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1、第3章 3.1 空间向量及其运算,3.1.2 共面向量定理,1.了解共面向量等概念. 2.理解空间向量共面的充要条件.,学习目标,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,栏目索引,知识梳理 自主学习,知识点一 共面向量,答案,叫做共面向量.,能平移到同一平面内的向量化,知识点二 共面向量定理,如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是 _，即向量p可以由两个不 共线的向量a， b线性表示.,存在有序实数组(x，y)，使得pxayb,.,C、D共面,答案,知识点三 空间四点共面的条件,若空间任意无三点共线的四点，对于空间任一点O，存在实数x、y、,且x、
2、y、z满足xyz1，则,A、B、,思考 1.空间两向量共线，一定共面吗？反之还成立吗？,答案 一定共面，反之不成立.,2.空间共面向量定理与平面向量基本定理有何关系？,答案 空间共面向量定理中，当向量a，b是平面向量时，即为平面向量 基本定理.,返回,例1 已知A、B、C三点不共线，平面ABC外的一点M满足,题型探究 重点突破,题型一 应用共面向量定理证明点共面,解析答案,(2)判断点M是否在平面ABC内.,解析答案,反思与感悟,M、A、B、C共面.即点M在平面ABC内.,利用共面向量定理证明四点共面时，通常构造有公共起点的三个向量，用其中的两个向量线性表示另一个向量，得到向量共面，即四点共面
3、.,反思与感悟,解析答案,A、B、C、D四点共面.,例2 如图，在底面为正三角形的斜棱柱ABCA1B1C1中，D为AC的中点， 求证：AB1平面C1BD.,题型二 应用共面向量定理证明线面平行,解析答案,反思与感悟,反思与感悟,又由于AB1不在平面C1BD内，所以AB1平面C1BD.,在空间证明线面平行的又一方法是应用共面向量定理进行转化.要熟悉其证明过程和证明步骤.,反思与感悟,解析答案,求证：MN平面ABB1A1.,(1k)akc.又a与c不共线.,又MN不在平面ABB1A1内， MN平面ABB1A1.,例3 如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是ABCD所在平面外的一点，连结P
4、A，PB，PC，PD.设点E，F，G，H分别为PAB，PBC，PCD，PDA的重心.试用向量方法证明E，F，G，H四点共面.,题型三 向量共线、共面的综合应用,解析答案,反思与感悟,解 分别连结PE，PF，PG，PH并延长，交对边于点M，N，Q，R，连结MN，NQ，QR，RM.,解析答案,E，F，G，H分别是所在三角形的重心，,由题意知四边形MNQR是平行四边形，,反思与感悟,由共面向量定理知，E，F，G，H四点共面.,反思与感悟,利用向量法证明四点共面，实质上是证明的向量共面问题，解题的关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中要注意区分向量所在的直线的位置关系与向量的
5、位置关系.,反思与感悟,解析答案,求证：(1)A、B、C、D四点共面， E、F、G、H四点共面；,解析答案,返回,解析答案,当堂检测,1,2,3,4,5,1.设a，b是两个不共线的向量，R，若ab0，则_，_.,解析答案,解析 a，b是两个不共线的向量， a0，b0，0.,0,0,1,2,3,4,5,2.给出下列几个命题： 向量a，b，c共面，则它们所在的直线共面； 零向量的方向是任意的； 若ab，则存在惟一的实数，使ab.其中真命题的个数为_.,解析 假命题.三个向量共面时，它们所在的直线或者在平面内或者与平面平行； 真命题.这是关于零向量的方向的规定； 假命题.当b0时，则有无数多个使之成
6、立.,1,解析答案,1,2,3,4,5,解析答案,1,2,3,4,5,4.下列命题中，正确命题的个数为_. 若ab，则a与b方向相同或相反；,若a，b不共线，则空间任一向量pab(，R).,解析 当a，b中有零向量时，不正确；,0,解析答案,由p，a，b共面的充要条件知，当p，a，b共面时才满足pab(，R)，故不正确.,1,2,3,4,5,5.空间的任意三个向量a，b,3a2b，它们一定是_.,解析答案,解析 如果a，b是不共线的两个向量，由共面向量定理知，a，b,3a2b共面； 若a，b共线，则a，b,3a2b共线，当然也共面.,共面向量,课堂小结,共面向量定理的应用： (1)空间中任意两个向量a，b总是共面向量，空间中三个向量a，b，c则不一定共面. (2)空间中四点共面的条件 空间点P位于平面MAB内，则存在有序实数对x、y使得,此为空间共面向量定理，其实质就是平面向量基本定理， 实质就是面MAB内平面向量的一组基底.,返回,、均可作为证明四点共面的条件，但是更为常用.,本课结束,
