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1、我带领班子成员及全体职工，积极参加县委、政府和农牧局组织的政治理论学习，同时认真学习业务知识，全面提高了自身素质，增强职工工作积极性，杜绝了纪律松散一元方程的两根都是整数，求实数点的值解析由于是实数，所以不能利用判别式来求解先求出方程的两根，由于、是整数，所以，从上面两式中消去，便得关于、的不定方程，解出、，便能求得原方程为，所以，消去，得，故解得（舍去），从而，所以，所求的，357设是质数，并使得方程有两个整数根，求的值解析因为方程的根呈整数，所以其判别式必是完全平方数因是质数，必整除，于是整除因此，5或29当时，则有，不是一个完全平方数当时，则有，不是一个完全平方数当时，则有所以（此时，）
2、3.5.8已知、是正整数，试问关于的方程是否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给予证明解析不妨设，设方程的两个整数根为、，则有所以，因为、都是正整数，所以、均是正整数，于是，所以或当时，由、是正整数，且，可得，此时，一元二次方程为，它的两个根为，当时，可得，此时，一元二次方程为，无整数解综上所述，当且仅当，时，题设方程有整数解，它的两个整数解为，3.5.9已知、都是质数，且使得关于的二次方程至少有一个正整数根，求所有的质数对解析由方程两根的和为可知，若方程有一个根为整数，则另一个根也是整数由方程两根的积为，知方程的另一个根也是正整数设方程的两个正整数根分别为、，由根与系数的关系
3、得，由得，、有如下几种可能的情况：所以，代入当时，而，故此时无解当时，所以，因为、都是质数，只可能所以当时，所以，不可能当时，所以，于是，综上所述，满足条件的质数对或3.5.10已知关于的一元二次方程的两个根均为整数，求所有满足条件的实数的值解析原方程可化为，因为此方程是关于的一元二次方程，所以，于是，从上画两式中消去，得，于是因为、均为整数，所以故，0，3显然，又，将，3分别代入上式得式得，15，33.5.11设关于的二次方程的两根都是整数求满足条件的所有实数是的值解析原方程式可变形为：，因，则，于是，消去，得，从而，由于、都是整数，则即故，3，经检验，3，满足题意3.5.12已知关于的一元
4、二次方程无相异两实根，则满足条件的有序正整数组有多少组？解析因为无相异两实根，所以，判别式，化简为，所以，因为、为正整数，所以，所以，故当时，故，所以符合条件的有序正整数对共有7组；当时，故，所以符合条件的有序正整数对共有4组；当时，故，所以符合条件的有序正整数对共有3组；当时，故，所以符合条件的有序正整数对共有1组；当时，故，所以符合条件的有序正整数对共有1组；综上所述，符合条件的有序正整数组共有(组)3.5.13若正整数、是关于的方程的两个根，求、的值解析由条件得：，由得，由、为正整数，则所以，由，得，将写作，而由于、为正整数，则与皆不能取到与，因此对于式，只有如下四种可能的情况，(i)(
5、ii)(iii)(iv)分别解得与经验证，只有，这一组解能满足、式，这时原方程成为因此本题的解为，3.5.14、为整数，并且是关于的方程的两个根，求、的值解析据可知，所以、为正整数由，即而，对于正整数、，与皆不能取到与故由，只有四种可能的情形：(i)(ii),(iii)(iv)由此代入，只有，符合条件这时原方程化为，它显然有两个根13与7因此本题只有一解，3.5.15、为正整数，若关于的方程有正整数解，求的最小值解析设方程的两根为、，则则因、中有一个为正整数，另一个也必是正整数，不妨设，由得，故由于59为质数，则，中必有一个是59的倍数，在式中，若取，则，即若取，则，这时，因此的最小值为953
6、.5.16是否存在整数，使得关于的方程有整数解？解析不存在满足条件的整数事实上，若是满足条件的整数，并设是的整数根，则由平方数或，于是，1或，这与矛盾评注利用整数理论来处理整系数一元二次方程的整数根问题是不易考虑到的想法，解题中往往能出奇制胜3.5.17求所有的正整数，使得以表示为两个连续正整数的乘积解析设正整数、满足，则上述关于的一元二次方程有正整数解，于是是一个完全平方数设为非负整数，且，得，所以注意到，与有相同的奇偶性，可知或进而，求得或1综上，满足条件的正整数为4或评注在利用判别式处理一元二次方程整数解问题时，经常会涉及求一个二元二次不定方程整数解3.5.18是否存在整数、，使得方程和
7、都有两个整数根？解析不存在这样的整数事实上，若存在满足条件的、，我们不妨设为偶数（否则用代替讨论，当然，此时应将两个方程都乘）由于有两个整数根，故和都是整数（这一点由韦达定理可知），所以和都为偶数（这里用到奇数不能被偶数整除）这表明方程的系数都为奇数，设其两个整数根为、则为奇数，于是、都为奇数，从而为偶数，这要求为偶数与，都为奇数矛盾评注这里从的奇偶性出发讨论是关键，在运用韦达定理后，整个问题变为一道奇偶分析问题3.5.19已知是正整数，如果关于的方程的根都是整数，求的值及方程的整数根解析观察易知，方程有一个整数根，将方程的左边分解因式，得因为是正整数，所以关于的方程的判别式，它一定有两个不同
