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1、3.4 导数在实际生活中的应用,第3章 导数及其应用,1.了解导数在解决实际问题中的作用. 2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.,学习目标,题型探究,知识梳理,内容索引,当堂训练,知识梳理,知识点 生活中的优化问题,1.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为 . 2.利用导数解决优化问题的实质是求函数最值. 3.解决优化问题的基本思路： 上述解决优化问题的过程是一个典型的 过程.,优化问题,数学建模,题型探究,类型一 几何中的最值问题,例1 某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场.如图，圆形广场的圆心为O，半径为100 m，并与北京路一边所在直线l
2、相切于点M.点A为上半圆弧上一点，过点A作l的垂线，垂足为点B.市园林局计划在ABM内进行绿化.设ABM的面积为S(单位：m2)，AON(单位：弧度). (1)将S表示为的函数；,命题角度1 平面几何中的最值问题,解答,BMAOsin 100sin ， ABMOAOcos 100100cos ，(0，).,5 000(sin sin cos )，(0，).,解答,(2)当绿化面积S最大时，试确定点A的位置，并求最大面积.,S5 000(2cos2cos 1) 5 000(2cos 1)(cos 1). 令S0，,当变化时，S，S的变化情况如下表：,此时AB150 m，即点A到北京路一边l的距离
3、为150 m.,平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值.,反思与感悟,跟踪训练1 如图所示，在二次函数f(x)4xx2的图象与x轴所围成图形中有一个内接矩形ABCD，求这个矩形面积的最大值.,解答,设点B的坐标为(x,0)，且0x2， f(x)4xx2图象的对称轴为x2， 点C的坐标为(4x,0)， BC42x，BAf(x)4xx2. 矩形面积为y(42x)(4xx2)16x12x22x3， y1624x6x22(3x212x8)，,例2 请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是边长为60 cm的
4、正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AEFBx cm. (1)若广告商要求包装盒侧面积S最大， 则x应取何值？,命题角度2 立体几何中的最值问题,解答,当且仅当x30x，即x15时，等号成立， 所以若广告商要求包装盒侧面积S最大，则x15.,(2)若广告商要求包装盒容积V最大，则x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.,解答,令V0，得0x20；令V0，得20x30.,(1)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积
5、，并在此基础上解决与实际相关的问题. (2)解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程.,反思与感悟,跟踪训练2 周长为20 cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体 积的最大值为_ cm3.,答案,解析,设矩形的长为x cm，则宽为(10x)cm (0x10). 由题意可知圆柱体积 Vx2(10x)10x2x3. V20x3x2，,类型二 实际生活中的最值问题,例3 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全
6、部销 售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x) (1)求年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；,解答,命题角度1 利润最大问题,当0x10时，,(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出最大值.,解答,当x(0,9)时，W0；当x(9,10时，W0. 所以当x9时，W取得最大值，,综合知，当x9(千件)时，W取得最大值为38.6万元.,答 当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润为38.6万元.,反思与感悟,解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有：
7、 (1)利润收入成本； (2)利润每件产品的利润销售件数.,解答,所以a2.,(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.,解答,210(x3)(x6)2,3x6. 从而f(x)10(x6)22(x3)(x6) 30(x4)(x6). 于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,由上表可得，x4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点. 所以当x4时，函数f(x)取得最大值，且最大值为42. 答 当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.,例4 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和
8、外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x) (0x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. (1)求k的值及f(x)的表达式；,命题角度2 费用(用料)最省问题,解答,而建造费用为C1(x)6x. 最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为,(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值.,解答,当00，,答 当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值为70万元.,反思与感悟,(
9、1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象.正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答. (2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f(x)0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值.,跟踪训练4 某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该块空地上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建x(x10)层，则每平方米的平均建筑费用为(56048x)元.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建多少层？,解答,设该楼房每平方米的平均综
10、合费用为f(x)元，,令f(x)0，得x15. 当x15时，f(x)0；当10x15时，f(x)0. 所以当x15时，f(x)取得最小值，即f(15)2 000. 答 为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建15层.,当堂训练,1,2,3,4,5,1.在某城市的发展过程中，交通状况逐渐受到更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该 路段的时刻t之间的关系可近似地用函数表示为 ，则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是_时.,答案,解析,8,1,2,3,4,5,当t(6,8)时，y0；当t(8,9)时，y0， 故t8时，y取最大值
11、.,1,2,3,4,5,设长方体的底面边长为x m，则高为(62x)m， 0x3， 则长方体的体积为V(x)x2(62x)6x22x3，V(x)12x6x2. 令V(x)0，得x2或x0(舍去). 当x(0,2)时，函数V(x)是增函数；当x(2,3)时，函数V(x)是减函数， 当x2时，V(x)max428(m3).,2.用长为24 m的钢筋做成一个长方体框架，若这个长方体框架的底面为正方形，则这个长方体体积的最大值为_ m3.,8,答案,解析,1,2,3,4,5,答案,解析,300,1,2,3,4,5,令P(x)0，得x300.,1,2,3,4,5,4.要制作一个容积为4 m3，高为1 m
12、的无盖长方体容器，已知底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_元.,答案,解析,160,1,2,3,4,5,令y0，得x2. 所以当x2时，ymin160(元).,1,2,3,4,5,5.某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件.如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0x21)的平方成正比.已知商品单价降低2元时，每星期多卖出24件. (1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；,解答,设商品降价x元，则多卖的商品数为kx2. 若记商品在一个星期的获利为f(x)，则有 f(x)(30x9)(432k
13、x2)(21x)(432kx2). 由已知条件，得24k22，于是有k6. 所以f(x)6x3126x2432x9 072，x0,21.,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？,解答,根据(1)，f(x)18x2252x432 18(x2)(x12). 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,1,2,3,4,5,故当x12时，f(x)取得极大值.因为f(0)9 072，f(12)11 664. 所以当定价为301218(元)时，才能使一个星期的商品销售利润最大.,规律与方法,1.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系yf(x)； (2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0； (3)比较函数在区间端点和使f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值. 2.正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路.另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用.,本课结束,
