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1、1.1.1 函数的平均变化率,第一章 1.1 导 数,学习目标 1.理解并掌握平均变化率的概念. 2.会求函数在指定区间上的平均变化率. 3.能利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点 函数的平均变化率,假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系.A是出发点，H是山顶.爬山路线用函数yf(x)表示.,自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值yf(x)表示此时旅游者所在的高度.设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2).,思考1,若旅游者从点A爬到点B，自变量x和函数值y的改变量分别是多少？,答案,答案
2、自变量x的改变量为x2x1，记作x，函数值的改变量为y2y1，记作y.,思考2,怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？,答案,答案 对山路AB来说，用 可近似地刻画其陡峭程度.,函数yf(x)在区间x0，x0x或x0x，x0的平均变化率 (1)条件：已知函数yf(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记xx1x0，yy1y0f(x1)f(x0)f(x0x)f(x0).,梳理,(2)结论：当x0时，商： 称作函数yf(x)在区间x0，x0x(或x0x，x0)上的平均变化率. (3)实质： 的改变量与 的改变量 . (4)作用：刻画函数在区间x0，x0x(或x0x，x0)上变化的快慢.,之比,函数值
3、,自变量,题型探究,例1 已知函数f(x)3x25，求f(x)： (1)从0.1到0.2的平均变化率；,解答,类型一 求函数的平均变化率,解 因为f(x)3x25， 所以从0.1到0.2的平均变化率为,(2)在区间x0，x0x上的平均变化率.,解答,解 因为f(x0x)f(x0),求平均变化率可根据定义代入公式直接求解，解题的关键是弄清自变量的增量x与函数值的增量y，求平均变化率的主要步骤：,反思与感悟,跟踪训练1 如图是函数yf(x)的图象，则： (1)函数f(x)在区间1,1上的平均变化率为_；,答案,解析,(2)函数f(x)在区间0,2上的平均变化率为_.,答案,解析,例2 已知函数f(
4、x)3x2，计算当x01,2,3，x 时，平均变化率的值，并比较函数f(x)3x2在哪一点附近的平均变化率最大？,类型二 比较平均变化率的大小,解答,解 函数f(x)3x2在x0到x0x之间的平均变化率为,2x0x.,函数f(x)3x2在x01附近的平均变化率最大.,比较平均变化率的方法步骤 (1)求出两个不同点处的平均变化率. (2)作差(或作商)，并对差式(或商式)作合理变形，以便探讨差的符号(或商与1的大小). (3)下结论.,反思与感悟,跟踪训练2 甲，乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，则在0，t0这个时间段内，甲，乙两人的平均速度v甲，v乙的大小关系是A.
5、v甲v乙 B.v甲v乙 C.v甲v乙 D.不确定,答案,解析,解析 由题图知，s1(t0)s2(t0)，s1(0)s2(0)，,当堂训练,1.如果函数yaxb在区间1,2上的平均变化率为3，则a等于 A.3 B.2 C.3 D.2,答案,2,3,4,5,1,解析,解析 根据平均变化率的定义可知，,2.已知函数f(x)2x24的图象上一点(1，2)及附近一点(1x，2y)，则 等于 A.4 B.4x C.42x D.42(x)2,答案,2,3,4,5,1,解析,解析 yf(1x)f(1)2(1x)22 4x2(x)2， 42x.,3.如图，函数yf(x)在A，B两点间的平均变化率是 A.1 B.
6、1 C.2 D.2,答案,2,3,4,5,1,解析,4.如图，函数yf(x)在x1，x2，x2，x3，x3，x4这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是_.,答案,2,3,4,5,1,x3，x4,解析,解析 由平均变化率的定义可知，函数yf(x)在区间x1，x2，x2，x3，x3，x4上的平均变化率分别是,结合图象可以发现函数yf(x)的平均变化率最大的一个区间是x3，x4.,5.计算函数f(x)x2在区间1,1x(x0)上的平均变化率，其中x的值为： (1)2；(2)1；(3)0.1；(4)0.01.,解答,2,3,4,5,1,(1)当x2时，平均变化率的值为4. (2)当x1时，平均变化率的值为3. (3)当x0.1时，平均变化率的值为2.1. (4)当x0.01时，平均变化率的值为2.01.,规律与方法,1.函数的平均变化率可以表示函数值在某个范围内变化的快慢；平均变化率在实际问题中表示事物变化的快慢. 2.求函数f(x)的平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量yf(x1)f(x0). (2)再计算自变量的改变量xx1x0.,本课结束,
