模煳集理论及其应用_第一章

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1、1,模糊集理论及其应用,陈水利 厦门 集美大学 理学院,2,第一章 模糊集合及其运算,1.1 经典集合与特征函数( P34) 1.2 模糊集合与隶属函数( P511) 1.3 模糊集合的运算( P1214) 1.4 模糊集合的分解定理与表现定理( P1524),3,5,10,15,3,第一章 模糊集合及其运算,所谓集合，是指具有某种特定属性的对象集体设 为所讨论对象的全体，称之为论域显然，论域 是一个集合论域 中的每个对象 u 称为 的元素如此定义的集合通常称为Cantor 集合or经典集合. 设 A 为论域上的一个集合，则 u， uA or uA ，二者必居且仅居其一这种关系可用如下二值函数

2、表示之： A ： 0，1， 1， uA u A ( u ) = 0， uA 称 A 为集合A的特征函数反之，给定一个二值函数 A ： 0，1， u A ( u ) 可唯一确定一个经典集合 A ，即A = u， A ( u ) = 1 ,1.1 经典集合与特征函数,1.1 经典集合与特征函数(1/2),目 录,4,由此可见，经典集合A 与其特征函数 A 是一一对应的 由于A 只取0和1两个值，故经典集合A 只能用来描述界限分明的研究对象，对界限不分明的对象却无能为力。比如，对“年轻”这个模糊概念，用经典集合就无法给出合理的描述。而在自然界和现实生活中，模糊现象是普遍存在的。因此，必须把经典集合扩

3、充，使之能够刻划模糊现象和解决模糊性问题。,1.1 经典集合与特征函数(2/2),目 录,5,1.2.1 模糊集合的定义 为了定量地刻画模糊概念和模糊现象，美国计算机与控制论专家，California 大学 Buckely 分校.adeh 教授于1965年提出了模糊集合概念，具体定义如下: 定义1.2.1 设 为论域，则称由如下实值函数 A ： 0，1 ， u A ( u ) 所确定的集合 A 为 上的模糊集合，而称A 为模糊集合A 的隶属函数，A ( u )称为元素 u 对于A 的隶属度。,1.2 模糊集合与隶属函数,1.2 模糊集合与隶属函数(1/5),目 录,6,由此可见，模糊集合 A

4、是一个抽象的概念，其元素是不确定的， 我们只能通过隶属函数A来认识和掌握 A A(u)的数值的大小反映了论域 中的元素 u 对于模糊集合 A 的隶属程度， A(u)的值越接近于1 ，表示u隶属于A 的程度越高；而(u)的值越接近于，表示u隶属于 A 的程度越低特别地， 若A(u) =，则认为u完全属于A ； 若A(u) =，则认为u完全不属于A 因此, 经典集合可看作是特殊的模糊集合 换言之，模糊集合是经典集合的推广。,7,若记 P ( U )和 F ( U )分别为 U 上的所有经典集合和所有模糊集合的全体，则 P ( U ) F ( U ). 通常称P ( U )为U 的幂集， 而称F (

5、 U )为U 的模糊幂集。 由于模糊集合A只能由其隶属函数A来表达，故为方便起见，我们将用记号A(u)来代替A(u) , 即 A(u) A(u) 这样，模糊集合与其隶属函数的记号将不加区分,1.2 模糊集合与隶属函数(2/5),目 录,8,1. Zadeh 表示法 (1) 若论域U 为有限集，即U =u1 , u2 , , un，则 A F ( U ) 可表示为 这里 不表示为“分数”，而是表示 ui 隶属于A 的程度为A( ui ) ； 符号“+”也不表示加号，而是一种联系符号。,1.2.2 模糊集合的表示方法,1.2 模糊集合与隶属函数(3/5),目 录,9,例1.2.1：设U =u1 ,

6、 u2 , u3 , u4 , u5 ，则 表示论域U 上 u1 对于A 的隶属度为0.87 ， u2 对于A 的隶属度为0.75 ， u3 对于A 的隶属度为0.96 ， u4 对于A 的隶属度为0.78 ， u5 对于A 的隶属度为0.56 的模糊集合 。,10,(2) 若论域U 为无限集，则 A F ( U ) 可表示为 这里“ ”不表示为积分号，而是表示 各个元素与隶属度对应关系的一个总括。 例1.2.2 以年龄作为论域，取U =0，200， Zadeh给出“年轻”这个模糊集合Y 的隶属函数为 用Zadeh表示法就是,1.2 模糊集合与隶属函数(4/5),目 录,11,1.2.2 模糊

7、集合的表示方法 2. 向量表示法 当论域U =u1 , u2 , , un 时， A F ( U ) 也可用如下向量来表示： A=(A(u1 ) ，A(u2)， ，A( un) (1-2-3) 例如，例1.2.1中的模糊集合A也可表示为 A=(0.87 ，0.75， 0.96，0.78，0.56) 由于A( ui ) 0,1(i=1，2，n )，故称式(1-2-3)所示的向量为模糊向量。,1.2 模糊集合与隶属函数(5/5),目 录,12,1.3.1 经典集合的运算及其性质 由于经典集合可由其特征函数唯一确定，故经典集合的运算可通过特征函数的运算来描述，具体定义如下： 定义1.3.1 设 A,

