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1、2.2.1 椭圆的标准方程,第2章 2.2 椭圆,1.掌握椭圆的标准方程. 2.会求椭圆的标准方程. 3.能用标准方程判断曲线是否是椭圆,学习目标,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于 的点的轨迹叫做椭圆，这两个 叫做椭圆的焦点，_ 叫做椭圆的焦距,知识点一 椭圆的定义,两焦点间,常数(大于F1F2),定点F1，F2,的距离,思考1 在椭圆方程中，a、b以及参数c有什么几何意义，它们满足什么关系？,知识点二 椭圆的标准方程,在椭圆方程中，a表示椭圆上的点M到两 焦点间的距离之和的一半，可借助图形 帮助记忆，a、b、c(都是正数)恰构成一
2、个直角三角形的三条边，a是斜边，c 是焦距的一半，叫半焦距a、b、c始终满足关系式a2b2c2.,答案,思考2 怎样由椭圆的标准方程判断椭圆焦点所在的坐标轴？,谁的分母大焦点在谁轴上,答案,梳理 椭圆的标准方程,(c,0)与(c,0),(0，c)与(0，c),c2a2b2,题型探究,例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：,类型一 椭圆的标准方程,命题角度1 求椭圆的标准方程,解答,这与ab相矛盾，故应舍去,方法二 设椭圆的标准方程为mx2ny21(m0，n0，mn),解答,2a12，即a6. c4，b2a2c2624220，,解得11或21(舍去)，,求椭圆标准方程的方法 (1)定义法 即根据
3、椭圆的定义，判断出轨迹是椭圆，然后写出其方程 (2)待定系数法 先确定焦点位置；设出方程；寻求a，b，c的等量关系；求a，b的值，代入所设方程 特别提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为mx2ny21(mn，m0，n0),反思与感悟,跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是(0，2)，(0,2)，并且椭圆经过点,解答,椭圆的焦点在y轴上，,(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；,解答,椭圆的焦点在y轴上，,又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，,解答,设椭圆的方程为mx2ny21(m0，n0，且m
4、n),命题角度2 由标准方程求参数(或其取值范围),0m1,答案,解析,(1)利用椭圆方程解题时，一般首先要化成标准形式,反思与感悟,答案,解析,(7,10),解得7k10.,答案,解析,3或5,当焦点在x轴上时，a24，b2m，由2c2，得c1， 4m1，m3. 当焦点在y轴上时， a2m，b24，由2c2，得c1， m41，则m5. 综上可知，m3或5.,例3 如图，P为圆B：(x2)2y236上一动点，点A坐标为(2,0)，线段AP的垂直平分线交直线BP于点Q，求点Q的轨迹方程,命题角度1 由椭圆的定义确定轨迹方程,解答,类型二 椭圆定义的应用,直线AP的垂直平分线交直线BP于点Q， A
5、QPQ. AQBQPQBQ6AB4， 点Q的轨迹为以A、B为焦点的椭圆， 且2a6,2c4， a3，c2，即b2a2c25，,用定义法求椭圆的方程，首先要利用平面几何知识将题目条件转化为到两定点的距离之和为定值，然后判断椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴，最后由定义得出椭圆的基本量a，b，c.,反思与感悟,跟踪训练3 已知圆A：(x3)2y2100，圆A内一定点B(3,0)，圆P过点B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程,解答,如图，设圆P的半径为r，又圆P过点B， PBr. 又圆P与圆A内切，圆A的半径为10， 两圆的圆心距为PA10r， 即PAPB10(大于AB6)， 圆心P的轨迹是以A
6、、B为焦点的椭圆 2a10,2cAB6， a5，c3，b2a2c225916.,命题角度2 椭圆中的焦点三角形,解答,又P在椭圆上，,式两边平方，得,引申探究 在本例中，若图中的直线PF1与椭圆相交于另一点B，连结BF2，其他条件不变，求BPF2的周长,解答,由椭圆的定义，可得BPF2的周长为PBPF2BF2 (PF1PF2)(BF1BF2),(1)对于求焦点三角形的面积，结合椭圆定义，建立关于PF1(或PF2)的方程求得PF1(或PF2)；有时把PF1PF2看成一个整体，运用公式PF PF (PF1PF2)22PF1PF2及余弦定理求出PF1PF2，而无需单独求出，这样可以减少运算量,反思与
7、感悟,解答,当PF2F190时，,当F1PF290时，同理求得PF14，PF22，,当堂训练,1.已知椭圆4x2ky24的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k的值是_.,2,1,2,3,4,5,答案,解析,2.在椭圆的标准方程中，a6，b ，则椭圆的标准方程是_.,1,2,3,4,5,答案,3.若ABC的两个顶点坐标分别为A(4,0)，B(4,0)，ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为_.,1,2,3,4,5,由题意知，顶点C到两个定点A，B的距离之和为定值10，且大于两定点间的距离，因此顶点C的轨迹为椭圆，并且2a10，所以a5. 因为2c8，所以c4，所以b2a2c29. 又A、B、C三
8、点构成三角形，所以y0.,答案,解析,4.“mn0”是“方程mx2ny21表示焦点在y轴上的椭圆”的_条件.,充要,答案,解析,1,2,3,4,5,5.设P是椭圆 上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为2，则PF1F2的面积是_.,1,2,3,4,5,答案,解析,6,由椭圆定义知，PF1PF22a8， 不妨设PF1PF2. PF1PF22，PF15，PF23， 又F1F22c4，PF1F2为直角三角形，,1.对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：可以通过待定系数法求解，也可以通过椭圆的定义进行求解. 2.用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，也可设Ax2By21(A0，B0，AB)求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的.,规律与方法,本课结束,
