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1、1.3.1 单调性,第1章 1.3 导数在研究函数中的应用,学习目标 1.理解导数与函数的单调性的关系. 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法. 3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考1,知识点 函数的单调性与导函数正负的关系,观察高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h(t)4.9t26.5t10的图象及h(t)9.8t6.5的图象，思考运动员从起跳到最高点，从最高点到入水的运动状态有什么区别.,答案,答案 从起跳到最高点，h随t的增加而增加，h(t)是增函数，h(t)0；从最高点到入水，h(t)是减函数，h(t)0.,思考
2、2,观察图中函数f(x)，填写下表.,答案,0,0,锐,钝,上升,下降,递增,递减,一般地，某区间上函数yf(x)的单调性与导数的关系 对于函数yf(x)， 如果在某区间上f(x)0，那么f(x)为该区间上的增函数； 如果在某区间上f(x)0，那么f(x)为该区间上的减函数. 上述结论可以用下图来直观理解.,梳理,题型探究,例1 已知函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的图象可能是图中的_.(填序号),类型一 导数与单调性的关系,答案,解析,解析 由函数yf(x)的图象的增减变化趋势判断函数. 当x(1，b)时，f(x)0，图象在x轴上方；当x(a,1)时，f(x)0，图象在x轴下方
3、.,对于原函数图象，要看其在哪个区间上单调递增，则在该区间上导数值大于零.在哪个区间上单调递减，则在此区间上导数值小于零.根据导数值的正负可判定导函数图象.,反思与感悟,跟踪训练1 设函数f(x)在定义域内可导，yf(x)的图象如图所示，则导函数f(x)的图象可能是_.(填序号),答案,解析,解析 当x0时，函数单调性变化依次为增、减、增. 故当x0；当x0时，f(x)的符号变化依次为、，所以应为.,命题角度1 不含参数的函数求单调区间 例2 求f(x)3x22ln x的单调区间.,类型二 利用导数求函数的单调区间,解答,解 f(x)3x22ln x的定义域为(0，).,求函数yf(x)的单调
4、区间的步骤 (1)确定函数yf(x)的定义域. (2)求导数yf(x). (3)解不等式f(x)0，函数在解集所表示的定义域内为增函数. (4)解不等式f(x)0，函数在解集所表示的定义域内为减函数.,反思与感悟,跟踪训练2 函数f(x)(x22x)ex(xR)的单调减区间为 _.,解析 令f(x)(x24x2)ex0， 即x24x20，,答案,解析,命题角度2 含参数的函数求单调区间 例3 讨论函数f(x) ax2x(a1)ln x(a0)的单调性.,解答,解 函数f(x)的定义域为(0，)，,令f(x)0，得x1；令f(x)0，得0x1. f(x)在(0,1)上为减函数，在(1，)上为增函
5、数.,令f(x)0，得x1；令f(x)0，得0x1. f(x)在(0,1)上为减函数，在(1，)上为增函数. 综上所述，当a0时，f(x)在(0,1)上为减函数，在(1，)上为增函数.,(1)讨论参数要全面，要做到不重不漏. (2)解不等式时若涉及分式不等式要注意结合定义域化简，也可转化为二次不等式求解.,反思与感悟,跟踪训练3 设函数f(x)exax2，求f(x)的单调区间.,解 f(x)的定义域为(，)，f(x)exa. 若a0，则f(x)0， 所以f(x)在(，)上单调递增. 若a0，则当x(，ln a)时，f(x)0. 所以f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增
6、. 综上所述，当a0时，函数f(x)在(，)上单调递增； 当a0时，f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增.,解答,例4 若函数f(x)kxln x在区间(1，)上单调递增，则k的取值范围是_.,类型三 已知函数的单调性求参数的范围,即k的取值范围为1，).,1，),答案,解析,引申探究 1.若将本例中条件递增改为递减，求k的取值范围.,解答,又f(x)在(1，)上单调递减，,即k的取值范围为(，0.,2.若将本例中条件递增改为不单调，求k的取值范围.,解答,解 f(x)kxln x的定义域为(0，)，,当k0时，f(x)0. f(x)在(0，)上单调递减，故不合题意.
7、,k的取值范围是(0,1).,(1)利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路 将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f(x)0(或f(x)0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“”时是否满足题意. 先令f(x)0(或f(x)0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“”时f(x)是否满足题意. (2)恒成立问题的重要思路 mf(x)恒成立mf(x)max. mf(x)恒成立mf(x)min.,反思与感悟,跟踪训练4 已知函数f(x)x2 (x0，常数aR).若函数f(x)在2，)上是增函数，求a的取值范围.,解答,要使f(x)在2，)上是增函数， 则f(x)0在2，
8、)上恒成立，,x20，2x3a0， a2x3在2，)上恒成立. a(2x3)min.,x2，)，y2x3是增函数， (2x3)min16，a16.,a的取值范围是(，16.,当堂训练,1.函数f(x)xln x在(0,6)上的单调性为_.,答案,2,3,4,5,1,解析 当x(0,6)时，f(x)1 0，函数f(x)在(0,6)上是增函数.,解析,增函数,2.若函数f(x)x3ax2x6在(0,1)上单调递减，则实数a的取值范围是_.,答案,2,3,4,5,1,解析,1，),解析 f(x)3x22ax1，且f(x)在(0,1)上单调递减， 不等式3x22ax10在(0,1)上恒成立， f(0)
9、0，且f(1)0，a1.,3.函数f(x)3xln x的单调增区间是_.,2,3,4,5,1,答案,解析,解析 f(x)ln x1，令f(x)0， 即ln x10，得x .,故函数f(x)的单调增区间为( ，).,4.已知f(x)x3ax2x1在R上是单调函数，则实数a的取值范围是_.,2,3,4,5,1,答案,解析,解析 f(x)3x22ax1， 由题意知，在R上f(x)0恒成立， 则(2a)24(3)(1)0，,5.试求函数f(x)kxln x的单调区间.,2,3,4,5,1,解答,2,3,4,5,1,解 函数f(x)kxln x的定义域为(0，)，,当k0时，kx10，f(x)0， 则f(x)在(0，)上单调递减.,2,3,4,5,1,综上所述，当k0时，f(x)的单调减区间为(0，)；,规律与方法,1.导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度. 2.利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤 (1)确定函数f(x)的定义域. (2)求导数f(x). (3)在函数f(x)的定义域内解不等式f(x)0和f(x)0. (4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.,本课结束,
