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1、2.2.2 事件的相互独立性,主题1 事件的相互独立性 三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学有放回地抽取,事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”,事件B为“最后一名同学抽到中奖奖券”,据此回答下列问题.,(1)试求P(B|A)与P(B)的大小关系? 提示:显然,有放回地抽取奖券时,最后一名同学也是从原来的三张奖券中任抽一张,因此P(B|A)=P(B). (2)试求P(AB)与P(B),P(A)的大小关系? 提示:因为P(B|A)= 且P(B|A)=P(B), 所以P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B).,(3)事件A的发生会不会影响事件B发生的概率? 提示:不会影响.,结论:
2、 独立事件的定义:设A,B为两个事件,若_ _,则称事件A与事件B相互独立.,P(AB)=P(A),P(B),【微思考】 1.两个事件相互独立时,满足何种概率关系? 提示:P(AB)=P(A)P(B). 2.在什么条件下,P(B|A)=P(B)成立? 提示:若事件A,B是相互独立的,则有P(B|A)=P(B).,3.两事件相互独立是否说明这两个事件没有任何关系? 提示:两事件A,B相互独立是指事件A是否发生与事件B是否发生没有关系,并不是事件A,B间没有关系.相反,若事件A,B相互独立,则常有事件AB,即事件A,B不互斥.,主题2 两独立事件的性质 1.如果事件A与B相互独立,试说明A与 也相
3、互独立? 提示:P(A )=P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)P(B) =P(A)(1-P(B)=P(A)P( ),所以A与 也相互独立.,2.如果事件A与B相互独立,试说明 与B也相互独立? 提示:P(B )=P(B)-P(AB)=P(B)-P(A)P(B) =P(B)(1-P(A)=P( )P(B),所以 与B也相互独立.,3.如果事件A与B相互独立,试说明 与 也相互独立? 提示:P( )=P( )-P( B)= P( )-P( )P(B) =P( )(1-P(B)=P( )P( ),所以 与 也相互独立.,结论: 两事件独立的性质:A与B是相互独立事件,则 也相互独立.,【微思考
4、】 1.P(A )=P(A)P( )是否成立? 提示:因为A与 不是相互独立事件,是对立事件,所以 P(A )=P(A)P( )一定不成立.,2.若A与 是相互独立事件,则A与B是否相互独立? 提示:因为B与 是互斥事件, 所以P(B)=1-P( ), 又P(A )=P(A)-P(AB)=P(A)P( ), 所以P(AB)=P(A)P(B), 所以A与B相互独立.,【预习自测】 1.若事件A与B相互独立,则下列不相互独立的事件为 ( ),【解析】选C.依题意可知:当A与B相互独立时, 是相互独立的,而B与 不一定相互独立.,2.若事件A,B相互独立,且P(A)=P(B)= ,则P(AB)= (
5、 ) 【解析】选C.因为事件A,B相互独立,故 P(AB)=,3.抛掷一颗骰子一次,记A表示事件:“出现偶数点”, B表示事件:“出现3点或6点”,则事件A与B的关系 是 ( ) A.互斥事件 B.相互独立事件 C.既互斥又相互独立事件 D.既不互斥又不相互独立事件,【解析】选B. A=2,4,6,B=3,6,AB=6, 所以P(A)= ,P(B)= ,P(AB)= = , 所以A与B是相互独立事件.,4.盒子里有a个黑球,b个白球,每次取一个有放回地取两次,设A=第一次摸得黑球,B=第二次摸得黑球,则事件A发生_影响事件B发生.,【解析】显然A与B两个事件是相互独立的,所以事件A发生不会影响
