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1、1.1.2 瞬时变化率导数,第1章 1.1 导数的概念,学习目标 1.理解切线的含义. 2.理解瞬时速度与瞬时加速度. 3.掌握瞬时变化率导数的概念，会根据定义求一些简单函数在某点处的导数.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 曲线上某一点处的切线,如图，Pn的坐标为(xn，f(xn)(n1,2,3,4，)，点P的坐标为(x0，y0).,思考1,当点Pn点P时，试想割线PPn如何变化？,答案,答案 当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，即曲线上点P处的切线位置.,思考2,割线PPn的斜率是什么？它与切线PT的斜率有何关系.,答案,答案 割线PPn的斜率kn
2、； 当Pn无限趋近于P时，kn无限趋近于点P处切线的斜率k.,(1)设Q为曲线C上的不同于P的一点，这时，直线PQ称为曲线的割线.随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C.当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的 . (2)若P(x，f(x)，过点P的一条割线交曲线C于另一点Q(xx，f(xx)， 则割线PQ的斜率为kPQ ，当x0时， 无限趋近于点P(x，f(x)处的切线的斜率.,梳理,切线,知识点二 瞬时速度与瞬时加速度瞬时变化率,1.平均速度 在物理学中，运动物体的位移与 的比称为平均速度. 2.瞬时速度 一般
3、地，如果当t无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率 无限趋近于 ，那么 称为物体在 时的瞬时速度，也就是位移对于时间的 .,所用时间,一个常数,这个常数,tt0,瞬时变化率,3.瞬时加速度 一般地，如果当t无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率 无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在tt0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的 .,瞬时变化率,1.导数 设函数yf(x)在区间(a，b)上有定义，x0(a，b)，若x 时，比值 无限趋近于一个 ，则称f(x)在xx0处 ，并称该常数A为函数f(x)在xx0处的导数，记作 . 2.导数的几何意义 导数f(x0)的几何意义就是曲
4、线yf(x)在点 处的切线的 .,知识点三 导数,无限趋近于0,常数A,可导,f(x0),P(x0，f(x0),斜率,3.导函数 (1)若f(x)对于区间(a，b)内 都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是 的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作 .在不引起混淆时，导函数f(x)也简称为f(x)的 . (2)f(x)在xx0处的导数f(x0)就是导函数f(x)在xx0处的 .,任一点,自变量x,f(x),导数,函数值,题型探究,解答,类型一 求曲线上某一点处的切线,(1)点A处的切线的斜率；,解 yf(2x)f(2),(2)点A处的切线方程.,解答,即3x4y40
5、.,根据曲线上一点处的切线的定义，要求曲线过某点的切线方程，只需求出切线的斜率，即在该点处，x无限趋近于0时， 无限趋近的常数.,反思与感悟,跟踪训练1 (1)已知曲线y2x24x在点P处的切线的斜率为16，则点P坐标为_.,(3,30),答案,解析,解析 设点P坐标为(x0，y0)，,4x042x. 当x无限趋近于0时，4x042x无限趋近于4x04， 因此4x0416，即x03， 所以y023243181230. 即点P坐标为(3,30).,(2)已知曲线y3x2x，求曲线上一点A(1,2)处的切线的斜率及切线方程.,解答,解 设A(1,2)，B(1x,3(1x)2(1x)，,当x无限趋近
6、于0时，53x无限趋近于5， 所以曲线y3x2x在点A(1,2)处的切线斜率是5. 切线方程为y25(x1)，即5xy30.,例2 某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)t2t1表示，求物体在t1 s时的瞬时速度.,类型二 求瞬时速度,解答,3t，,物体在t1处的瞬时变化率为3. 即物体在t1 s时的瞬时速度为3 m/s.,引申探究 1.若本例中的条件不变，试求物体的初速度.,解 求物体的初速度，即求物体在t0时的瞬时速度.,解答,1t， 当t0时，1t1， 物体在t0时的瞬时变化率为1， 即物体的初速度为1 m/s.,2.若本例中的条件不变，试问物体在哪一时
7、刻的瞬时速度为9 m/s.,解 设物体在t0时刻的速度为9 m/s.,解答,(2t01)t.,则2t019，t04. 则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.,(1)求瞬时速度的题目的常见错误是不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率. (2)求运动物体瞬时速度的三个步骤 求时间改变量t和位移改变量ss(t0t)s(t0).,反思与感悟,跟踪训练2 一质点M按运动方程s(t)at21做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值.,解答,解 质点M在t2 s时的瞬时速度即为函数在t2 s处的瞬时变化率. 质点M在t2 s附近的平均变化率为,
8、例3 已知f(x)x23. (1)求f(x)在x2处的导数；,解答,类型三 求函数在某点处的导数,4x， 当x无限趋近于0时，4x无限趋近于4， 所以f(x)在x2处的导数等于4.,(2)求f(x)在xa处的导数.,解答,2ax， 当x无限趋近于0时，2ax无限趋近于2a， 所以f(x)在xa处的导数等于2a.,求一个函数yf(x)在xx0处的导数的步骤 (1)求函数值的改变量yf(x0x)f(x0).,反思与感悟,(3)令x无限趋近于0，求得导数.,跟踪训练3 (1)设f(x)ax4，若f(1)2，则a_.,2,f(1)a，即a2.,答案,解析,(2)将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产
9、品，需要对原油进行冷却和加热，如果第x h，原油的温度(单位：)为f(x)x27x15(0x8). 求函数yf(x)在x6处的导数f(6)，并解释它的实际意义.,解答,当x0时，平均变化率趋近于5， 所以f(6)5，导数f(6)5表示当x6时原油温度的瞬时变化率即原油温度的瞬时变化速度.也就是说，如果保持6 h时温度的变化速度，每经过1 h时间，原油温度将升高5 .,当堂训练,1.一个做直线运动的物体，其位移S与时间t的关系是S3tt2，则此物体在t2时的瞬时速度为_.,答案,2,3,4,5,1,解析,1,解析 由于S3(2t)(2t)2(3222) 3t4t(t)2t(t)2，,故物体在t2
10、时的瞬时速度为1.,2.已知曲线yf(x)2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为_.,答案,2,3,4,5,1,解析,8,当x0时，82x趋近于8.即k8.,2,3,4,5,1,答案,解析,0,yf(1x)f(1),4.设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0x)f(x0)axb(x)2(a，b为常数)，则f(x0)的值为_.,2,3,4,5,1,答案,解析,a,故当x0时，其值趋近于a，故f(x0)a.,试求该物体在t1和t4时的瞬时速度.,2,3,4,5,1,解答,解 当t1时，S(t)t22，,2,3,4,5,1,当t无限趋近于0时，2t无限趋近于2， 所以v(1)2； t43，)， S(t)293(t3)23t218t56，,2,3,4,5,1,所以v(4)6.,规律与方法,当x无限趋近于0时，它所趋近于的一个常数就是函数在xx0处的瞬时变化率. 即有：x无限趋近于0是指自变量间隔x越来越小，能达到任意小的间隔，但始终不能为0.即对于瞬时变化率，我们通过减小自变量的改变量以致无限趋近于零的方式，实现用割线斜率“逼近”切线斜率，用平均速度“逼近”瞬时速度.一般地，可以用平均变化率“逼近”瞬时变化率.,本课结束,
