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1、章末复习课,第1章 导数及其应用,学习目标 1.理解导数的几何意义并能解决有关斜率、切线方程等的问题. 2.掌握初等函数的求导公式，并能够综合运用求导法则求函数的导数. 3.掌握利用导数判断函数单调性的方法，会用导数求函数的极值和最值. 4.会用导数解决一些简单的实际应用问题. 5.掌握定积分的基本性质及应用.,题型探究,知识梳理,内容索引,当堂训练,知识梳理,1.导数的概念 (1)定义：设函数yf(x)在区间(a，b)上有定义，x0(a，b)，若x无限趋近于0时，比值 无限趋近于一个常数A，则称f(x)在xx0处可导，并称该常数A为函数f(x)在xx0处的导数，记作 . (2)几何意义：导数
2、f(x0)的几何意义就是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率.,f(x0),2.基本初等函数的导数公式 (1)(x) (为常数). (2)(ax) (a0，且a1). (3)(ex) . (4)(logax) logae (a0，且a1). (5)(ln x) . (6)(sin x) . (7)(cos x) .,x1,axln a,ex,cos x,sin x,3.函数的求导法则 (1)f(x)g(x) . (2)Cf(x)Cf(x)(C为常数). (3)f(x)g(x) .,f(x)g(x),f(x)g(x)f(x)g(x),(4) (g(x)0).,4.复合函数的求导法
3、则 (1)复合函数记法：yf(g(x). (2)中间变量代换：yf(u)，ug(x). (3)逐层求导法则：yxyuux. 5.函数的单调性、极值与导数 (1)函数的单调性与导数 对于函数yf(x)， 如果在某区间上f(x)0，那么f(x)为该区间上的增函数； 如果在某区间上f(x)0，那么f(x)为该区间上的减函数.,(2)函数的极值与导数 极大值：在点xa附近，满足f(a)f(x)，当xa时， ，则点a叫做函数的极大值点，f(a)叫做函数的极大值； 极小值：在点xa附近，满足f(a)f(x)，当xa时， ，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值. (3)求函数f(x)在闭区间a
4、，b上的最值的步骤 求函数yf(x)在(a，b)上的极值； 将函数yf(x)的 与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间a，b上的最大值与最小值.,f(x)0,f(x)0,f(x)0,f(x)0,极值,6.微积分基本定理 对于被积函数f(x)，如果F(x)f(x)，那么 f(x)dxF(b)F(a)，即 F(x)dxF(b)F(a).,题型探究,例1 设函数f(x) x3ax29x1(a0)，直线l是曲线yf(x)的一条切线，当l的斜率最小时，直线l与直线10xy6平行. (1)求a的值；,解答,类型一 导数几何意义的应用,解 f(x)x22ax9(xa)2a29， f(x)mina29，
5、 由题意知，a2910，a1或a1(舍去). 故a1,(2)求f(x)在x3处的切线方程.,解答,解 由(1)得a1， f(x)x22x9， 则kf(3)6，f(3)10. f(x)在x3处的切线方程为y106(x3)， 即6xy280.,利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出.常见的类型有两种：一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，由 f(x1)和y1f(x1)，求出x1，y1的值，转化为第一种类型.,反思与感悟,跟踪训练1 直线ykxb与曲线f
6、(x)x3ax1相切于点(2,3)，则b_.,解析 由题意知f(2)3，则a3. f(x)x33x1. f(2)32239k， 又点(2,3)在直线y9xb上， b39215.,15,答案,解析,例2 设a为实数，函数f(x)ex2x2a，xR. (1)求f(x)的单调区间与极值；,解答,类型二 函数的单调性、极值、最值问题,解 由f(x)ex2x2a，xR知， f(x)ex2，xR. 令f(x)0，得xln 2. 列表如下.,故f(x)的单调减区间是(，ln 2)，单调增区间是(ln 2，)，f(x)在xln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)eln 22ln 22a2(1ln 2a).
