高中数学 第1章 导数及其应用学案 苏教版选修

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1、我带领班子成员及全体职工，积极参加县委、政府和农牧局组织的政治理论学习，同时认真学习业务知识，全面提高了自身素质，增强职工工作积极性，杜绝了纪律松散 第1章 导数及其应用 1 变化率与导数 1.变化率 函数的平均变化率为，它是用来刻画函数值在区间x1，x2上变化快慢的量.式中x，y的值可正、可负，当函数f(x)为常数函数时，y的值为0，但x不能为0.当x趋于0时，平均变化率就趋于函数在x0点的瞬时变化率. 例1 甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，试比较两人在时间段0，t0内的平均速度哪个大？ 解 比较在相同的时间段0，t0内，两人速度的平均变化率的大小便知结果.

2、 在t0处，s1(t0)s2(t0)，s1(0)s2(0)， 所以0，2x3a0， a2x3在x2，)上恒成立. a(2x3)min. x2，)，y2x3是单调递增的， (2x3)min16，a16. 当a16时，f(x)0(x2，)有且只有f(2)0，a的取值范围是a16. 点评 已知函数单调性求参数的取值范围，可转化为不等式恒成立问题.一般地，函数f(x)在区间I上单调递增 (递减)等价于不等式f(x)0(f(x)0)在区间I上恒成立，且在I的任何子区间上不恒为零，然后可借助分离参数等方法求出参数的取值范围，并验证f(x)0是否有有限个解. 2.利用函数的单调性证明不等式 欲证明不等式f(

3、x)g(x)(或f(x)g(x)成立，可以构造函数(x)f(x)g(x)，利用导数进行证明. 例3 已知x0，求证：ex1x. 证明 设函数f(x)ex(1x)，则f(x)ex1. 当x0时，exe01，所以f(x)ex10. 所以f(x)在(0，)上是增函数. 所以当x0时，f(x)f(0). 又f(0)e0(10)0，所以f(x)0，即ex(1x)0. 故ex1x. 点评 若要证的不等式两边是两类不同的基本函数，则往往需要构造函数，借助函数的单调性来证明. 3.利用函数的单调性判断方程根的个数 若f(x)在区间a，b上单调，且f(a)f(b)0)在区间和区间(1，e)内有无零点. 分析 可

4、通过导数确定函数极值点与极值的正负，再结合确定零点的方法确定零点的个数. 解 因为f(x). 所以当x(3，)时，yf(x)是增函数； 当x(0,3)时，yf(x)是减函数. 而00，f(1)0，f(e)11时，f(x). 分析 由于f(x)1ex1，1，因此要证f(x)，只需证明ex1x.所以我们构造新函数，利用函数的极值进行证明. 证明 令g(x)exx1，则g(x)ex1. 解方程ex10，得x0. 当x变化时，g(x)，g(x)变化情况如下表： x (，0) 0 (0，) g(x) 0 g(x) 0 从表上看出，当x0时，函数有极小值，且g(0)0. 因而当xR时，有g(x)g(0)0

5、，即ex1x. 所以当x1时，有f(x)1ex1 1，即f(x). 点评 本题通过构造函数，使问题的解决变得简捷. 2.数形结合思想 例2 已知曲线f(x)x33x29xa与x轴只有一个交点，求实数a的取值范围. 分析 先用导数求出函数的单调区间和极值，再根据单调性画出大致图象，利用数形结合思想求解. 解 f(x)3x26x9.令f(x)0， 解得x11，x23. 列表： x (，1) 1 (1,3) 3 (3，) f(x) 0 0 f(x) 极小值 极大值 所以当x1时，f(x)有极小值f(1)a5； 当x3时，f(x)有极大值f(3)a27. 画出大致图象，要使f(x)的图象与x轴只有一个

6、交点，只需极大值小于0(如图1)或极小值大于0(如图2). 所以a270.解得a5. 故实数a的取值范围为a5. 点评 数形结合思想是中学数学的一种重要思想.画出图象可以加强直观性，便于对问题的理解. 3.分类讨论思想 例3 求函数f(x)ax33x21的单调区间. 分析 利用导数求函数的单调区间，一般先确定函数的定义域，再求导函数，最后根据导数大于0或小于0得单调增区间或单调减区间.如果函数中含有参数，则应分类讨论. 解 f(x)3ax26x.由题意，得a0. 当a0时，由3ax26x0，解得x； 由3ax26x0，解得0. 所以f(x)的单调增区间为， 单调减区间为和(0，). 综上，a0

7、时f(x)的单调增区间为(，0)，(，)，单调减区间为(0，)； a0时f(x)的单调增区间为(，0)， 单调减区间为(，)，(0，). 点评 注意本题中隐含了a0的条件.a在导函数的二次项系数中，a的正负决定了不等式的解集，因此要对a分大于0和小于0两种情况进行讨论. 5 三次函数的单调性与极值的求解之道 我们知道，一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的情况可以用判别式b24ac来判断，那么一元三次方程ax3bx2cxd0(a0)的根的情况又是怎样的呢？ 要解决这个问题，只要能够画出函数yax3bx2cxd的大致图象，通过图象与x轴的交点的情况便可得到方程的根的情况.而要画出函数yax3b

8、x2cxd的大致图象，就要研究该函数的单调性和极值情况，因此可以利用导数来研究. 三次函数求导后变为二次函数，所以三次函数的许多性质可以借助二次函数来解决. 对于三次函数f(x)ax3bx2cxd(a0)，其导函数为f(x)3ax22bxc，有以下结论： (1)当a0时，若x，则f(x)； 若x，则f(x)； 当a0，则f(x)在R上是增函数；若a0时，设f(x)0的两根x10时，f(x)的递增区间有两个，为(，x1)和(x2，)，递减区间有一个，为(x1，x2)，xx1是极大值点，xx2是极小值点；当a0 0 a0 a0，a1)； (6)ex的一个原函数为ex； (7)的一个原函数为ln x

