《高中数学 第一章 计数原理 1_1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 1_1_2课件 新人教a版选修2-3》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第一章 计数原理 1_1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 1_1_2课件 新人教a版选修2-3（53页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第2课时 分类加法计数原理 与分步乘法计数原理的综合应用,类型一 组数问题 【典例1】(1)(2017衡水高二检测)我们把个位数比十位数小的两位数称为“和谐两位数”,则1,2,3,4四个数组成的两位数中,“和谐两位数”有_个.,(2)8张卡片上写着0,1,2,7共8个数字,取其中的三张卡片排放在一起,可组成多少个不同的三位数?,【解题指南】(1)要组成一个“和谐两位数”可按个位数进行分类,然后先排个位数再排十位数. (2)百位数字不能为0,同时每位上的数字不能重复.,【解析】(1)当个位数为1时,十位数可以是2,3,4任意一个,有3种选法;当个位数为2时,十位数可以是3,4任意一个,有2种选法
2、; 当个位数为3时,十位数只能是4,有1种选法;由分类加法计数原理,满足条件的“和谐两位数”有3+2+1=6(个). 答案:6,(2)先排放百位从1,2,7共7个数中选一个,有7种选法; 再排十位,从除去百位的数外,剩余的7个数(包括0)中选一个,有7种选法;最后排个位,从除前两步选出的数外,剩余的6个数中选一个,有6种选法.由分步乘法计数原理,共可以组成776=294(个)不同的三位数.,【延伸探究】 1.典例1(2)条件不变,问可组成多少个无重复数字的三位密码? 【解题指南】明确“三位密码”各个数位上的数字可以是0.,【解析】完成“组成无重复数字的三位密码”这件事,可以分为三步:第一步,选
3、取左边第一个位置上的数字,有8种方法;第二步,选取左边第二个位置上的数字,有7种方法;第三步,选取左边第三个位置上的数字,有6种方法.由分步乘法计数原理知,可以组成无重复数字的三位密码共有876=336(个).,2.典例1(2)中将条件“8张卡片上写着0,1,2,7共8个数字”,改为“4张卡片的正、反面分别写有0与1,2与3,4与5,6与7”.问可组成多少个不同的三位数?,【解析】要组成三位数,根据百位、十位、个位应分三步: 第一步:百位可放8-1=7个数;第二步:十位可放6个数; 第三步:个位可放4个数.故由分步乘法计数原理,得共可组成764=168(个)不同的三位数.,【方法总结】数字问题
4、的解决方法及注意事项 方法:对于组数问题,可从数位入手,逐位探究可能的选取方法,再利用两个原理计算.一般按特殊位置(末位或首位)由谁占领分类,分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成;如果正面分类较多,可采用间接法求解.,注意事项:解决组数问题,应特别注意其限制条件,有些条件是隐藏的,要善于挖掘,排数时要注意特殊位置、特殊元素优先的原则.,【补偿训练】用0,1,2,3,4这5个数字可以组成多少 个按下列要求的无重复数字? (1)四位密码. (2)四位数. (3)四位奇数.,【解析】(1)完成“组成无重复数字的四位密码”这件事,分为四个步骤: 第一步,取左边第一位上的数字,有5种选取方
5、法; 第二步,取左边第二位上的数字,有4种选取方法; 第三步,取左边第三位上的数字,有3种选取方法; 第四步,取左边第四位上的数字,有2种选取方法.,由分步乘法计数原理知,可以组成不同的四位密码共有N=5432=120(个).,(2)方法一:完成“组成无重复数字的四位数”这件事分为四个步骤: 第一步,从1,2,3,4中选取一个数字作千位数字,有4种选取方法; 第二步、第三步、第四步与(1)类似,分别有4,3,2种选取方法.,由分步乘法计数原理知,可以组成不同的四位数共有N=4432=96(个). 方法二:与第(1)问的区别在于:四位密码首位可以是0,而四位数首位不可以为0.因此,只需求首位为0
