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1、1.2 排列与组合 1.2.1 排 列 第1课时 排列的概念及简单排列问题,主题 排列的概念 问题1 从甲、乙、丙3名演员中选出2名参加一项活动,其中1名演员参加上午的活动,另1名演员参加下午的活动,有多少种不同的安排方法?,(1)该问题能用分步乘法计数原理求解吗? 提示:能,分两步.第1步,确定参加上午活动的演员,有3种;第2步,确定参加下午活动的演员,有2种.所以共有32=6种.,(2)如果把上午甲下午乙表示为“甲乙”,你能列举出所有的不同的安排方法吗? 提示:,问题2 从1,2,3这3个数字中,每次取出3个排成一个三位数,共可得到多少个不同的三位数? (1)你能列出所有的三位数吗?,提示
2、:如图所示: 所有的三位数有:123,132,213,231,312,321.,(2)该问题用分步乘法计数原理如何求解? 提示:分3步,第1步,确定百位,有3种方法; 第2步,确定十位,有2种方法; 第3步,确定个位,有1种方法. 共有32=6个.,结论: 排列的概念: 一般地,从n个不同元素中取出m(mn)个元素,按照 一定的_排成一列,叫做从_个不同元素中取出_个 元素的一个_.,顺序,n,m,排列,【微思考】 1.排列的定义包含哪两项基本内容? 提示:一是“从n个不同元素中取出m个元素”,二是“按照一定的顺序”.,2.元素相同的两个排列是否相同?两个排列相同的充要条件是什么? 提示:元素
3、相同的两个排列不一定相同.两个排列相同的充要条件是元素完全相同,且元素的排列顺序也相同.,【预习自测】 1.从1,2,3,4这4个数字中,每次取出2个排成一个两位数,可以得到多少个不同的两位数 ( ) A.12 B.24 C.8 D.16,【解析】选A.树形图如图. 故共有12个不同的两位数.,2.下列问题中: (1)10本不同的书分给10名同学,每人一本. (2)10位同学每两位通一次电话. (3)10位同学互通一封信. (4)10个没有任何三点共线的点构成的线段. 属于排列的有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,【解析】选B.根据排列的概念可知(1)(3)属于排列问题.,3.
4、从5本不同的书中选2本送给2个同学每人一本,共有给法种数是 ( ) A.5 B.10 C.20 D.60 【解析】选C.分两步,第1步,选1本给其中一个同学有5种方法,第2步,从余下4本中选1本给另一同学有4种方法,共有54=20种.,4.从5个人中选取2个人去完成某项工作,这_排列问题.(填“是”或“不是”) 【解析】甲和乙去,与乙和甲去完成这项工作是同一种选法. 答案:不是,5.从5名教师中选派两人到两个中学去支教,问有多少种不同的选派方法?(仿照教材P14问题1的解析过程),【解析】记5名教师为a,b,c,d,e,从中取2个,不同的排法代表不同的选派方法,故排法共有:ab,ac,ad,a
5、e,bc, bd,be, cd,ce,de,ba,ca,da,ea,cb,db,eb,dc,ec,ed,共20种.,类型一 排列的概念 【典例1】判断下列问题是否是排列问题 (1)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标,可得多少个不同的点的坐标?,(2)从20名同学中任抽两名同学去学校开座谈会,有多少种不同的抽取方法? (3)某商场有四个大门,若从一个门进去,购买物品后再从另一个门出来,不同的出入方式共有多少种?,【解题指南】判断是否为排列问题的关键:一是选出的元素互不相同,二是选出的元素在安排时,是否与顺序有关,若与顺序有关就是排列问题,否则不是排列问题.,【解析】(1
6、)由于取出的两数组成点的坐标与哪一数作横坐标,哪一数作纵坐标的顺序有关,所以这是一个排列问题. (2)因为任何一种从20名同学抽取两人去学校开座谈会的方式不用考虑两人的顺序,所以这不是排列问题.,(3)因为从一门进,从另一门出是有顺序的,所以是排列问题. 所以(1)(3)是排列问题,(2)不是排列问题.,【方法总结】判断一个具体问题是否为排列问题的方法 确认一个具体问题是否为排列问题,一般从两个方面确认.,(1)要保证元素的无重复性,否则不是排列问题. (2)要保证选出的元素被安排的有序性,否则不是排列问题,而检验它是否有顺序的标准是变换某一结果中两元素的位置,看结果是否变化,有变化就是有顺序
7、,无变化就是无顺序.,【巩固训练】下列问题是排列问题吗?说明你的理由. (1)从1,2,3三个数字中,任选两个做加法,其结果有多少种不同的可能? (2)从1,2,3三个数字中,任选两个做除法,其结果有多少种不同的可能?,(3)会场有50个座位,要求选出3个座位有多少种方法? 若选出3个座位安排3个客人,又有多少种方法? (4)从集合M=1,2,9中,任取相异的两个元素作为 a,b,可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆 =1?,【解析】(1)不是.如1+2与2+1的结果是一样的,即取出的这两个元素相加结果一样,所取元素没有顺序性. (2)是.从1,2,3,5四个数字中,任选两个做除法,有顺序,符合排
