《高中数学 第一章 导数及其应用 1_7 定积分的简单应用学案 新人教a版选修2-2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第一章 导数及其应用 1_7 定积分的简单应用学案 新人教a版选修2-2（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、我带领班子成员及全体职工，积极参加县委、政府和农牧局组织的政治理论学习，同时认真学习业务知识，全面提高了自身素质，增强职工工作积极性，杜绝了纪律松散1.7 定积分的简单应用思考1如图是由一条曲线yf(x)和直线xa，xb(aa)所围成的平面图形，如何利用定积分求图形的面积S?名师指津：图中Sf(x)g(x)dx；图中Sf(x)g(x)dx.讲一讲1计算曲线yx22x3与直线yx3所围成图形的面积(链接教材P56例1)尝试解答由解得x0或x3.如图因此所求图形的面积为S(x3)dx(x22x3)dx(x3)(x22x3)dx(x23x)dx.求不分割型图形面积的一般步骤如下：同时，要注意被积函数
2、是图形上边界对应的函数与下边界对应的函数的差否则，有可能得面积是负的练一练1求曲线yex，yex及x1所围成的图形面积解：作图，并由解得交点(0,1)所求面积为(exex)dx(exex)e2.思考下图是由三条曲线yf(x)、yg(x)和yh(x)围成的图形，且在a，c上，f(x)g(x)，在c，b上，f(x)h(x)还能用讲1的方法求该图形的面积吗？如果不能，该如何求解？名师指津：不能Sf(x)g(x)dxf(x)h(x)dx.讲一讲2(链接教材P57例2)求曲线y，y2x，yx所围成的图形的面积尝试解答画出草图，如图所示解方程组及得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，1)dxdx692
3、.法二：若选y为积分变量，则三个函数分别为xy2，x2y，x3y.因为它们的交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，1)(21)2.由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间内位于上方和下方的曲线有所变化，通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标，可以将积分区间进行细化分段，然后对各个区间分别求面积进而求和，在每个区间上被积函数均是由上减下若积分变量选取x运算较为复杂，可以选y为积分变量，被积函数改为y的函数，同时更改积分的上下限练一练2求曲线xy1及直线yx，y3所围成图形的面积解：如图所示，由得A点坐标为(1,1)；由得B点坐标为；由得C点坐标为(3,3)法一：以x为积分变量，所
4、求阴影部分的面积为2ln 324ln 3.法二：以y为积分变量，所求阴影部分的面积为Sdy4ln 3.思考若做变速直线运动的物体的速度函数为vv(t)(v(t)0)，则它在ta到tb(ba)的时间段内所经过的路程s是多少？提示：sv(t)dt.讲一讲3(链接教材P58例3)有一动点P沿x轴运动，在时间t时的速度为v(t)8t2t2(速度的正方向与x轴正方向一致)求：(1)P从原点出发，当t6时，求点P移动的路程和离开原点的位移；(2)P从原点出发，经过时间t后又返回原点时的t值尝试解答(1)由v(t)8t2t20得0t4，即当0t4时，P点向x轴正方向运动，当t4时，P点向x轴负方向运动故t6
5、时，点P移动的路程.当t6时，点P的位移为 即4t2t30，解得t0或t6，t0对应于P点刚开始从原点出发的情况，t6是从原点出发，又返回原点所用的时间做变速直线运动的物体，从时刻ta到时刻tb(ab)所经过的路程s和位移s情况如下：(1)若v(t)0， (2)若v(t)0， (3)若在区间a，c上v(t)0，在区间c，b上v(t)0，则sv(t)dtv(t)dt，sv(t)dt.所以求路程时要事先求得速度的正负区间练一练3做变速直线运动的物体的速度为v(t)1t2，初始位置为x01，求它在前2秒内所走的路程及2秒末所在的位置解：当0t1时，v(t)0，当1t2时，v(t)0.所以前2秒钟内所
6、走的路程s(1t2)dt(1t2)dt2，2秒末所在的位置x1x0v(t)dt1(1t2)dt112.所以物体在2秒钟内所走的路程为2，所在的位置为x1.思考如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从xa移动到xb(ab)，那么变力F(x)所作的功为多少？提示：WF(x)dx.讲一讲4(链接教材P59例4)由胡克定律知，把弹簧拉长所需的力与弹簧的伸长量成正比，现知2 N的力能使一个弹簧伸长3 cm，试求要把弹簧拉伸0.4 m所需的功尝试解答由胡克定律知拉长弹簧所需的力F(x)kx，其中x为伸长量所以20.03 k，得k(N/m)，于是F(x)x.故将弹簧拉长0
