实际生活中的最值问题,解答,所以a2.,(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.,解答,210(x3)(x6)2,3x6. 从而f(x)
6、10(x6)22(x3)(x6) 30(x4)(x6).,于是,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:,由上表可得x4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点. 所以当x4时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于42. 答 当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.,反思与感悟,解决此类有关利润的实际应用题,应灵活运用题设条件,建立利润的函数关系,常见的基本等量关系有: (1)利润收入成本. (2)利润每件产品的利润销售件数.,跟踪训练3 某集团为了获得更大的收益,每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查,每年投入广告费t(百万元),可增加销售额t
7、25t(百万元)(0t3). (1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内,则应投入多少广告费,才能使该公司由此获得的收益最大?,解答,设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)(百万元),则有f(t)(t25t)tt24t(t2)24(0t3),当t2时,f(t)取得最大值4,即当投入2百万元的广告费时,该公司由此获得的收益最大.,解答,解答,设隔热层厚度为x cm,,又C(0)8,所以k40,,而隔热层建造费用为C1(x)6x. 所以隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为,(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值.,解答,当00, 故x5为f(x)的极小值点也
8、为最小值点,,答 当隔热层修建5 cm厚时,总费用达到最小值为70万元.,反思与感悟,(1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一,解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象.正确书写函数表达式,准确求导,结合实际作答. (2)利用导数的方法解决实际问题,当在定义区间内只有一个点使f(x)0时,如果函数在这点有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以知道在这个点取得最大(小)值.,跟踪训练4 现有一批货物由海上从A地运往B地,已知轮船的最大航行速度为35海里/时,A地至B地之间的航行距离约为500海里,每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成,轮船每小时的燃料费与轮船速度的
9、平方成正比(比例系数为0.6),其余费用为每小时960元. (1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/时)的函数;,解答,(2)为了使全程运输成本最小,轮船应以多大速度行驶?,解答,令y0,解得x40或x40(舍去). 因为函数的定义域为(0,35, 所以函数在定义域内没有极值点. 又当0x35时,y0,,答 为了使全程运输成本最小,轮船应以35海里/时的速度行驶.,当堂训练,1,2,3,4,5,x0,yx281(9x)(9x), 令y0,解得x9,又当x(0,9)时,y0, x(9,)时,y0, 当x9时函数取最大值,故选C.,答案,解析,1,2,3,4,5,答案,解析,1,2,3,4
10、,5,当t(6,8)时,y0,当t(8,9)时,y0, 故当t8时,y取极大值也为最大值.,1,2,3,4,5,3.用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为21,则该长方体的最大体积为 A.2 m3 B.3 m3 C.4 m3 D.5 m3,答案,解析,1,2,3,4,5,从而V(x)18x18x218x(1x), 令V(x)0,解得x1或x0(舍去).,1,2,3,4,5,故在x1处V(x)取得极大值,并且这个极大值就是V(x)的最大值, 从而最大体积为VV(1)9126133(m3).,4.要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器,已知底面造价是每
11、平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是_元.,1,2,3,4,5,答案,解析,160,当x2时,ymin160(元).,5.某商品每件成本9元,售价30元,每星期卖出432件.如果降低价格,销售量可以增加,且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位:元,0x21)的平方成正比.已知当商品单价降低2元时,每星期多卖出24件. (1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数;,1,2,3,4,5,设商品降价x元,则每星期多卖的商品数为kx2. 若记商品在一个星期的获利为f(x),则有 f(x)(30x9)(432kx2)(21x)(432kx2). 由已知条件,得24
12、k22,于是有k6. 所以f(x)6x3126x2432x9 072,x0,21.,解答,(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大?,1,2,3,4,5,根据(1),f(x)18x2252x43218(x2)(x12). 当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:,解答,故当x12时,f(x)取得极大值. 因为f(0)9 072,f(12)11 664. 所以当定价为301218(元)时,才能使一个星期的商品销售利润最大.,规律与方法,1.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系yf(x). (2)求函数的导数f(x),解方程f(x)0. (3)比较函数在区间端点和使f(x)0的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值. 2.正确理解题意,建立数学模型,利用导数求解是解答应用问题的主要思路.另外需要特别注意:(1)合理选择变量,正确写出函数解析式,给出函数定义域;(2)与实际问题相联系;(3)必要时注意分类讨论思想的应用.,本课结束,