6、的四位密码有多少个,由(1)的总数减去首位为0的个数即为所求.,当首位是0时,第二位有4种选取方法,第三位有3种选取方法,第四位有2种选取方法,由分步乘法计数原理知,首位是0的四位密码共有1432=24(个). 故无重复数字的四位数共有120-24=96(个).,(3)完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事,分两类方案. 第一类:这个四位奇数的个位数字是1,分三个步骤要去完成. 第一步,选取千位上的数字,有3种(从2,3,4中选)不同选法;,第二步,选取百位上的数字,有3种不同选法; 第三步,选取十位上的数字,有2种不同选法. 由分步乘法计数原理知,该类中四位奇数共有1332=18(个). 第
7、二类:这个四位奇数的个位数字是3,也是分三个步骤去完成.,具体求法与个位数字是1时完全一样,因而这样的奇数也是18个,由分类加法计数原理知,共可组成无重复数字的四位奇数18+18=36(个).,类型二 涂色问题 【典例2】(1)(2017临沂高二检测)用五种不同的颜 色给图中标有(1),(2),(3),(4)的各个部分涂色,每部 分涂一种颜色,相邻部分涂不同色,则涂色的方法共有 ( ) A.96种 B.320种 C.180种 D.240种,(2)如图,一个地区分为5个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不得使用同一颜色,现有4种颜色可供选择,则不同的着色方法共有_种.(以数字作答),【解题指南
8、】(1)先涂区域(3),再涂其他3个区域. (2)以同色与不同色分类讨论求解.,【解析】(1)选B.分4步:第1步先涂(3)有5种,其余部分均有4种涂法,故总共有N=5444=320(种). (2)第1类:当与同色时有4322=48种不同的涂色方法.,第2类:当与不同色时,有43211=24种不同的涂色方法. 故共有48+24=72种不同的涂色方法. 答案:72,【方法总结】涂色问题的三种求解方法 (1)按区域的不同以区域为主分步计数,并用分步乘法计数原理分析. (2)以颜色为主分类讨论,适用于“区域、点、线段”问题,用分类加法计数原理分析. (3)将空间问题平面化,转化为平面区域的涂色问题.
9、,【巩固训练】如图所示的4块试验田,现有4种不同的作物可供选择种植,每块试验田种植一种作物,相邻的试验田(有公共边)不能种植同一种作物,则不同的种植方法有_种.,【解题指南】可分类完成此事件:A,D种相同作物,A,D种不同作物两类.,【解析】依题意,可分两类 第一类:若A,D种植同种作物,则A,D有4种不同的种法,B有3种种植方法,C也有3种种植方法,由分步乘法计数原理,共有433=36种种植方法.,第二类:若A,D种植不同作物,则A有4种种植方法,D有3种种植方法,B有2种种植方法,C有2种种植方法,由分步乘法计数原理,共有4322=48种种植方法.综上所述,由分类加法计数原理,共有N=36
10、+48=84种种植方法. 答案:84,【补偿训练】如图所示,用5种不同的颜料给4块图形 (A,B,C,D)涂色,要求共边两块颜色互异,求有多少种不同的涂色方案.,【解析】方法一:按A,C颜色相同或不同进行分类. 若A,C颜色相同,则A有5种涂色方法,B有4种涂色方法,D有4种涂色方法,故共有544=80(种)涂法. 若A,C颜色不同,则A有5种涂色方法,C有4种涂色方法,B有3种涂色方法,D有3种涂色方法,故共有5433 =180(种)涂法.,根据分类加法计数原理,共有80+180=260(种)不同的涂色方案. 方法二:按涂色种类进行分类. 第一类:涂4种颜色,分四步,A有5种涂法,B有4种涂
11、法,C有3种涂法,D有2种涂法. 故共有5432=120(种)涂法.,第二类:涂3种颜色,则A,C颜色相同或B,D颜色相同. 当A,C颜色相同时,A,C有5种涂法,B有4种涂法,D有3种涂法. 故共有543=60(种)涂法. 当B,D颜色相同时,同理也有60种不同的涂法. 故共有60+60=120(种)涂法.,第三类:涂2种颜色,则A,C颜色相同,B,D颜色相同,A,C有5种涂法,B,D有4种涂法. 故共有54=20(种)涂法. 根据分类加法计数原理,共有120+120+20=260(种)不同的涂色方案.,类型三 简单的选(抽)取问题 【典例3】(1)(2017郑州高二检测)某地政府召集5家企