7、.4 m所做的功为：因此将弹簧拉伸0.4 m所做的功为 J.求变力做功的方法步骤(1)要明确变力的函数式F(x)，确定物体在力的方向上的位移(2)利用变力做功的公式WF(x)dx计算(3)注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳练一练4若2 N的力能使一个弹簧伸长5cm，则把弹簧拉伸0.4 m所需的功是多少？解：由胡克定律知拉长弹簧所需的力F(x)kx，其中x为伸长量所以20.05 k，得k40(N/m)，于是F(x)40x.故将弹簧拉长0.4 m所做的功为：因此将弹簧拉伸0.4 m所做的功为3.2 J.课堂归纳感悟提升1本节课的重点是定积分的几何应用，即用定积分求平面图形的面
8、积，难点是分割型图形面积的求法2本节课要重点掌握的规律方法(1)不分割型图形面积的求法，见讲1；(2)分割型图形面积的求法，见讲2；(3)求变速直线运动的路程，见讲3；(4)求变力做功，见讲4.3在求由曲线围成的平面图形的面积时，准确画出示意图，求出曲线的交点，确定积分上、下限是解决此类问题的关键，也是本节课的易错点课下能力提升(十一)学业水平达标练题组1不分割型图形面积的求解1已知二次函数yf(x)的图象如图所示，则它与x轴所围成图形的面积为()A. B.C. D.解析：选B由题中图象易知f(x)x21，则所求面积为2(x21)dx2.2如图，两曲线y3x2与yx22x1所围成的图形面积是(
9、)A6 B9C12 D3解析：选B由解得交点(1,2)，(2，1)，9.3如图所示，由曲线yx24与直线y5x，x0，x4所围成平面图形的面积是_解析：由得交点坐标为(1,5)，(4,20)，所以所求面积S(x245x)dx(5xx24)dx.答案：4已知抛物线yx22x与直线x0，xa，y0围成的平面图形的面积为，求a的值解：作出yx22x的图象，如图所示当a0时，S(x22x)dxa2，所以(a1)(a2)20.因为a0时，若00，所以a2.若a2，不符合题意综上，a1或2.题组2分割型图形面积的求解5如图，阴影部分是由曲线y，y2x与直线x2，y0围成，则其面积为_解析：Sdxdxln
10、2.答案：ln 26求抛物线y22x和直线yx4所围成的图形的面积解：先求抛物线和直线的交点，解方程组求出交点坐标为A(2,2)和B(8，4)法一：选x为积分变量，变化区间为0,8，将图形分割成两部分(如图)，则面积为SS1S22dx(x4)dx法二：选y作积分变量，则y的变化区间为4,2，如图得所求的面积为18.题组3求变速直线运动的路程7一辆汽车以v3t2的速度行驶，这辆汽车从t0到t3这段时间内所行驶的路程为()A. B1 C3 D278A、B两站相距7.2 km，一辆电车从A站开往B站，电车开出t s后到达途中C点，这一段的速度为1.2t m/s，到C点的速度为24 m/s，从C点到B
11、点前的D点以等速行驶，从D点开始刹车，速度为(241.2t)m/s，经t s后，在B点恰好停车，试求：(1)A、C间的距离；(2)B、D间的距离解：(1)设A到C的时间为t1，则1.2t124，t120 (s)， (2)设D到B的时间为t2，则241.2t20，t220(s)，则|DB|(241.2t)dt(24t0.6t2)240(m)题组4求变力做功9做直线运动的质点在任意位置x处，所受力F(x)1ex，则质点沿着与F(x)相同的方向，从点x10处运动到点x21处，力F(x)所做的功是()A1e Be C. De1解析：选BW(1ex)dx(xex)e.10一物体在力F(x)(单位：N)的
12、作用下沿与力F相同的方向运动，力位移曲线如图所示求该物体从x0处运动到x4(单位：m)处力F(x)做的功解：由力位移曲线可知F(x)因此该物体从x0处运动到x4处力F(x)做的功为W10dx(3x4)dx10x46(J)能力提升综合练1曲线yx3与直线yx所围成图形的面积等于()解析：选C由求得直线yx与曲线yx3的交点分别为(1，1)，(1,1)，(0,0)，由于两函数都是奇函数，根据对称性得S2(xx3)dx.2由直线x，x，y0与曲线ycos x所围成的封闭图形的面积为()A. B1 C. D.解析：选D结合函数图象可得所求的面积是定积分3以初速度40 m/s向上抛一物体，t s时刻的速度v4010t2，则此物体达到最高时的高度为()A. m B. m C. m D. m解
