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1、2.3.1 双曲线的标准方程,第2章 2.3 双曲线,1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程. 2.掌握双曲线的标准方程及其求法. 3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.,学习目标,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 双曲线的定义,思考 已知点P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列各条件下点P的轨迹是什么图形？,答案,答案,梳理,把平面内与两个定点F1，F2距离的 等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做 ， 叫做双曲线的焦距.,差的绝对值,双曲线的焦点,两焦点间的距离,思考1 双曲线的标准形式有两种，如何区别
2、焦点所在的坐标轴？,知识点二 双曲线的标准方程,在双曲线标准方程中，x2与y2的系数的符号决定了焦点所在的坐标轴.当x2的系数为正时，焦点在x轴上；当y2的系数为正时，焦点在y轴上，而与分母的大小无关.,答案,思考2 如图，类比椭圆中a，b，c的意义，你能在y轴上找一点B，使OBb吗？,以双曲线与x轴的交点A为圆心，以线段OF2为半径画圆交y轴于点B，此时OBb.,答案,梳理,题型探究,例1 求下列双曲线的标准方程：,类型一 求双曲线的标准方程,解答,(2)焦距为26，且经过点M(0,12)；,解答,因为双曲线经过点M(0,12)，所以M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a12
3、. 又2c26，所以c13，所以b2c2a225.,设双曲线方程为mx2ny21(mn0).,解答,待定系数法求方程的步骤 (1)定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴. (2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式， 若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2By21(AB0).,反思与感悟,(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值. (4)结论：写出双曲线的标准方程.,跟踪训练1 根据条件求双曲线的标准方程： (1)c ，经过点A(5,2)，焦点在x轴上；,解得a25或a230(舍).b21.,解答,(2)经过点P(4，2)和点Q(2 ，2 )；,解答
4、,设双曲线方程为mx2ny21(mn0),解答,例2 已知0180，当变化时，方程x2cos y2sin 1表示的曲线怎样变化？,类型二 由方程判断曲线的形状,解答,(2)当90时，方程为y21.方程表示两条平行直线y1.,反思与感悟,像椭圆的标准方程一样，双曲线的标准方程也有“定型”和“定量”两个方面的功能：定型：以x2和y2的系数的正负来确定；定量：以a、b的大小来确定.,解得m0，即m的取值范围为(，0). 此时，椭圆的焦点在x轴上，焦点坐标为(4,0).,解答,当曲线为双曲线时，依题意得(16m)m0， 解得0m16，即m的取值范围为(0,16). 此时，双曲线的焦点在x轴上，焦点坐标
5、为(4,0).,(2)当曲线为双曲线时，求m的取值范围，并写出焦点坐标.,解答,命题角度1 焦点三角形问题,类型三 双曲线的定义及应用,答案,解析,4a2m,由双曲线的定义，知AF1AF22a，BF1BF22a. 又AF2BF2AB， 所以ABF1的周长为AF1BF1AB 4a2AB4a2m.,(2)已知双曲线 的左、右焦点分别是F1、F2，若双曲线上一点P使得F1PF260，则F1PF2的面积为_.,答案,解析,由定义和余弦定理，得PF1PF26，,所以102(PF1PF2)2PF1PF2，所以PF1PF264.,引申探究 在本例(2)中，若F1PF290，其他条件不变，求F1PF2的面积.
6、,解答,由双曲线方程知a3，b4，c5. 由双曲线的定义得|PF1PF2|2a6，,将代入，得PF1PF232.,反思与感悟,求双曲线中焦点三角形面积的方法 (1)方法一：根据双曲线的定义求出|PF1PF2|2a； 利用余弦定理表示出PF1，PF2，F1F2之间满足的关系式； 通过配方，利用整体的思想求出PF1PF2的值；,特别提醒 利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件|PF1PF2|2a的变形使用，特别是与 ，PF1PF2间的关系.,跟踪训练3 已知F1，F2分别为双曲线C：x2y21的左，右焦点，点P在C上，F1PF260，则PF1PF2_.,4,设PF1m，PF2n，
7、,即m2n2mn8， (mn)2mn8，mn4， 即PF1PF24.,答案,解析,命题角度2 由双曲线定义求轨迹方程,答案,解析,例4 已知圆C1：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y29，动圆M同时 与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_.,如图，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B，根据两圆外切的条件，得MC1AC1MA，MC2BC2MB.因为MAMB， 所以MC1AC1MC2BC2， 即MC2MC12，这表明动点M与两定点C2， C1距离的差是常数2且26C1C2. 根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，这里a1，c3，则
8、b28.设点M的坐标为(x，y)，其轨迹方程为x2 1 (x1).,反思与感悟,定义法求双曲线方程的注意点 (1)注意条件中是到定点距离之差，还是差的绝对值. (2)当差的绝对值为常数时，要注意常数与两定点间距离的大小问题. (3)求出方程后要注意表示满足方程的解的坐标是否都在所给的曲线上.,由PF1F1F22PF2，PF2PF14， 得PF16，PF210. 又F1F214，,答案,解析,F1PF2120.,120,当堂训练,1,2,3,4,5,1.已知双曲线中的a5，c7，则该双曲线的标准方程为 _.,答案,1,2,3,4,5,1,由a0,0a24，且4a2a2，可解得a1.,答案,解析,
9、1,2,3,4,5,(5,10),答案,解析,由题意得(10k)(5k)0，解得5k10.,4.设F1，F2分别是双曲线x2 1的左，右焦点，P是双曲线上的一点，且3PF14PF2，则PF1F2的面积为_.,答案,解析,1,2,3,4,5,24,又由F1F210，可得PF1F2是直角三角形，,5.求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a3，c4，焦点在x轴上；,1,2,3,4,5,解答,由题设知，a3，c4. 由c2a2b2，得b2c2a242327. 因为双曲线的焦点在x轴上，,(2)焦点为(0，6)，(0,6)，经过点A(5,6)；,1,2,3,4,5,解答,由已知得c6，且焦点在y轴上. 因为点A(5,6)在双曲线上，,|135|8， 则a4，b2c2a2624220.,1,2,3,4,5,解得a23，b25.,解答,1.在双曲线定义中|PF1PF2|2a(2ab不一定成立，要注意与椭圆中a，b，c的区别.在椭圆中a2b2c2，在双曲线中c2a2b2. 3.用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a，b，c的方程组.如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2ny21(mn0)的形式求解.,规律与方法,本课结束,
