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1、我带领班子成员及全体职工，积极参加县委、政府和农牧局组织的政治理论学习，同时认真学习业务知识，全面提高了自身素质，增强职工工作积极性，杜绝了纪律松散3.1.5空间向量的数量积学习目标1.理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标.2.掌握空间向量的坐标运算规律，并会判断两个向量是否共线或垂直.3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些知识解决一些相关问题.知识点一空间向量的夹角1.文字叙述：a，b是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作a，b，则_叫做向量a与向量b的夹角，记作_.2.图形表示：角度表示a，b_a，b是_a，b是_a，b是钝角a，b_3.范围：_a
2、，b_.4.空间向量的垂直：如果a，b，那么称a与b互相垂直，记作_.知识点二空间向量的数量积思考两个向量的数量积是数量，还是向量？梳理(1)定义：设a，b是空间两个非零向量，把数量_叫做a，b的数量积.记作：ab，即ab_.(2)运算律：交换律ab_数乘向量与向量数量积的结合律(a)b_(R)分配律a(bc)_(3)坐标表示：已知非零向量a，b，a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，则ab_.ab_.|a|_.cosa，b_.知识点三空间中两点间的距离公式思考空间两点间的距离公式与两点顺序有关吗？梳理在空间直角坐标系中，设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB_.类
3、型一空间向量的数量积运算命题角度1空间向量的数量积基本运算例1(1)下列命题是否正确？正确的请给出证明，不正确的给予说明.p2q2(pq)2；|pq|pq|p2q2|；若a与(ab)c(ac)b均不为0，则它们垂直.(2)设a，b120，|a|3，|b|4，求：ab；(3a2b)(a2b).反思与感悟(1)已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积的公式计算.(2)如果欲求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用aa|a|2及数量积公式进行计算.跟踪训练1已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a3b|_.命题角度2利用空间向量的数量积解决立体
4、几何中的运算问题例2已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，ABAA12，AD4，E为侧面ABB1A1的中心，F为A1D1的中点.试计算：(1)；(2)；(3).反思与感悟两向量的数量积，其运算结果是数量，而不是向量.零向量与任意向量的数量积为0.向量的数量积不满足结合律.跟踪训练2已知正四面体OABC的棱长为1，求：(1)( )()；(2)|.类型二利用数量积求夹角或模命题角度1利用数量积求夹角例3已知BB1平面ABC，且ABC是B90的等腰直角三角形，ABB1A1、BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等，若ABa，求异面直线BA1与AC所成的角.反思与感悟利用向量求异面直线夹角的方法 跟
5、踪训练3已知：PO、PA分别是平面的垂线、斜线，AO是PA在平面内的射影，l，且lOA.求证：lPA.命题角度2利用数量积求模(或距离)例4如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB1，AD2，AA13，BAD90，BAA1DAA160，求AC1的长.反思与感悟利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|求解即可.跟踪训练4如图，已知线段AB平面，BC，CDBC，DF平面，且DCF30，D与A在的同侧，若ABBCCD2，求A，D
6、两点间的距离.类型三利用空间向量的数量积解决垂直问题例5如图，在空间四边形OABC中，OBOC，ABAC，求证：OABC.反思与感悟(1)证明线线垂直的方法证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直.(2)证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直的方法：先用向量a，b，c表示向量m，n，再判断向量m，n的数量积是否为0.跟踪训练5已知向量a，b满足：|a|2，|b|，且a与2ba互相垂直，则a与b的夹角为_.1.若a(2，3,1)，b(2,0,3)，c(0,2,2)，则a(bc)的值为_.2.已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，且kab与
7、2ab互相垂直，则k的值是_.3.已知a，b为两个非零空间向量，若|a|2，|b|，ab，则a，b_.4.已知正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为_.5.已知A(2，5,1)，B(2，2,4)，C(1，4,1)，则向量与的夹角为_.1.在几何体中求空间向量数量积的步骤(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积.(3)代入ab|a|b|cosa，b求解.2.空间向量的数量积和夹角有关，经常以空间向量数量积为工具，解决立体几何中与夹角相关的问题，把空间两条直线所成的角问题转化为两条直线
8、对应向量的夹角问题，但要注意空间两条直线所成的角与对应向量的夹角的取值范围.答案精析问题导学知识点一1.AOBa，b2.0锐角直角3.04.ab知识点二思考数量，由数量积的定义ab|a|b|cosa，b，知其为数量而非向量.梳理(1)|a|b|cosa，b|a|b|cosa，b(2)ba(ab)abac(3)x1x2y1y2z1z2ab0x1x2y1y2z1z20知识点三思考空间两点间的距离是同名坐标的差的平方和的算术平方根，因此空间两点间的距离公式与两点顺序无关.梳理题型探究例1(1)解此命题不正确.p2q2|p|2|q|2，而(pq)2(|p|q|cosp，q)2|p|2|q|2cos2p
9、，q，当且仅当pq时，p2q2(pq)2.此命题不正确.|p2q2|(pq)(pq)|pq|pq|cospq，pq|，当且仅当(pq)(pq)时，|p2q2|pq|pq|.此命题正确.a(ab)c(ac)ba(ab)ca(ac)b(ab)(ac)(ab)(ac)0，且a与(ab)c(ac)b均为非零向量，a与(ab)c(ac)b垂直.(2)解ab|a|b|cosa，b，ab34cos 1206.(3a2b)(a2b)3|a|24ab4|b|23|a|24|a|b|cos 1204|b|2，(3a2b)(a2b)39434()41627246461.跟踪训练1例2解如图，设a，b，c，则|a|c
10、|2，|b|4，abbcca0.(1)b(ca)b|b|24216.(2)(ac)|c|2|a|222220.(3)(abc)|a|2|b|22.跟踪训练2(1)1(2)例3解如图所示.，()().ABBC，BB1AB，BB1BC，0，0，0且a2.a2.又|cos，cos，.又，0，180，120，又异面直线所成的角是锐角或直角，异面直线BA1与AC所成的角为60.跟踪训练3证明如图，取直线l的方向向量a，同时取向量，.因为lOA，所以a0.因为PO，且l，所以lPO，因此a0.又因为aa()aa0， 所以lPA.例4解因为，所以2()22222().因为BAD90，BAA1DAA160，所以，90，60，所以21492(13cos 6023cos 60)23.因为2|2，所以|223，|，即AC1.跟踪训练42例5证明因为OBOC，ABAC，OAOA，所以OACOAB，所以AOCAOB.又()|cosAOC|cosAOB0，所以，即OABC.跟踪训练545当堂训练1.32.3.4.5.经过专家组及技术指导员的共同努力，科技入户工作取得了很大的成绩，促进了小麦 产量的大幅提升，农民种粮收益明显提高，得到了广大群众的一致赞许和社会各界的广泛好评。
