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1、1.3.1 利用导数判断函数的单调性,第一章 1.3 导数的应用,学习目标 1.理解导数与函数的单调性的关系. 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法. 3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考,知识点 函数的单调性与其导数,观察下面四个函数的图象，回答函数的单调性与其导函数的正负有何关系？,答案,答案 (1)在区间(，)内，y10，y是增函数； (2)在区间(，0)内，y2x0，y是增函数； (3)在区间(，)内，y3x20，y是增函数； (4)在区间(，0)，(0，)内，y 0，y是减函数.,利用导数判断函数单调性的法则 (1)
2、如果在(a，b)内，f(x)0，则f(x)在此区间是增函数，(a，b)为f(x)的单调增区间； (2)如果在(a，b)内，f(x)0，则f(x)在此区间是减函数，(a，b)为f(x)的单调减区间.,梳理,特别提醒：(1)利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f(x)0(或f(x)0)仅是函数f(x)在某个区间上递增(或递减)的充分条件. (2)在区间(a，b)内可导的函数f(x)在区间(a，b)上递增(或递减)的充要条件应是f(x)0(或f(x)0)(x(a，b)恒成立且f(x)在区间(a，b)的任意子区间内都不恒等于0. (3)特别地，如果f(x)0，那么函数yf(x)
3、在这个区间内是常数函数.,题型探究,例1 证明：函数 在区间 上是单调减函数.,证明,类型一 判断函数的单调性,cos x0，sin x0，xcos xsin x0，,关于利用导数证明函数单调性的问题： (1)首先考虑函数的定义域，所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行. (2)若f(x)(或)0，则f(x)为单调递增(或递减)函数；但要特别注意，若f(x)为单调递增(或递减)函数，则f(x)(或)0.,反思与感悟,证明,又0xe，ln xln e1.,类型二 利用导数求函数的单调区间,解答,例2 求f(x)3x22ln x的单调区间.,命题角度1 不含参数的函数求单调区间,解 f
4、(x)3x22ln x的定义域为(0，).,求函数yf(x)的单调区间的步骤 (1)确定函数yf(x)的定义域. (2)求导数yf(x). (3)解不等式f(x)0，函数在解集所表示的定义域内为增函数. (4)解不等式f(x)0，函数在解集所表示的定义域内为减函数.,反思与感悟,跟踪训练2 函数f(x)(x22x)ex(xR)的单调减区间为 _.,答案,解析,解析 由f(x)(x24x2)ex0， 即x24x20，,解答,例3 讨论函数f(x) ax2x(a1)ln x(a0)的单调性.,命题角度2 含参数的函数求单调区间,解 函数f(x)的定义域为(0，)，,由f(x)0，得x1，由f(x)
5、0，得0x1. f(x)在(0,1)内为减函数，在(1，)内为增函数.,由f(x)0，得x1，由f(x)0，得0x1. f(x)在(0,1)内为减函数，在(1，)内为增函数. 综上所述，当a0时，f(x)在(0,1)内为减函数，在(1，)内为增函数.,(1)讨论参数要全面，做到不重不漏. (2)解不等式时若涉及分式不等式要注意结合定义域化简，也可转化为二次不等式求解.,反思与感悟,跟踪训练3 设函数f(x)exax2，求f(x)的单调区间.,解答,解 f(x)的定义域为(，)，f(x)exa. 若a0，则f(x)0， 所以f(x)在(，)上是增函数. 若a0，则当x(，ln a)时，f(x)0
6、. 所以f(x)在(，ln a)上是减函数，在(ln a，)上是增函数. 综上所述，当a0时，函数f(x)在(，)上是增函数； 当a0时，f(x)在(，ln a)上是减函数，在(ln a，)上是增函数.,类型三 已知函数的单调性求参数的范围,例4 若函数f(x)x3x2mx1是R上的单调函数，求实数m的取值范围.,解答,解 f(x)3x22xm， 由于f(x)是R上的单调函数， 所以f(x)0或f(x)0恒成立. 由于导函数的二次项系数30， 所以只能有f(x)0恒成立. 方法一 由上述讨论可知要使f(x)0恒成立， 只需使方程3x22xm0的判别式412m0，,方法二 3x22xm0恒成立，
7、 即m3x22x恒成立.,已知f(x)在区间(a，b)上的单调性，求参数范围的方法 (1)利用集合的包含关系处理：f(x)在(a，b)上是单调(减)函数，则区间(a，b)是相应单调区间的子集. (2)利用不等式的恒成立处理：f(x)在(a，b)上是单调增(减)函数，则f(x)0(f(x)0)在(a，b)上恒成立，注意验证等号对有限个x成立.,反思与感悟,跟踪训练4 (1)已知函数f(x) 在(2，)内是单调减函数，则 实数a的取值范围为_.,答案,解析,由函数f(x)在(2，)内是单调减函数， 得f(x)0在(2，)内恒成立，,(2)若函数f(x)ax3x2x5的单调减区间是( )，求实数a的
8、值.,解答,解 因为f(x)3ax22x1，且函数f(x)ax3x2x5的单调减区间是( )，,所以3ax22x10的解集为( )，,代入可得a1.,当堂训练,1.已知函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的图象可能是图中的,答案,2,3,4,5,1,解析,解析 由函数yf(x)的图象的增减变化趋势判断函数yf(x)的正、负情况如下表：,2,3,4,5,1,由表可知函数yf(x)的图象， 当x(1，b)时，在x轴下方； 当x(b，a)时，在x轴上方； 当x(a,1)时，在x轴下方.故选C.,2.函数f(x)3xln x的单调递增区间是,答案,2,3,4,5,1,解析,解析 f(x)ln
9、 x1，令f(x)0，,2,3,4,5,1,3.下列函数中，在(0，)内为增函数的是 A.ysin2x B.yxex C.yx3x D.yxln(1x),答案,解析,解析 yxex，则yexxexex(1x)在(0，)上恒大于0.,4.已知f(x)x3ax2x1在R上是单调函数，则实数a的取值范围是_.,2,3,4,5,1,答案,解析,解析 f(x)3x22ax1， 由题意知在R上f(x)0恒成立， 则(2a)24(3)(1)0，,5.试求函数f(x)kxln x的单调区间.,解答,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,解 函数f(x)kxln x的定义域为(0，)，,当k0时，kx10，f(x)0， 则f(x)在(0，)上单调递减.,2,3,4,5,1,综上所述，当k0时，f(x)的单调递减区间为(0，)；,规律与方法,1.在利用导数来讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，只能在定义域内通过讨论导数的符号来确定函数的单调区间. 2.一般利用使导数等于零的点来对函数划分单调区间. 3.当给定问题中含有字母参数时，需要分类讨论确定单调区间. 4.两个单调性相同的区间，不能用并集符号连接.,本课结束,
