《高中数学 第二章 随机变量及其分布 2_4 正态分布课件 新人教a版选修2-3》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第二章 随机变量及其分布 2_4 正态分布课件 新人教a版选修2-3（57页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.4 正态分布,主题 正态分布 1.由函数,(x)= ,x(-,+)的解析式,观测其图象,(x)的值,你能说出该函数曲线在平面直角坐标系中的大体位置吗? 提示:因为 0, 0,所以,(x)0,即该函数曲线位于x轴上方,与x轴不相交.,2.由函数,(x)= ,x(-,+)的解析 式,观测其幂指数解析式,你能说出该函数曲线的对称 性以及最大值吗? 提示:由于e的幂指数t=- 可看作一个关于x的二 次函数,显然其开口向下,对称轴方程为x=,因此该函 数曲线关于直线x=对称,在x=时达到最大值 .,3.结合频率分布直方图以及正态曲线的定义,试说明曲线与x轴之间的面积是多少? 提示:因为频率分布直方图
2、中,各个小矩形的面积之和为1,再结合正态曲线的定义可知:正态曲线与x轴之间的面积为1.,结论: 正态分布的相关概念 1.正态曲线:函数,(x)=_,x(-,+),其中实数,(0)为参数,我们称,(x)的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线.,2.正态曲线性质: (1)曲线位于x轴_,与x轴不相交. (2)曲线是单峰的,它关于直线_对称. (3)曲线在x=处达到峰值_. (4)曲线与x轴之间的面积为_.,上方,x=,1,(5)当一定时,曲线的位置由确定,曲线随着_的 变化而沿x轴平移.,(6)当一定时,曲线的形状由确定.越小,曲线越 “_”,表示总体的分布越_;越大,曲线越 “_”,表示总体的分
3、布越_.如图所示.,瘦高,集中,矮胖,分散,3.正态分布及正态变量在三个特殊区间内取值的概率: (1)正态分布: 如果对于任何实数a,b(ab),随机变量X满足P(aX b)=_,则称随机变量X服从正态分布. 记为:XN(_).,2,(2)正态变量在三个特殊区间内取值的概率: P(-X+)_; P(-2X+2)_; P(-3X+3)_.,0.6827,0.9545,0.9973,【微思考】 1.正态分布是离散型随机变量的分布吗? 提示:不是,它是一种连续型随机变量分布. 2.由正态曲线,过点(a,0)和(b,0)与x轴垂直的两条直线及x轴所围成的平面图形的面积表示什么? 提示:表示随机变量落在
4、区间a,b的概率的近似值.,3.在正态分布,(x)= ,x(-,+)中,参 数和(0)分别表示随机变量的哪一个数字特征? 提示:表示正态分布的均值,表示正态分布的标准差.,4.在正态分布曲线中,曲线的“胖瘦”是由哪个量决定的?曲线的左右位置是由哪个量决定的? 提示:曲线的“胖瘦”是由参数决定的;曲线的左右位置是由参数决定的.,【预习自测】 1.正态分布N(0,1)在区间(-2,-1)和(1,2)上取值的概率为P1,P2,则二者大小关系为 ( ) A.P1=P2 B.P1P2 D.不确定 【解析】选A.根据正态分布曲线的特点,图象关于x=0对称,可得在区间(-2,-1)和(1,2)上取值的概率P
5、1,P2相等.,2.设随机变量XN(,2),则随着的增大,概率P(|X-|3)将会 ( ) A.单调增加 B.单调减少 C.保持不变 D.增减不定 【解析】选C.服从正态分布的随机变量X,不论,怎么变化,P(|X-|3)总等于0.9973.,3.若f(x)= (xR),则下列判断正确的 是 ( ) A.有最大值,也有最小值 B.有最大值,无最小值 C.无最大值,有最小值 D.无最大值,也无最小值,【解析】选B.f(x)是=1,=1的正态分布密度函数, 所以在x=1时取得最大值,无最小值.,4.设随机变量XN(,2),且P(Xc)=P(Xc),则c等于_. 【解析】由正态曲线性质可知图象关于x=
6、对称,而本题关于x=c对称. 答案:,5.设有一正态总体,它的概率密度曲线是函数f(x)的图 象,且f(x)= 则这个正态总体的均值与标准 差分别是_. 【解析】由正态曲线 知, 即=10,=2. 答案:10,2,6.已知某工厂生产的某种型号的卡车轮胎的使用寿命(单位:km)服从正态分布N(36203,48272).一汽车公司一次性从该厂买了500个轮胎,利用正态分布估计使用寿命在36203-2482736203+24827范围内的轮胎个数是多少.,【解析】因为卡车轮胎的使用寿命服从正态分布N(36203, 48272),所以P(36203-2482736203+24827) 0.9545.因
7、为汽车公司一次性从该厂买了500个轮胎,所以 使用寿命在36203-2482736203+24827范围内的轮 胎个数约是5000.9545477(个).,类型一 正态分布的概念与性质 【典例1】(1)把一条正态曲线C1沿着横轴方向向右移动 2个单位,得到一条新的曲线C2,下列说法中不正确的 是 ( ) A.曲线C2仍然是正态曲线 B.曲线C1和曲线C2的最高点的纵坐标相等,C.以曲线C2为概率密度曲线的总体的均值比以曲线C1为概率密度曲线的总体的均值大2 D.以曲线C2为概率密度曲线的总体的方差比以曲线C1为概率密度曲线的总体的方差大2,(2)如图所示是一个正态曲线,其解析式为f(x)= 试
8、根据该图象写出其正态分布参数, 2的值.,【解题指南】(1)正态曲线沿着横轴方向水平移动只改变对称轴位置,曲线的形状没有改变,所得的曲线依然是正态曲线. (2)给出了一个正态曲线,就给出了该曲线的对称轴和最大值,从而就能求出总体随机变量的均值、方差.,【解析】(1)选D.在正态曲线沿着横轴方向水平移动的 过程中,始终保持不变,所以曲线的最高点的纵坐标 即正态分布曲线的最大值 不变,方差2也没有变 化.设曲线C1的对称轴为x=,那么曲线C2的对称轴则为 x=+2,说明均值从变到了+2,增大了2.,(2)从给出的正态曲线可知,该正态曲线关于直线x=20 对称,最大值是 ,所以=20. 由 得= .
