《高中数学 第二章 随机变量及其分布 2_3 离散型随机变量的均值与方差 2_3_2课件 新人教a版选修2-3》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第二章 随机变量及其分布 2_3 离散型随机变量的均值与方差 2_3_2课件 新人教a版选修2-3（63页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.3.2 离散型随机变量的方差,主题1 离散型随机变量的方差与标准差 1.如何刻画随机变量取值的稳定性? 提示:由于E(X)反映随机变量取值的平均水平,所以可 用(xi-E(X)2再结合其他量来描述.,2.仿照样本方差的定义以及离散型随机变量均值的概念,试想一想,如何描述随机变量X与其相应的均值E(X)的平均偏离程度? 提示:可用(xi-E(X)2(i=1,2,n)的加权平均数来描述.,结论: 离散型随机变量的方差、标准差 (1)定义:设离散型随机变量X的分布列为,则_描述了xi(i=1,2,n)相对于均值E(X) 的偏离程度,而D(X)=_为这些偏离程度的加 权平均，刻画了随机变量X与其均
2、值E(X)的平均偏离程 度.称D(X)为随机变量X的方差，其_ 为随机变量X的标准差.,(xi-E(X)2,算术平方根,(2)意义:随机变量的方差和标准差都反映了随机变量 取值偏离于_的平均程度.方差或标准差越小,则随 机变量偏离于均值的_.,均值,平均程度越小,【微思考】 1.随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,方差与标准差反映了什么? 提示:随机变量的方差与标准差都反映了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度.,2.试说明方差与标准差的大小与随机变量与其平均值的偏离程度的关系. 提示:离散型随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值与均值偏离的平均程度,方差和标准差越小,则随机变
3、量与均值偏离的平均程度越小;反之亦然.,3.随机变量的方差与标准差的单位各是什么? 提示:根据随机变量方差的定义可知:方差的单位是随机变量单位的平方;而标准差的单位与随机变量的单位相同.,主题2 离散型随机变量方差的性质 1.设X为随机变量,Y=X+b,其中b为常数,试用D(X)表示 D(Y). 提示:因为Y=X+b,所以E(Y)= E(X)+b, 所以D(Y)= (yi-E(Y)2pi= (xi+b-E(Y)2pi = (xi+b-E(X)-b)2pi= (xi-E(X)2pi=D(X).,2.设X为随机变量,Y=aX+b,其中a,b为常数,试用D(X)表示D(Y). 提示:因为Y=aX+b
4、,所以E(Y)=aE(X)+b, 所以D(Y)= (yi-E(Y)2pi= (axi+b-E(Y)2pi = (axi+b-aE(X)-b)2pi= a2(xi-E(X)2pi =a2 (xi-E(X)2pi= a2D(X).,结论: 离散型随机变量方差的性质 设X为随机变量,Y=aX+b,其中a,b为常数,则有D(aX+b) =_.,a2D(X),【微思考】 1.两点分布的随机变量的方差是多少? 提示:X的分布列如表,则E(X)=p,则由随机变量X的分布列得D(X)=(1-p)2p+(0-p)2(1-p) =(1-p)p(1-p)+p=p(1-p).,2.类比两点分布的方差,可猜想二项分布的
5、方差是什么. 提示:若XB(n,p),则D(X)=np(1-p).,【预习自测】 1.下列说法中,正确的是 ( ) A.离散型随机变量的均值E(X)反映了X取值的概率平均值 B.离散型随机变量的方差D(X)反映了X取值的平均水平,C.离散型随机变量的均值E(X)反映了X取值的平均水平 D.离散型随机变量的方差D(X)反映了X取值的概率平均值 【解析】选C.由离散型随机变量的均值与方差的定义可知C正确.,2.若XB(n,p),且E(X)=1.6,D(X)=1.28,则 ( ) A.n=8,p=0.2 B.n=4,p=0.4 C.n=5,p=0.32 D.n=7,p=0.45 【解析】选A.因为X
6、B(n,p)且E(X)=1.6,D(X)=1.28, 所以np=1.6, np(1-p)=1.28, 由解得n=8,p=0.2.,3.设随机变量X的方差D(X)=1,则D(2X+1)的值 为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】选C.由D(aX+b)=a2D(X)得:D(2X+1)=4D(X)=41=4.,4.牧场的10头牛因误食疯牛病毒污染的饲料被感染,已知该病的发病率为0.02,设发病牛的头数为X,则D(X)等于_. 【解析】由题意知XB(10,0.02),所以D(X)=100.02(1-0.02)=0.196. 答案:0.196,5.有两台自动包装机甲与乙,包装重量分别为随机
7、变量1,2,已知E(1)=E(2),D(1)D(2),则自动包装机_的质量较好.,【解析】因为E(1)=E(2),所以甲、乙两机包装的重量的平均水平一样. D(1)D(2)说明甲机包装重量的差别大,不稳定. 所以乙机质量好. 答案:乙,6.若随机变量X的分布列如表: 其中x,y,z成等差数列,若E(X)= ,求D(X).(仿照教材P66例4的解析过程),【解析】E(X)=0x+1y+2z=y+2z= , 又x+y+z=1,且2y=x+z, 所以x= ,y= ,z=0, 所以D(X)=,类型一 随机变量方差的性质及计算 【典例1】(2017开封高二检测)已知随机变量和,其中=10+2,且E()=