8、B P ( U )，则 ( i ) A B iff uU , A(u) B(u); ( ii) A = B iff uU , A(u) = B(u); (iii) AB: uU , AB (u) = max A(u) ,B(u); (vi) AB: uU , AB (u) = min A(u) ,B(u); ( v) A: uU, A(u) = 1A(u) . 利用定义1.3.1不难验证，经典集合关于“(并), (交), (补)”这三种运算具有如下九条基本性质.,1.3 模糊集合的运算,1.2 模糊集合与隶属函数(5/5),目 录,13,1.3.1 经典集合的运算及其性质 定理1.3.1 设

9、A , B , C P ( U )，则 (1) 幂等律：AA = A , AA = A ; (2) 交换律：AB = BA , AB = BA ; (3) 结合律：( AB )C = A( BC ), ( AB )C = A( BC ); (4) 吸收律：( AB )B = B , ( AB )B = B ; (5) 分配律：A( BC ) = ( AB )( AC ), A( BC ) = ( AB )( AC ); (6) 复原律： (A )= A ; (7) 两极律： AU = U , AU = A , A = A , A = ; (8) De Morgan律： ( AB ) = AB

10、, ( AB ) = AB ; (9) 排中律(互补律)： AA = U , AA = . 由此可见， (P ( U ) , , , )构成一个布尔代数。,3 模糊集合的运算,1.2 模糊集合与隶属函数(5/5),目 录,14,3 模糊集合的运算,1.2 模糊集合与隶属函数(5/5),1.3.2 模糊集合的运算及其性质 由于经典集合是模糊集合的特例，即经典集合的特征函数是一种特殊的隶属函数，于是，Zadeh由经典集合的特征函数的运算性质出发，引入模糊集合的运算如下： 定义1.3.2 设 A , B F ( U ) , 则 ( i ) A B iff A(u) B(u) , uU ; (ii )

11、 A = B iff A(u) = B(u) , uU ; (iii) AB : (A B) (u) = max A(u), B(u)= A(u) B(u), uU ; ( v ) AB : (A B) (u) = min A(u), B(u)= A(u) B(u), uU ; ( vi) A: A(u) = 1A(u) , uU . 如下图所示:,目 录,15,例1.3.1 设U =u1 , u2 , u3 , u4 时， A,B F( U ) 且 A=(0.8, 0.9, 0.3, 0.6) , B=(0.2, 0.5, 0.6, 0.2) 则 (i) AB且 B A, A B (ii)

12、AB =(0.80.2, 0.90.5, 0.30.6, 0.60.2) =(0.8, 0.9, 0.6, 0.6) (iii) AB =(0.80.2, 0.9 0.5, 0.3 0.6, 0.6 0.2) =(0.2, 0.5, 0.3, 0.2) (vi) A =(10.8, 1 0.9, 1 0.3, 1 0.6) =(0.2, 0.1, 0.7, 0.4) 类似于定理1.3.1,模糊集合关于“(并), (交), (补)”这三种运算满足定理1.3中的前八条运算,即,目 录,16,定理1.3.2 在(F( U ), , , )中,幂等律、交换律、结合律、吸收律、分配律、复原律、两极律和D

13、e Morgan对偶律均成立,但排中律不成立. 即 (1) 幂等律：AA = A , AA = A ; (2) 交换律：AB = BA , AB = BA ; (3) 结合律：( AB )C = A( BC ), ( AB )C = A( BC ); (4) 吸收律：( AB )B = B , ( AB )B = B ; (5) 分配律：A( BC ) = ( AB )( AC ), A( BC ) = ( AB )( AC ); (6) 复原律： (A )= A ; (7) 两极律： AU = U , AU = A , A = A , A = ; (8) De Morgan律： ( AB )

14、 = AB , ( AB ) = AB. 但是, AA U, AA ,17,例如: 设A=(0.8, 0.3, 0.7, 0.5), 则A =(0.2, 0.7, 0.3, 0.5) A A =(0.8, 0.7, 0.7, 0.5) (1, 1, 1, 1)= U A A =(0.2, 0.3, 0.3, 0.5) (0, 0, 0, 0)= 由此可见, (F( U ), , , )不构成一个布尔代数,而是构成一个软代数系统, 称之为 模糊格(Fuzzy Lattice),18,注1.3.1 两个模糊集合的并、交运算可推广到一般情形. 即设T为任意给定的指标集, tT, A, B F( U

15、), 则 (tT At)(u)=tTAt(u); (tT At)(u)=tTAt(u). 注1.3.2 上述介绍的模糊集合的并、交运算(, )是有Zadeh提出的, 称之为模糊格运算,它是经典集合格运算的直接推广. 然而, 推广的方式不是唯一的. 可以有多种推广方式, 例如:,目 录,19,20,1.4 模糊集合的分解定理与表现定理 1.4.1 模糊集合的截集 定义1.4.1 设A F( U ), 任取0,1,记 A=uU|A(u), AS=uU|A(u). 分别称A和AS为模糊集合A的截集和强截集, 而称为阀值或置信水平. 例1.4.1 设U =u1 , u2 , u3 , u4 ，A F( U )且 A=(0.6, 0.3, 0.5, 0.8) , 求A0.5 , AS0.5 解