12、业的负责人开会,其中甲企业有2人到会,其余4家企业各有1人到会,会上有3人发言,则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为 ( ) A.14 B.16 C.20 D.48,(2)(2017南昌高二检测)现准备将6台型号相同的电脑分配给5所小学,其中A,B两所希望小学每个学校至少2台,其他小学允许1台也没有,则不同的分配方案共有多少种?,【解题指南】(1)可以分成两类,一类是甲企业有1人发言另两个发言人出自其余4家企业;一类是3人全来自4家企业. (2)以A,B两所希望小学所得电脑数为标准分类求解.,【解析】(1)选B.分两类, 第一类:甲企业有1人发言,有2种情况, 另两个发言人出自其余4家企
13、业,有6种情况,由分步乘法计数原理N1=26=12; 第二类:3人全来自4家企业,有4种情况. 综上可知,有N=N1+N2=12+4=16(种)情况.,(2)根据题意,先给A,B两所希望小学分配电脑,若每个学校2台,由于电脑型号相同,故只有1种情况,其次将剩余的2台电脑分给其他3所小学,若一所小学2台,其他的没有,有3种情况, 若2所小学各1台,其他的一所小学没有,有3种情况,共1(3+3)=6种情况.,若A,B两所希望小学其中一所得3台,另一所2台,有2种情况,其次将剩余的1台电脑分给其他3所小学,有3种情况,共32=6种情况, 若给A,B两所希望小学各分配3台电脑,有1种情况, 若A,B两
14、所希望小学其中一所得4台,另一所2台,有2种情况, 综上可得,共6+6+1+2=15种不同的分配方案.,【方法总结】选(抽)取问题的解答策略 对于选(抽)取问题,一般带有某些限制条件,其解答方法是: (1)当数目不大时,可用枚举法.为保证不重不漏,可用树形图法、框图法及表格法进行枚举.,(2)当数目较大时,符合条件的情况较多时,可用间接法计数.但一般还是根据选(抽)顺序分步,根据选(抽)元素特点分类,利用两个计数原理进行解决.,【巩固训练】(1)设某班有男生25名,女生30名.现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛,共有多少种不同的选法? (2)用三只口袋装小球,一只装有5个白色小球,一只
15、装有6个黑色小球,另一只装有7个红色小球,若每次从中取两个不同颜色的小球,共有多少种不同的取法?,【解析】(1)第1步,从25名男生中选出1人,有25种不同的选法;第2步,从30名女生中选出1人,有30种不同的选法.根据分步乘法计数原理,共有N=3025=750种不同的选法.,(2)第一类办法:取白球、黑球,共有N1=56=30种取法; 第二类办法:取黑球、红球,共有N2=67=42种取法; 第三类办法:取红球、白球,共有N3=75=35种取法. 由分类加法计数原理,共有N=30+42+35=107种不同的取法.,【补偿训练】为举行某活动招募了20名志愿者,他们 的编号分别是1号、2号、19号
16、、20号.若要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作,其中两个编号较小的人在一组,两个编号较大的在另一组.那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取种数有多少?,【解题指南】解决问题的关键是分析出5号与14号分到一组对所选号码的限制,再选取需要的号码即可.,【解析】要“确保5号与14号入选并被分配到同一组”,则另外两人的编号或都小于5或都大于14. 第一类:从14号中选取两人,有(1,2),(1,3),(1,4), (2,3),(2,4),(3,4)共6种选取方法;,第二类:从1520号中选取两人,有(15,16),(15,17), (15,18),(15,19),(15,20),(16,17),(16,18), (16,19),(16,20),(17,18),(17,19),(17,20), (18,19),(18,20),(19,20)共15种选取方法. 由分