8、22,若的分布列如下表, 求D()及D().,【解题指南】由条件及分布列的性质列出m,n的方程组求出m,n的值.再代入方差公式即可求出D(),进而再利用方差性质计算D().,【解析】因为E()=E(10+2)=10E()+2=22, 所以E()=2, 即:1 +2m+3n+4 =2, 所以2m+3n= , 又m+n= , 由得,故D()=(1-2)2 +(2-2)2 +(3-2)2 +(4-2)2 = , D()=D(10+2)=100D()=100 = .,【延伸探究】1.本例条件不变,试求随机变量及的标准差. 【解析】因为D()= ,D()= , 所以与的标准差分别为,2.若本例的条件换为
9、“=10+2,E()= ,的分布 列为 ”,其余条件不变,试求D(),D().,【解析】因为=10+2,所以E()=10E()+2, 故E()= , 所以 又因为 所以 故D()= D()=D(10+2)=100D()=,【方法总结】 1.求离散型随机变量的方差、标准差的步骤 (1)理解的意义,写出可能取的全部值. (2)求取各个值的概率,写出分布列. (3)根据分布列,由数学期望的定义求出E().,(4)根据方差、标准差的定义求出D(), . 若B(n,p),则不必写出分布列,直接用公式计算即可.,2.离散型随机变量方差的性质应用及运算的注意点 (1)简化运算:当求随机变量的期望与方差时,可
10、首先分析是否服从二项分布,如果服从,则用公式求解,可大大减少运算量. (2)性质应用:注意利用E(a+b)=aE()+b及D(a+b)=a2D()求期望与方差.,【补偿训练】随机变量的取值为0,1,2, 若P(=0)= ,E()=1,则D()=_. 【解题指南】根据离散型随机变量的均值与方差的相关知识计算.,【解析】设=1时的概率为p, 则E()=0 +1p+2 =1, 解得p= , 故D()=(0-1)2 +(1-1)2 +(2-1)2 = . 答案:,类型二 两点分布与二项分布的方差 【典例2】为防止风沙危害,某地决定建设防护绿化带, 种植杨树、沙柳等植物.某人一次种植了n株沙柳.各株 沙
11、柳的成活与否是相互独立的,成活率为p,设为成活 沙柳的株数,数学期望E()为3,标准差 为 .,(1)求n和p的值,并写出的分布列. (2)若有3株或3株以上的沙柳未成活,则需要补种.求需要补种沙柳的概率.,【解题指南】(1)显然随机变量服从二项分布,利用数学期望值与方差值列出方程,解方程即可得出n和p的值. (2)本题可看作n次独立重复试验,利用独立重复试验求概率即可.,【解析】由题意知,服从二项分布B(n,p), P(=k)= pk(1-p)n-k,k=0,1,n. (1)由E()=np=3,D()=np(1-p)= , 得1-p= ,从而n=6,p= . 的分布列为,(2)记“需要补种沙
12、柳”为事件A,则P(A)=P(3), 得P(A)= 或P(A)=1-P(3)=1- 所以需要补种沙柳的概率为 .,【方法总结】常见分布列方差的求法 (1)定类型:二项分布与独立重复试验紧密相关,在问题分析时应恰当地将试验化归为独立重复试验,将问题转化为二项分布求解. (2)用公式:如果明确随机变量X服从两点分布或二项分布时,可不用列出分布列,直接由公式求出.,【巩固训练】设一次试验的成功率为p,进行100次独立重复试验,问当p为何值时,成功次数的标准差的值最大?并求其最大值.,【解析】设成功次数为随机变量X. 由题意知:XB(100,p), 则 因为D(X)=100p(1-p)=100p-10
13、0p2,把上式看作一个以p 为自变量的二次函数,易知当p= 时,D(X)有最大值25, 所以 的最大值为5,即当p= 时,成功次数的标准 差的值最大,最大值为5.,【补偿训练】设一随机试验的结果只有A和 且P(A)=m, 令随机变量 则X的方差D(X)等于( ) A.m B.2m(1-m) C.m(m-1) D.m(1-m) 【解析】选D.依题意X服从两点分布, 则D(X)=m(1-m).,类型三 均值与方差的综合应用 【典例3】A,B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2,根据市场分析,X1和X2的分布列分别如下表:,(1)在A,B两个投资项目上各投资100万元,Y1和Y2分别表示投资
14、项目A和B所获得的利润,求方差D(Y1),D(Y2). (2)将x(0x100)万元投资项目A,(100-x)万元投资项目B,f(x)表示投资项目A所得利润的方差与投资项目B所得利润的方差的和.求f(x)的最小值,并指出x为何值时,f(x)取得最小值.,【解题指南】(1)Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润,根据两个投资项目的利润率X1和X2的分布列,可以得到Y1和Y2的分布列,再分别求出变量的方差. (2)根据题意知f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和.写出用x表示的方差的解析式,结合二次函数的最值问题,得到结果.,【解析】(1)根据题意,知Y1和Y2的
15、分布列分别如下表:,从而E(Y1)=50.8+100.2=6, D(Y1)=(5-6)20.8+(10-6)20.2=4, E(Y2)=20.2+80.5+120.3=8, D(Y2)=(2-8)20.2+(8-8)20.5+(12-8)20.3=12.,(2)f(x)= 当x= 时,f(x)=3为最小值.,【方法总结】解均值与方差的综合问题时的注意事项 (1)离散型随机变量的分布列、均值和方差是三个紧密联系的有机统一体,一般在试题中综合在一起考查,其解题的关键是求出分布列. (2)在求分布列时,要注意利用等可能事件、互斥事件、相互独立事件的概率公式计算概率,并注意结合分布列的性质,简化概率计算.,(3)在计算均值与方差时要注意运用均值和方差的性质以避免一些复杂的计算.若随机变量X服从两点分布、二项分布可直接利用对应公式求解.,【巩固训练】袋中有20个大小相同的球,其中记上0号的有10个,记上n号的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球,表示所取球的标号. (1)求的分布列、均值和方差. (2)若=a+b,E()=1,D()=11,试求a,b的值.,【解析】(1)的分布列为 则E()= D()=(0-1.5)