7、,(2)求证：当aln 21且x0时，exx22ax1.,证明,证明 设g(x)exx22ax1，xR， 于是g(x)ex2x2a，xR. 由(1)知，当aln 21时，g(x)取最小值为g(ln 2)2(1ln 2a)0. 于是对任意xR，都有g(x)0， 所以g(x)在R内单调递增. 于是当aln 21时，对任意x(0，)， 都有g(x)g(0). 而g(0)0，从而对任意x(0，)，都有g(x)0， 即exx22ax10， 故exx22ax1.,本类题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性，求函数的极值和证明不等式，考查运算能力、分析问题、解决问题的能力.,反思与感悟,跟踪训练2 已知
8、函数f(x)(4x24axa2) ，其中a0. (1)当a4时，求f(x)的单调增区间；,解答,(2)若f(x)在区间1,4上的最小值为8，求a的值.,解答,f(x)在1,4上的最小值为f(1)， 由f(1)44aa28，,由f(4)2(6416aa2)8， 得a10或a6(舍去)， 当a10时，f(x)在(1,4)上单调递减， f(x)在1,4上的最小值为f(4)8，符合题意. 综上，a10.,例3 某公司为获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查，每年投入广告费t(百万元)，可增加销售额约为t25t(百万元)(0t3). (1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应
9、投入多少广告费，才能使该公司获得的收益最大？,解答,类型三 生活中的实际问题,解 设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)(百万元)， 则有f(t)(t25t)tt24t(t2)24(0t3)， 所以当t2时，f(t)取得最大值4， 即投入2百万元的广告费时，该公司获得的收益最大.,(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造.经预测，每投入技术改造费x(百万元)，可增加的销售额为 x3x23x(百万元).请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大.,解答,解 设用于技术改造的资金为x(百万元)，则用于广告促销的资金为(3x)(百万元). 由此获得的收益是g(x
10、)(百万元)，,所以g(x)x24. 令g(x)0，解得x2(舍去)或x2. 又当0x0；当2x3时，g(x)0. 故g(x)在0,2)上是增函数，在(2,3上是减函数，,所以当x2时，g(x)取得最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，可使该公司获得的收益最大.,解决优化问题的步骤 (1)要分析问题中各个数量之间的关系，建立适当的函数模型，并确定函数的定义域. (2)要通过研究相应函数的性质，如单调性、极值与最值，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具. (3)验证数学问题的解是否满足实际意义.,反思与感悟,跟踪训练3 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄
11、水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率). (1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；,解答,解 因为蓄水池侧面的总成本为1002rh200rh元，底面的总成本为160r2元. 所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元. 又根据题意，得200rh160r212 000，,(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时，该蓄水池的体积最大.,令V(r)0，解得r15，r25(因为r25不在定义域内，
12、舍去). 当r(0,5)时，V(r)0，故V(r)在(0,5)上为增函数；,由此可知，V(r)在r5处取得最大值，此时h8. 即当r5，h8时，该蓄水池的体积最大.,解答,当堂训练,1.函数yxex在其极值点处的切线方程为_.,答案,2,3,4,5,1,解析 依题意得yexxex，令y0，可得x1，,解析,2.函数f(x)xex的单调增区间是_.,答案,2,3,4,5,1,解析,(，1),令f(x)0, 得x1，故单调增区间为(，1).,3.如图，yf(x)是可导函数，直线l：ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线，令g(x)xf(x)，g(x)是g(x)的导函数，则g(3)_.,2,3,4,
13、5,1,答案,解析,0,2,3,4,5,1,解析 直线l：ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线，f(3)1. 又点(3,1)在直线l上，,g(x)xf(x)，g(x)f(x)xf(x)，,4.体积为16的圆柱，当它的半径为_时，圆柱的表面积最小.,2,3,4,5,1,答案,解析,2,解析 设圆柱底面半径为r，母线长为l.,当r2时，圆柱的表面积最小.,5.设函数f(x)xeaxbx，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y (e1)x4. (1)求a，b的值；,2,3,4,5,1,解答,解 f(x)的定义域为R. f(x)eaxxeaxb(1x)eaxb.,解得a2，be.,(2)求
14、f(x)的单调区间.,2,3,4,5,1,解答,2,3,4,5,1,解 由(1)知，f(x)xe2xex. 由f(x)e2x(1xex1)及e2x0知， f(x)与1xex1同号. 令g(x)1xex1，则g(x)1ex1， 所以，当x(，1)时，g(x)0，g(x)在区间(，1)上单调递减； 当x(1，)时，g(x)0，g(x)在区间(1，)上单调递增. 故g(1)1是g(x)在区间(，)上的最小值， 从而g(x)0，x(，)， 综上可知，f(x)0，x(，). 故f(x)的单调增区间为(，).,规律与方法,1.利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程yy0f(x0)(xx0).明确“过点P(x0，y0)的曲线yf(x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线yf(x)的切线方程”的异同点. 2.借助导数研究函数的单调性，经常同三次函数，一元二次不等式结合，融分类讨论、数形结合于一体. 3.利用导数求解优化问题，注意自变量中的定义域，找出函数关系式，转化为求最值问题. 4.不规则图形的面积可用定积分求解，关键是确定积分上、下限及被积函数，积分的上、下限一般是两曲线交点的横坐标.,本课结束,