8、的实数根而原方程的根都是整数，所以方程的根都是整数，因此它的判别式应该是一个完全平方数设（其中为非负整数），则，即显然与的奇偶性相同，且，而，所以或或解得或或而是正整数，所以只可能或当时，方程，它的两根分别为和此时原方程的三个根为1、和当时，方程即，它的两根分别为和此时原方程的三个根为1、和3.5.20求所有的正整数组，使得如下三个关于的二次方程，的根都是正整数解析设方程的两个根为、，且；的两个根为、，且；的两个根为、，且于是由韦达定理知，所以，故，由于、都是正整数，由知，、中至少有一个为偶数，从而，同理，结合式便得，从而，进而便得当对，三个方程都为，正整数根为1和2所以，所求的正整数组3.5
9、.21证明：存在无穷多对正整数（，），满足方程解析1原方程可以写为，于是是完全平方数设，其中是任意一个正整数，则于是，或所以，存在无穷多对正整数（其中是正整数）满足题设方程解析2原方程可写为，所以可设（是正整数），于是得令（是任意正整数），则于是所以，存在无穷多对正整数（其中是任意正垫数）满足题设方程3.6列方程解应用题3.6.1甲、乙二人用相同的速度，沿着同一条道路从地到地，甲先出发，当甲所行的路程是乙的2倍时，甲又行了5千米到达地，然后立即返回，行了全程的时，与乙还相距3千米那么、两地相距多少千米？解析该题运动过程看似比较复杂，但抓住甲、乙速度相同这一条件，则二者在相同的时间内，行驶的路程
10、相同，可将问题理清简化设、两地相距千米，则当甲所行的路程是乙的2倍时，甲行的路程为千米，下面计算乙行驶的路程由于甲、乙速度相同，故当甲行了千米时，乙也行驶了相同的距离，故有，所以，依题意得方程，解得所以、两地相距22千米3.6.2轮船从城到城需行5昼夜，而从城到城需行7昼夜，现由城放一木筏于水中漂流至城（木筏无任何动力），途中需多少昼夜？解析设、间距离为，船顺水时的速度为，船逆水时的速度为，则水速为，故有途中所需时间为昼夜3.6.3一艘轮船从港到港顺水航行需6小时，从港到港逆水航行需8小时，若在静水条件下，从港到港需多少小时？解析设船在静水条件下，从港到港需小时，两港之间的距离为千米，由“船的
11、顺流速度船的静水速度船的静水速度船的逆水速度”，得，所以，从港到港需小时3.6.4辆汽车在上坡路上行驶的速度是每小时40千米，在下坡路上行驶的速度是每小时50千米，在平路上行驶的速度是每小时45千米，某日这辆汽车从甲地开往乙地，先是用了的时间走上坡路，然后用了的时间走下坡路，最后用了的时间走平路已知汽车从乙地按原路返回甲地时，比从甲地开往乙地所用时间多15务钟，那么甲、乙两地的距离是多少？解析设这辆汽车从甲地开往乙地共需小时，依题意得，解得（小时），所以甲、乙两地距离为（千米）3.6.5汽车将甲镇的日用品运到乙村，要经过上坡路20公里，下坡路14公里，平路5公里，然后再将乙村的粮食运往甲镇，汽
12、车往返所用的时间相差10分钟，已知汽车在上坡时、下坡时、走平路时的平均速度之比为3:6:5，求汽车在上坡时、下坡时、走平路时的各个平均速度；自甲镇到乙村及乙村到甲镇汽车各需要的时间解析按题意，可设汽车在上坡时、下坡时、走平路时的平均速度顺次是公里时、公里时、公里时（其中），于是有汽车从甲镇到乙村所用的时间汽车从乙村到甲镇所用的时间按题意易知，所以，解得汽车在上坡时、下坡时、走平路时的平均速度顺次是18公里时、36公里时、30公里时汽车从甲镇到乙村所需时间（小时），汽车从乙村到甲镇所需时间（小时）3.6.6甲乙两人在一圆形跑道上跑步，甲用40秒钟就能跑完一圈，乙反向跑每15秒钟和甲相遇一次，求乙
13、跑完一圈所需时间解析欲求乙跑完一圈所需的时间，就必须知道他的速度米秒，因此选择作辅助未知数设乙跑完一圈需秒，乙跑步的速度为米秒，由题意，一圈的总路程为米，甲的速度为米秒，于是得，因为，所以，解得故乙跑完一圈需要24秒评注这里是设而不求的辅助未知数3.6.7旅行者从下午3时步行到晚上8时，他先走平路，然后上山，到达山顶后就按原路下山，再走平路返回出发地，若他走平路每小时行4千米，上山每小时行3千米，下山每小时行6千米，问旅行者一共行多少千米？解析设旅行者所走的全程为千米，山路长为千米，则他上山需小时，下山需小时，走平路来回需小时，依题意，有方程，所以故所以，旅行者一共行了20千米评注这里的是设而不求的未知数，它在解题过程中消去了3.6.8在四点到五点之间，时针和分针在什么时刻重合？解析设从四点开始，分钟后两针重合如图所示，在四点整时，时针指向4，分针指向12，它们之间的夹角是根据常识，每60分钟，时针转动一格，即转了，那么一分钟转了；每5分钟，分针转动一格，即转了，那么1分钟转了如果