8、列特点.,(3)第一问不是,第二问是.选座位与顺序无关,“入 座”问题,与顺序有关,故选3个座位安排三位客人是排 列问题. (4)不是.若方程 表示焦点在x轴上的椭圆,则必 有ab,a,b的大小一定,因此这不是排列问题.,【补偿训练】(2017大连高二检测)(1)在各国举行的 足球联赛中,一般采取“主客场制”(即每两个球队之间分别作为主队和客队各赛一场).若共有12支球队参赛,问共需进行多少场比赛?,(2)在“世界杯”足球赛中,由于由东道主国家承办,故无法实行“主客场制”,而采用“分组循环淘汰制”.若共有32支球队参加,分为八组,每组4支球队进行小组循环,问在小组循环中共需进行多少场比赛?,(
9、3)在乒乓球单打比赛中,由于参赛选手较多,故常采取“抽签组对淘汰制”决出冠军.若共有100名选手参赛,待冠 军产生时,共需举行多少场比赛? 在上述三个问题中,是排列问题的是_.,【解析】对于(1),由于甲、乙两队比赛,甲作为主队和乙作为主队是两场不同的比赛,故与顺序有关,是排列问题; 对于(2),由于是组内循环,故甲、乙两队之间只需进行一场比赛,与顺序无关,不是排列问题;,对于(3),由于两名选手一旦比赛后就淘汰其中一位,故也与顺序无关,不是排列问题. 答案:(1),类型二 写出简单排列问题的所有排列 【典例2】北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线,需要准备多少种不同的飞机票? 【解题指南
10、】借助树形图列举出排列的所有情况.,【解析】需要准备如下6种不同的飞机票:,【方法总结】“树形图”法写出排列的步骤 (1)确定分类的标准. (2)按要求写出每类中的首个元素. (3)依次进行罗列.,【巩固训练】有5个不同的科研小课题,从中选3个由高二(6)班的3个学习兴趣小组进行研究,每组一个课题,共有多少种不同的安排方法?,【解析】记这5个不同的科研小课题为a,b,c,d,e,从中选3个分给3个小组,列出树形图如图.,故共有60种不同的安排方法.,【补偿训练】A、B、C、D四名同学排成一行照相,要求 自左向右,A不排第一,B不排第四,试写出所有排列方法.,【解析】因为A不排第一,排第一位的情
11、况有3类(可从B、C、D中任选一人排),而此时兼顾分析B的排法,列树形图如图.,符合题意的所有排列是:BADC,BACD,BCAD,BCDA, BDAC,BDCA,CABD,CBAD,CBDA,CDBA,DABC,DBAC,DBCA,DCBA.共14种不同的排法.,类型三 有限制条件的排列问题 【典例3】由0,1,2,3四个数字共能组成多少个没有重复数字的四位数?试全部列出.,【解题指南】可借助于树形图列举出排列的所有情况,注意首位不能是0.,【解析】画出树形图如下:,由树形图可知,所有四位数为: 1023,1032,1203,1230,1302,1320, 2013,2031,2103,21
12、30,2301,2310, 3012,3021,3102,3120,3201,3210. 共有18个.,【延伸探究】 1.问能组成多少个没有重复数字的四位偶数?,【解析】画出树形图如下: 第1类 0在个位:,第2类 2在个位:,所以所有四位偶数为: 1230,1320,3210,3120,2130,2310,1302,1032,3102, 3012.共有10个.,2.问能组成多少个四位偶数(数字可以重复)? 【解析】所有的偶数可分为两类: 第1类,个位数为0,可分为3步: 第1步,排千位有3种方法; 第2步,排百位有4种方法; 第3步,排十位有4种方法.,共有344=48种方法. 第2类,个位
13、数为2,可分为3步: 第1步,排千位,从1,2,3中选有3种方法; 第2步,排百位,从0,1,2,3中选有4种方法; 第3步,排十位,从0,1,2,3中选有4种方法. 共有344=48种方法. 故共有48+48=96个.,【方法总结】用树形图法解有限制条件问题的策略 (1)有限制条件的排列问题一般表现为:某些元素不能在某个(或某些)位置、某个(或某些)位置只能放某些元素.,(2)解有限制条件的排列问题时,要优先处理特殊元素或先处理特殊位置,做到“想透、排够、不重不漏”. (3)根据题意合理构造树形图,再根据树形图写出所求内容.,【补偿训练】A,B,C,D四名同学重新换位(每个同学都不能坐其原来的位子),试列出所有可能的换位方法.,【解题指南】本题是一个有限制条件的排列问题;假设A,B,C,D四名同学原位子分别为1,2,3,4号,则有如下限制条件:,解答本题可以按位置排法的可能性分类,列树形图解决,【解析】假设A,B,C,D四名同学原来的位子分别为1,2,3,4号,列出树形图如下: 位置编号,换位后,原来1,2,3,4号座位上坐的同学的所有可能排法有:BADC,BCDA,BDAC,CADB,CDAB,CDBA, DABC, DCAB, DCBA,共9种.,【课堂小结】 1.知识总结,2.方法总结 树形图法 将第一、二元素依次作为树干、树枝从而写出所有排列的方法.,