6、事件B的发生. 答案:不会,5.两人射击命中目标的概率分别为 现两人同时射 击目标,则目标被命中的概率为_. 【解析】目标没有被击中的概率为 故目标被击中的概率为1- 答案:,6.已知A,B是相互独立事件,且P(A)= ,P(B)= , 则P(A )=_. 【解析】P(A )=P(A)P( )=P(A)(1-P(B)= (1- )= . 答案: .,7.甲、乙两人独立地解同一问题,甲解决这个问题的概率是P1,乙解决这个问题的概率是P2,求恰好有1人解决这个问题的概率.(仿照教材P54例3的解析过程),【解析】(1)甲解决这个问题,乙未解决这个问题的概率是P1(1-P2);(2)甲未解决这个问题
7、,乙解决这个问题的概率是P2(1-P1).所以恰好有1人解决这个问题的概率是P1(1-P2)+P2(1-P1).,类型一 相互独立事件的判断 【典例1】从一副扑克牌(去掉大、小王)中任抽一张,设A=“抽到K”,B=“抽到红牌”,C=“抽到J”,那么下列每对事件是否相互独立?是否互斥?是否对立?为什么? (1)A与B. (2)C与A.,【解题指南】可以依据相互独立事件、互斥事件、对立事件的概念进行定性分析,也可运用相关概率公式进行定量计算,作出判断.,【解析】(1)由于事件A为“抽到K”,事件B为“抽到红 牌”,故抽得红牌中有可能抽到红桃K或方块K,即有可 能抽到K,故事件A,B有可能同时发生,
8、显然它们不是互 斥事件,更不是对立事件,以下考虑它们是否为相互独 立事件:抽到K的概率P(A)= 抽到红牌的概率 P(B)= 故P(A)P(B)= 事件AB即为“既,抽到K又抽到红牌”,亦即“抽到红桃K或方块K”.故 P(AB)= 从而有P(A)P(B)=P(AB).因此A与B为相 互独立事件.,(2)从一副牌(52张)中任取一张,抽到K就不可能抽到J,抽到J就不可能抽到K,故事件C与A不可能同时发生,A与C互斥,不是相互独立事件.又抽不到K不一定抽到J,故A与C并非对立事件.,【方法总结】事件A,B相互独立的充要条件 事件A,B相互独立的充要条件是P(AB)=P(A)P(B). (1)充分性
9、:由定义知P(AB)=P(A)P(B)时, 事件A,B相互独立. (2)必要性:由A,B相互独立得P(B|A)=P(B), 所以P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B).,【巩固训练】容器中盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球. (1)“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”与“从剩余的7个球中任意取出1个,取出的还是白球”这两个事件是否相互独立?为什么?,(2)“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”与“把取出的1个白球放回容器,再从容器中任意取出1个,取出的是黄球”这两个事件是否相互独立?为什么?,【解析】(1)“从8个球中任意取出1个,取出的是白 球”的概率是 ,若这一事件发生了,则
10、“从剩余的7 个球中任意取出1个,取出的还是白球”的概率为 ; 若前一事件没有发生,则后一事件发生的概率为 .可 见,前一事件是否发生,对后一事件发生的概率有影响, 所以二者不是相互独立事件.,(2)由于把取出的白球放回容器,故对“再从容器中任意取出1个,取出的是黄球”的概率没有影响,所以二者是相互独立事件.,【补偿训练】甲、乙两名射手同时向一目标射击,设事 件A:“甲击中目标”,事件B:“乙击中目标”,则事件A 与事件B ( ) A.相互独立但不互斥 B.互斥但不相互独立 C.相互独立且互斥 D.既不相互独立也不互斥,【解析】选A.对同一目标射击.甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的,所以事
11、件A与B相互独立;对同一目标射击,甲、乙两射手可能同时击中目标,也就是说事件A与B可能同时发生,所以事件A与B不是互斥事件.,类型二 相互独立事件同时发生的概率 【典例2】(1)种植两株不同的花卉,若它们的成活率分别为p和q,则恰有一株成活的概率为 ( ) A.p+q-2pq B.p+q-pq C.p+q D.pq,(2)(2017贵阳高二检测)甲、乙两人破译一密码,他 们能破译的概率分别为 和 .求: 两人都能破译的概率; 两人都不能破译的概率.,【解题指南】(1)两种花卉成活与否是相互独立的,因 此可以利用相互独立事件的概率公式求解.(2)如果A,B 是相互独立事件,那么 均相互独立,所
