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1、我带领班子成员及全体职工，积极参加县委、政府和农牧局组织的政治理论学习，同时认真学习业务知识，全面提高了自身素质，增强职工工作积极性，杜绝了纪律松散第21章 不定方程21.1 二元一次不定方程21.1.1求不定方程的正整数解解析 因为，所以这个方程的正整数解有无数组，它们是其中可以取一切正整数21.1.2求的整数解解析1 将方程变形得因为是整数，所以应是11的倍数由观察得，是这个方程的一组整数解，所以方程的解为为整数解析2 先考察，通过观察易得，所以，可取，从而为整数评注 如果、是互质的整数，是整数，且方程 有一组整数解、则此方程的一切整数解可以表示为其中，1，2，3，21.1.3求方程的非负
2、整数解解析 因为(6，22)=2，所以方程两边同除以2得 由观察知，是方程 的一组整数解，从而方程的一组整数解为所以方程的一切整数解为因为要求的原方程的非负整数解，所以必有由于是整数，由、得1516，所以只有15，16两种可能当15时，15，；当16时，4， 3所以原方程的非负整数解是21.1.4求方程的所有正整数解解析 这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况我们可用逐步缩小系数的方法使系数变小，最后再用观察法求解用方程的最小系数7除方程的各项，并移项得因为、是整数，故也是整数，于是有再用5除此式的两边得令 (整数)，由此得由观察知，是方程的一组解将代入得代入得=25于
3、是方程有一组解，所以它的一切解为由于要求方程的正整数解，所以解不等式，得只能取0，1因此得原方程的正整数解为21.1.5求方程的整数解解析 因为，为用37和107表示1，我们把上述辗转相除过程回代，得1=33-84=37-4-84=37-94=37-9(37-33)=933-837=9(107-237)-837=9107-2637=37(-26)+1079,由此可知，是方程的一组整数解于是,是方程的一组整数解所以原方程的一切整数解为是整数21.1.6求方程的整数解解析 设，即，于是原方程可化为用前面的方法可以求得的解为是整数的解为是整数消去，得是整数21.1.7求方程的整数解解析 设，则对于，
4、是一组特解，从而的整数解为是整数又，是方程的一组特解，于是的整数解为是整数所以，原方程的整数解为、是整数21.1.8求方程组的正整数解解析 消去，得 易知，是它的一组特解，从而的整数解为是整数代入原方程组，得所有整数解为是整数由，得，所以0，1，故原方程组的正整数解为21.1.9求方程的正整数解的组数解析 因为，所以，是一组特解于是方程的整数解为是整数由得.所以1，2，87故原不定方程有87组正整数解21.1.10某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分货款，有多少种不同的方法?解析 设需枚7分，枚5分恰好支付142分，于是所以由于142，所以20，并且由上式知因为(5，2)=1，
5、所以，从而1，6，11，16的非负整数解为所以，共有4种不同的支付方式评注 当方程的系数较小时，而且是求非负整数解或者是实际问题时，这时候的解的组数往往较少，可以用整除的性质加上枚举，也能较容易地解出方程21.1.11今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只，用100个钱买100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只?解析 设公鸡、母鸡、小鸡各买、只，由题意列方程组化简得.-得即解得于是的一个特解为所以的所有整数解为是整数由题意知，所以，解得故.由于是整数，故只能取26，27，28，而且、还应满足所以264187827811812812484即可能有三种情况：4只公鸡，18只母鸡，78
6、只小鸡；或8只公鸡，11只母鸡，81只小鸡；或12只公鸡，4只母鸡，84只小鸡21.1.12小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴一次得5分，套中小狗一次得2分小明共套10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次小明套lO次共得61分，问：小鸡至少被套中几次?解析 设套中小鸡次，套中小猴次，套中小狗次，则根据题意得我们要求这个方程组的正整数解消去：从中减去2得，于是由可以看出从而的值只能是1，2，3，4，5将写成，由于是整数，所以必须是3的倍数从而只有2、5两个值满足这一要求但时，不是正整数在时，是本题的解因此小鸡被套中5次评注 本题问“小鸡至少被套中几次?”实际上却只有一个解，“至