9、(x0). 温馨提示 一个被积函数的原函数不是唯一的，有无数多个，即在每一个原函数后面加上一个常数，求导后不变，但具体利用f(x)dxF(b)F(a)求值，只需找一个最简单的原函数即可. 7 多法求解定积分 用微积分基本定理求定积分f(x)dx时，关键是找到满足F(x)f(x)的F(x)，但在求解函数F(x)时经常会遇到复杂的计算，或者找不到函数F(x)等情况，本文介绍几种简化求解定积分的方法. 1.几何法 例1 求定积分(x)dx的值. 分析 本题用定积分的定义或微积分基本定理求解都比较麻烦.由(x)dx联想到圆(x1)2y21的一部分与直线yx，用定积分的几何意义进行求解则比较简捷. 解

10、(x)dx表示圆(x1)2y21的一部分与直线yx所围成的图形(如图所示的阴影部分)的面积，因此(x)dx11. 点评 数形结合思想在这里得到了充分的体现.运用定积分的几何意义计算定积分，需要具备较强的观察能力、分析能力和逻辑推理能力. 2.函数性质法 例2 求lgdx的值. 解 记f(x)lg，易知定义域为(1,1)， 因为f(x)lglg()1f(x)， 所以f(x)是奇函数，因此有lgdx0. 点评 从定积分的定义(或几何意义)可知：偶函数f(x)有f(x)dx2f(x)dx；奇函数f(x)有f(x)dx0. 3.转化法 例3 计算定积分sin2dx的值. 解 sin2dxdx dxco

11、s xdx xsin x0sinsin 0 . 点评 较复杂函数的积分，往往难以直接找到原函数，常常需先化简、变式、换元变成基本初等函数的四则运算后，再求定积分. 4.分段法 例4 求定积分x|x|dx的值. 解 因为f(x)x|x| 所以x|x|dx (x2)dxx2dx . 点评 这类积分不能直接求解，需要变换被积函数，从而去掉绝对值. 5.换元法 例5 求抛物线y22x与直线yx4围成的平面图形的面积. 解 方法一 选取横坐标x为积分变量，则图中阴影部分的面积应该是两部分之和. 解 得 所以交点为A(2，2)，B(8,4). 选取x为积分变量， 则0x8. 因此S2dx(x4)dx 18

12、. 方法二 选取纵坐标y为积分变量， 则2y4，所求图中阴影部分的面积为 Sdy18. 点评 从上述两种解法中可以看出，对y积分比对x积分计算简捷.因此，应用定积分求解平面图形的面积时，积分变量的选取至关重要.但同时也要注意对y积分时，积分函数应是x(y)，本题需将条件中的曲线方程、直线方程化为x，xy4的形式，然后求面积. 8 利用定积分速求面积 1.巧选积分变量 求平面图形面积时，要注意选择积分变量，以使计算简便. 例1 求直线y2x3与抛物线yx2所围成的图形的面积. 分析 解此类题的一般步骤是：画草图；解方程组求出交点；确定积分的上、下限；计算. 解 画出图象如图所示， 解方程组 得A

13、(1,1)，B(3,9). 故所求图形的面积为 (2x3x2)dx. 点评 本题若选纵坐标y为积分变量，则计算起来较为复杂，故要注意选择积分变量，以使计算简便.另外还要注意的是对面积而言，不管选用哪种积分变量去积分，面积是不会变的，即定积分的值不会改变. 2.妙用对称 在求平面图形的面积时，注意利用函数的奇偶性等所对应曲线的对称性解题，这也是简化计算过程的常用手段. 例2 求由两条曲线yx2,4yx2和直线y1所围成的图形的面积. 分析 先画图象，分析由哪几块组成，再转化为定积分求解. 解 如图，因为yx2,4yx2是偶函数，根据对称性，只需算出y轴右边的图形的面积再乘以2即可. 解方程组和

14、得交点坐标(1,1)，(1,1)，(2,1)，(2,1). 所以S2 2. 点评 巧用对称性能简化解题. 3.恰到好处的分割 例3 求两曲线ysin x与ysin 2x在0，上围成的图形的面积. 分析 先画图象，找出积分区间，发现可分割成两部分，再用微积分基本定理分别求面积. 解 如图，令sin xsin 2x，得交点的横坐标为x0，x，x. 由图形分割，得 S (sin 2xsin x)dx (sin xsin 2x)dx. 点评 类似本题图形的面积的求法，适当的分割是关键，应注意掌握这种分割的处理方法. 4.进行适当转换 例4 求正弦曲线ysin x，x0，和直线x及x轴围成的平面图形的面积. 解 由图可知，当x0，时，曲线ysin x位于x轴的上方，当x，时，曲线ysin x位于x轴的下方. 因此所求面积应为两部分面积的和，即 S|sin x|dxsin xdxsin xdx cos x 213. 点评 对于yf(x)和xa，xb(a0，则f(x)dx0，Sf(x)dx； (2)若f(x)0，则f(x)dx0，所以Sf(x)dxf(x)dx. 经过专家组及技术指导员的共同努力，科技入户工作取得了很大的成绩，促进了小麦 产量的大幅提升，农民种粮收益明显提高，得到了广大群众的一致赞许和社会各界的广泛好评。