12、以可以利用相互独立事件的概率公式来解题.,【解析】(1)选A.恰有一株成活的概率为p(1-q)+(1- p)q=p+q-2pq. (2)设“甲能破译”为事件A,“乙能破译”为事件B,则 A,B相互独立,从而 相互独立, “两人都能破译”为事件AB, 则P(AB)=P(A)P(B)=,“两人都不能破译”的事件为 则 =1-P(A)1-P(B),【延伸探究】 1.典例(2)中条件不变,求恰有一人能破译的概率. 【解析】“恰有一人能破译”的事件为 又 互斥,则,2.典例(2)中条件不变,试求至多有一人能破译的概率.,【解析】“至多有一人能破译”的事件为 互斥,故,3.若典例(2)中的条件“他们能破译
13、的概率分别为 ”换为“他们不能破译的概率分别为 ”, 其他条件不变.试求两人都能破译的概率.,【解析】设“甲能破译”为事件A,“乙能破译”为事 件B, 则由题意知 故 因此两人都能 破译的概率为P(AB)=P(A)P(B)=,【方法总结】求相互独立事件概率的步骤 (1)确定各事件之间是相互独立的. (2)确定这些事件可以同时发生. (3)求出每个事件发生的概率,再根据相互独立事件的概率计算公式求解.,【拓展延伸】已知两个事件A,B相互独立,它们的概率分别为P(A),P(B),则有,【补偿训练】三支球队中,甲队胜乙队的概率为0.4,乙队胜丙队的概率为0.5.丙队胜甲队的概率为0.6,比赛顺序是:
14、第一局是甲队对乙队,第二局是第一局的胜者对丙队,第三局是第二局的胜者对第一局的败者,第四局是第三局的胜者对第二局的败者,求乙队连胜四局的概率.,【解析】设乙队连胜四局为事件A,有下列情况: 第一局中乙胜甲(A1),其概率为1-0.4=0.6;第二局中乙胜丙(A2),其概率为0.5;第三局中乙胜甲(A3),其概率为1-0.4=0.6;第四局中乙胜丙(A4),其概率为0.5,因各局比赛中的事件相互独立,故乙队连胜四局的概率为 P(A)=P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)=0.620.52=0.09.,类型三 相互独立事件概率的综合应用 【典例3】设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0
15、.5,购买乙种商品的概率为0.6,且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立,各顾客之间购买商品也是相互独立的.求:,(1)进入商场的1位顾客,甲、乙两种商品都购买的概率. (2)进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率. (3)进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率.,【解题指南】解答本题先应明确购买甲、乙两种商品及顾客之间购买商品都是相互独立的,用字母表示相应的随机事件,再利用独立事件的概念进行求解.,【解析】记A表示事件“进入商场的1位顾客购买甲种商品”,则P(A)=0.5; 记B表示事件“进入商场的1位顾客购买乙种商品”,则P(B)=0.6; 记C表示事件“进入商场
16、的1位顾客,甲、乙两种商品都购买”;,记D表示事件“进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种”; 记E表示事件“进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种”. (1)易知C=AB,则P(C)=P(AB)=P(A)P(B)=0.50.6=0.3.,(2)易知D=(A )( B),则P(D)=P(A )+P( B)= P(A)P( )+P( )P(B)=0.50.4+0.50.6=0.5. (3)易知 = ,则P( )=P( )=P( )P( )=0.5 0.4=0.2,故P(E)=1-P( )=0.8.,【方法总结】 1.求解概率综合应用问题的思路 (1)“大化小”,即将问题划分为若干个彼此互斥或相互独立的事件. (2)运用概率的加法公式和乘法公式来求解,在