9、所以2=2. 故=20,2=2.,【方法总结】利用正态曲线的性质求参数,的方法 (1)正态曲线是单峰的,它关于直线x=对称,由此性质结合图象求. (2)正态曲线在x=处达到峰值 由此性质结合图象可求.,【拓展】 1.若随机变量XN(,2),则Y=aX+bN(a+b,a22). 其理由如下:因为E(aX+b)=aE(X)+b=a+b, D(aX+b)=a2D(X)=a22, 因此,Y=aX+bN(a+b,a22).,2.正态分布的性质表示的含义 性质1说明函数的值域为正实数的子集,且以x轴为渐近线; 性质2是曲线的对称性,关于直线x=对称; 性质3说明函数在x=时取得最大值; 性质4说明随机变量
10、在(-,+)内的概率等于1;,性质5说明当标准差一定时,变化时曲线的位置变化情况; 性质6说明当均值一定时,变化时总体分布的集中、离散程度.,【巩固训练】设两个正态分布N(1, )(10)和 N(2, )(20)的密度函数图象如图所示,则有( ) A.12 C.12,12,12,【解析】选A.正态分布N(1, )(10)的对称轴x=1, 且在x=1处取得峰值 由密度函数图象可知,1 2,峰值 故12.,【补偿训练】正态分布密度函数f(x)= 下列结论错误的是 ( ) A.P(1) B.P(-11)=P(-11) C.f(x)的渐近线是x=0 D.=-1N(0,1),【解析】选C.由正态分布密度
11、函数f(x)= 可知:其对称轴为x=1,标准差=1.所以P(1) 正确;由正态曲线的性质可知:P(-11)=P(-11), 所以选项B正确;由正态曲线的性质可知:f(x)的渐近线是 y=0,所以选项C错误;又由正态分布密度函数f(x)= 可知:N(1,1),所以=-1N(0,1)正确.,类型二 正态分布下的概率问题 【典例2】(1)设随机变量XN(3,1),若P(X4)=p,则P(2X4)= ( ) A. +p B.1-p C.1-2p D. -p (2)设XN(5,1),求P(6X7).,【解题指南】(1)利用正态分布的图象特点计算,注意 应用对称性. (2)由XN(5,1)知=5,=1,故
12、P(4X6)0.6827, P(3X7)0.9545.由对称性知P(3X4)=P(6X7), 由此可求P(6X7).,【解析】(1)选C.由XN(3,1)得=3, 所以P(3X4)= -p, 故P(2X4)=2P(3X4)=1-2p.,(2)由已知得P(4X6)0.6827, P(3X7)0.9545, 所以P(3X4)+P(6X7)0.9545-0.6827=0.2718, 由对称性得P(3X4)=P(6X7), 所以P(6X7) =0.1359.,【延伸探究】 1.若题(1)中的条件“P(X4)=p”改为“P(X4)=p”,则结果如何? 【解析】由XN(3,1)得=3, 所以P(3X4)=
13、p- , 所以P(2X4)=2P(3X4)=2p-1.,2.若题(1)的条件不变,求P(X4)=p.,【方法总结】正态分布概率求解的注意事项 (1)注意对称:解答此类问题的关键在于充分利用正态曲线的对称性,把待求区间内的概率向已知区间内的概率进行转化,在此过程中注意数形结合思想的运用.,(2)注意面积:正态曲线与x轴所围成的面积值为1;X落在区间(a,b的概率与由正态曲线、过点(a,0)和(b,0)的两条x轴的垂线及x轴所围成的图形的面积相等.,类型三 正态分布的实际应用 【典例3】设在一次数学考试中,某班学生的分数XN(110,202),且知试卷满分150分,这个班的学生共54人,求这个班在
14、这次数学考试中及格(即90分及以上)的人数和130分及以上的人数.,【解题指南】由题意将所求的问题向(-,+, (-2,+2,(-3,+3这三个区间进行转化,然后利用上述区间的概率求出相应概率.,【解析】因为XN(110,202) 所以=110,=20, P(110-20X110+20)0.6827, 所以X130的概率为 (1-0.6827)=0.15865, 所以X90的概率为0.6827+0.15865=0.84135, 所以及格的人数为540.8413545(人), 130分及以上的人数为540.158659(人).,【方法总结】 1.生活中常见的正态分布 (1)在生产中,各种产品的质
15、量指标一般都服从正态分布. (2)在测量中,测量结果、测量的随机误差都服从正态分布.,(3)在生物学中,同一群体的某种特征都服从正态分布. (4)在气象中,某地每年某月份的平均气温、平均湿度、降雨量等都服从正态分布.,2.利用3原则求某区间内取值概率的基本方法 (1)根据题目给出的条件确定与的值. (2)将待求问题向(-,+,(-2,+2, (-3,+3这三个区间转化. (3)利用上述区间求出相应的概率.,【巩固训练】已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服 从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在 区间(3,6)内的概率为 ( ) (附:若随机变量服从正态分布N(,2),则P(- +)68.27%,P(-2+2)95.45%) A.4.56% B.13.59% C.27.18% D.31.74%,【解析】选B.已知误差