7、少”两字可以省去21.1.13今有浓度为5、8、9的甲、乙、丙三种盐水分别为60克、60克、47克，现要配制成浓度为7的盐水100克，问甲种盐水最多可用多少克?最少可用多少克?解析 设甲、乙、丙盐水分别各取克、克、克，配成浓度为7的盐水100克，依题意有其中，060，047解方程组可得由得又，和，均满足题设，故甲种盐水最少可用35克，最多可用49克21.2 勾股数21.2.1满足方程的一切基本勾股数、（为偶数)，都可表示为以下形式：，其中、为正整数，(，)=1，、一奇一偶解析 设正整数、满足(，)=1，、一奇一偶，则所以一切形如的正整数、都是方程的解下面证明这样的、是基本勾股数设，由于、一奇一
8、偶，所以是奇数，由，于是是奇数又由，得，即，同理因为是奇数，所以，于是由得，所以这就证明了由确定的、是一组基本勾股数反过来，设、是一组基本勾股数，且是偶数，和都是奇数，则和都是整数设，则存在正整数和，使，于是，由于，所以，即由得这就可推出上式中右面两个因式都是平方数设，这里，于是可得由于是奇数，所以、一奇一偶这就证明了方程的任意一组解、(为偶数)都可由表示评注 如果正整数、满足方程，那么就称、是一组勾股数边长为正整数的直角三角形就称为勾股三角形在勾股数、中，如果这三个数的最大公约数是1，那么这样的勾股数就称为基本勾股数如果（，）=，那么设，则有（，）=1，并且由得，两边除以，得所以我们只需研究
9、基本勾股数在基本勾股数、中，和必定一奇一偶这一点可以用反证法证明：假定和的奇偶性相同，那么有两种可能的情况：和同奇，和同偶如果和同奇，由于奇数的平方是4的倍数加1，所以是4的倍数加2，于是是偶数，也是偶数，而偶数的平方是4的倍数，这与4的倍数加2矛盾，所以和不能都是奇数如果和都是偶数，那么也是偶数，这与、是基本勾股数矛盾，所以和中一奇一偶由此也可推出是奇数21.2.2设、是勾股数，是质数，求证：和都是完全平方数解析 因为是质数，所以只有1、三个正约数由于，所以有由此得，所以和都是完全平方数21.2.3求证：、(是正整数)是一组勾股数解析 因为是正整数，由,所以、是一组勾股数21.2.4若勾股数
10、组中，弦与股的差为1，则勾股数组的形式为、，其中为正整数解析 设弦长为，股长为，勾为因为（，）=1，所以、为一组基本勾股数又为奇数，为偶数，则为奇数设，则，得，所以，勾股数组具有形式、21.2.5求证：勾股三角形的直角边的长能取任何大于2的正整数解析 当是大于1的奇数时，和都是正整数，并且当是大于2的偶数时，和都是正整数，并且由以上两式可以看出，勾股三角形的一直角边可取大于2的任何正整数21.2.6求证：在勾股三角形中，(1)必有一条直角边的长是3的倍数；(2)必有一条直角边的长是4的倍数；(3)必有一条边的长是5的倍数解析 设该勾股三角形的三边的长分别为、（是斜边)，则只要证明、是基本勾股数
11、时的情况不失一般性，设为偶数，则，其中、满足上述定理中的条件(1)若、中至少有一个是3的倍数，则是3的倍数；若、都不是3的倍数，设，则是3的倍数(2)由于、一奇一偶，所以是4的倍数(3)若、都不是5的倍数，则的末位数是1或9；的末位数字是4或61+4=5，1+6=7，9+4=13，9+6=15，由于一个完全平方数的末位数不可能是7和3，所以的末位数只可能是5于是的末位数是5评注 由此可推出，勾股三角形的面积必是6的倍数；三边之积必是60的倍数21.2.7求基本勾股数组，其中一个数是16解析 设勾股数组、，其中1616=242=281，若，有()-21，从而只有，且和为一奇一偶于是，从而，只有一
12、组基本勾股数16、63、65评注 若不要求基本勾股数，则16=242，设，得，即16、12、20为一组勾股数又，设，得，即16、30、34为一组勾股数21.2.8设、为一组勾股数，其中为奇质数，且，求证：必为完全平方数解析 因为、为一组勾股数，则有，设，则有因为，为奇质数，则(否则，若，则，矛盾)由，得，从而是完全平方数21.2.9直角三角形的三边的长都是正整数，其中有一条直角边的长是35，它的周长的最大值和最小值分别是多少?解析 设直角三角形的三边长分别是35，则，即1225的大于35的正约数可作为，其中最大的是1225，最小的是49，所以，直角三角形的周长的最大值是35+1225=1260
13、，最小值是35+49=8421.2.10设为大于2的正整数证明：存在一个边长都是整数的直角三角形，它的一条直角边长恰为解析 只需证明不定方程，有正整数解利用，结合与具有相同的奇偶性，故当为奇数时，由（，）=（1，），可得不定方程的一组正整数解（，）=；而当为偶数时，由条件，知4利用（，）=，可得不定方程的一组正整数解（，）=综上，可知命题成立。21.2.11如果正整数、满足证明：数和都可以表示为两个正整数的平方和解析 先证下述命题：如果正整数可表示为两个正整数的平方和，则也可表示为两个整数的平方和设，这里、都是正整数，且则于是，可表为两个整数和的平方和，命题获证注意到，由条件有利用已证命题，可知记，由可知、都是正整数，并且若、不同为偶数，则由平方数或，可知或，这是一个矛盾所以，、都是偶数，从而，这就是要证的结论评注 这里本质上只是恒等式的应用，在处理竞赛问题时，代数式变形能力
