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1、3.3.3 最大值与最小值,第3章 3.3 导数在研究函数中的应用,1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系. 2.会求某闭区间上函数的最值,学习目标,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点 函数的最大值与最小值,思考1 观察a，b上函数yf(x)的图象，试找出它的极大值、极小值,如图为yf(x)，xa，b的图象,答案,极大值为f(x1)，f(x3)，极小值为f(x2)，f(x4),思考2 结合图象判断，函数yf(x)在区间a，b上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？,答案,存在，f(x)minf(a)，f(x)maxf(x3),思考3 函数yf(x)在a
2、，b上的最大(小)值一定是某极值吗？,答案,不一定，也可能是区间端点的函数值,思考4 怎样确定函数f(x)在a，b上的最小值和最大值？,答案,比较极值与区间端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值,梳理 (1)函数的最大(小)值的存在性 一般地，如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条 的曲线，那么它必有最大值与最小值 (2)求函数yf(x)在闭区间a，b上的最值的步骤 求函数yf(x)在(a，b)内的 ； 将函数yf(x)的 与 处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是 ，最小的一个是 ,连续不断,各极值,极值,端点,最大值,最小值,题型探究,类型一 求函数的最值,例1 求
3、下列函数的最值： (1)f(x)2x312x，x2,3；,解答,命题角度1 不含参数的函数求最值,f(x)2x312x，,当x3时，f(x)取得最大值18.,所以当x0时，f(x)有最小值f(0)0； 当x2时，f(x)有最大值f(2).,解答,求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点： (1)对函数进行准确求导，并检验f(x)0的根是否在给定区间内； (2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值； (3)比较极值与端点函数值大小，确定最值,反思与感悟,跟踪训练1 求函数f(x)ex(3x2)，x2,5的最值,f(x)3exexx2， f(x)3ex(exx22exx)ex(x22x3)
4、 ex(x3)(x1) 在区间2,5上，f(x)ex(x3)(x1)0， 函数f(x)在区间2,5上单调递减， 当x2时，函数f(x)取得最大值f(2)e2； 当x5时，函数f(x)取得最小值f(5)22e5.,解答,例2 已知a是实数，函数f(x)x2(xa)，求f(x)在区间0,2上的最大值,解答,命题角度2 含参数的函数求最值,从而f(x)maxf(0)0.,从而f(x)maxf(2)84a.,由于参数的取值不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化所以解决这类问题常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解,反思与感悟,跟踪训练2 在例2中，将区间0,2改为1,0，结果
5、如何？,解答,从而f(x)maxf(1)1a；,类型二 由函数的最值求参数,例3 已知函数f(x)ax36ax2b，x1,2的最大值为3，最小值为29，求a，b的值,解答,由题设知a0，否则f(x)b为常函数，与题设矛盾 求导得f(x)3ax212ax3ax(x4)， 令f(x)0，得x10，x24(舍去) 当a0时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,由表可知，当x0时，f(x)取得极大值b，也是函数f(x)在1,2上的最大值，f(0)b3.,又f(1)7a3，f(2)16a3f(1)， f(2)16a329，解得a2.,当af(1)， f(2)16a293，解得a2. 综上可得，a2，b
6、3或a2，b29.,反思与感悟,已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题其中注意分类讨论思想的应用,解答,f(x)x2x2a，,当x(，x1)，(x2，)时，f(x)0， 所以f(x)在(，x1)，(x2，)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增 当0a2时，有x11x24， 所以f(x)在1,4上的最大值为f(x2),故a1，x22，,类型三 函数最值的综合应用,例4 设函数f(x)tx22t2xt1(xR，t0) (1)求f(x)的最小值h(t)；,解答,f(x)t(x
7、t)2t3t1(xR，t0)， 当xt时，f(x)取最小值f(t)t3t1， 即h(t)t3t1.,(2)若h(t)2tm对t(0,2)恒成立，求实数m的取值范围,解答,令g(t)h(t)(2tm)t33t1m， 由g(t)3t230，得t1，t1(不合题意，舍去) 当t变化时g(t)、g(t)的变化情况如下表：,对t(0,2)，当t1时，g(t)max1m，h(t)1. 故实数m的取值范围是(1，),反思与感悟,(1)“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，一般地，可采用分离参数法进行转化f(x)恒成立f(x)max；f(x)恒成立f(x)min.对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含
8、参函数的最值即可 (2)此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况，以此来确定参数的范围能否取得“”,跟踪训练4 已知2xln xx2ax3对一切x(0，)恒成立，求a的取值范围,解答,由2xln xx2ax3，,令h(x)0，得x1， 当x(0,1)时，h(x)0，h(x)单调递增 h(x)minh(1)4. ah(x)min4. a的取值范围是(，4,当堂训练,1,2,3,4,5,f(x)3x233(x1)(x1)，当x(1,1)时，f(x)0，所以f(x)在(1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故正确.,1.函数f(x)x33x(|x|1)，则下列说法正确
9、的是_.(填序号) 有最大值，但无最小值；有最大值，也有最小值； 无最大值，但有最小值；既无最大值，也无最小值.,答案,解析,1,2,3,4,5,所以y的最大值为ymaxsin .,2.函数yxsin x，x 的最大值是_.,答案,解析,1,2,3,4,5,3.函数f(x)x3x2xt在区间0,2上的最小值为3，则函数在0,2上的最大值为_.,答案,解析,6,f(x)3x22x1，令f(x)0，解得x 或x1.因为在0,1)上，f(x)0，所以当x1时，函数f(x)取极小值，也是最小值，则f(1)111t3，所以t4，又函数f(x)在两端点处的函数值为f(0)4，f(2)84246，所以函数在
10、0,2上的最大值为6.,1,2,3,4,5,4.已知函数yx22x3在区间a,2上的最大值为 ，则a_.,当a1时，最大值为4，不符合题意. 当1a2时，f(x)在a,2上是减函数， 所以f(x)maxf(a)，,答案,解析,1,2,3,4,5,答案,解析,(7，),可求得f(x)maxf(2)7. 对于任意x1,2，f(x)7.,f(x)3x2x2，令f(x)0，,规律与方法,1.求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，则这个极值就是最值. 2.已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论. 3.“恒成立”问题可转化为函数最值问题.,本课结束,
