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1、易拉罐的最优设计,南京邮电大学杨振华制作 ,易拉罐最优设计问题,（1）取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。,易拉罐最优设计问题,(2)设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。,易拉罐最优设计问题,(3)设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。 什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所
2、测量的易拉罐的形状和尺寸。,基本符号,r：圆台上表面半径 R：圆柱上下面半径 h：圆台高度 H：圆柱高度 注：长度均为内径 d：圆柱侧面厚度 ad：顶面厚度(a1) bd：圆台侧面厚度(b1) cd：底面厚度(c1),H,h,2R,2r,测量数据,通过测量,得到如下得一组数据(单位:mm): 底面2R=65 顶面2r=57 圆台高度h=9 圆柱高度H=104 圆柱侧面厚度d=0.13 底面厚度ad=0.37 顶面厚度bd=0.30 圆台侧面厚度cd=0.20 对应得厚度系数a=2.85,b=2.31,c=1.54,易拉罐体积,圆台体积V0ph(r2+rR+R2)/3 圆柱体积V1=pR2H 因
3、此，易拉罐的体积为 VV0V1 ph(r2+rR+R2)/3+pR2H,材料体积,假设圆台部分如图所示 设侧面倾角为q. 底面的半径为R1=R+bd/sinq.,底面与顶面的半径差为图中黄线所标识的线段 该段长度为(h+ad)ctanq. 因此顶面的半径为r1=R+bd/sinq -(h+ad)cotq.,材料体积,因此,圆台部分材料的体积为 S1=p(h+ad)(r12+r1R1+R12)/3- ph(r2+rR+R2)/3 其中r1=R+bd/sinq -(h+ad)cotq, R1=R+bd/sinq. 利用tanq=h/(R-r) 展开S1,并忽略d的高阶项,得到,材料体积,对于下面的
4、圆柱部分,材料的体积为 S2=p(R+d)2(H+cd)-pR2H. 展开,并忽略d的高阶项,得 S2=pd(2RH+cR2). 因此,材料得总体积为,材料体积,事实上,我们忽略接口部分,把材料看作为几个面,则可以简单的计算材料的体积: 顶面: pr2ad 底面: pR2cd 圆柱侧面: 2pRHd 圆台侧面: 于是得到总的材料体积.,数学模型,根据前面的准备工作,我们可以建立数学模型,模型转化,引入变量x=r/R,y=h/R,z=H/R,则模型化为,下面令,模型转化,上述数学模型是一个约束优化问题.不易求解. 其约束除了非负约束外,仅有一个等式约束. 最简单的方法是从等式约束中解出,然后代入
5、到目标函数中,模型转化,我们得到如下的数学模型,其中,模型求解,对于上面的最优化数学模型,我们可以用软件来求解.求解时我们可以先忽略它的各种约束,看作无约束优化问题来求解. 在Matlab中,可以用fminunc命令来求解. 对于实际测量数据,a=2.85,b=2.31,c=1.54,用Matlab软件求解得到 x=4.6710-5,y=0.301,z=3.16 可以看出x的值近似为零. 此时易拉罐的形状是圆锥加圆柱.,结果验证,上面的求解结果不符合实际.我们暂时不考虑这一点.,求解结果,模型转化,引入变量x=r/R,y=h/R,z=H/R,则模型化为,下面令,模型转化,模型中第一个约束不等式
6、较难处理,我们先不考虑,于是只要考虑右边的模型. 如果右边模型的最优解满足左边的不等式,则该最优解也就是左边问题的最优解.,模型求解,如果目标函数中,x,y为已知,仅有R一个未知数,则该优化问题是容易解的.,当,时,等式成立.,模型求解,我们得到下面的结论: 结论1 若0x1,y0,则,当,时,等式成立.,说明:要证明此结论,只要证明g(x,y)0即可.,模型求解,要对f(x,y,R)求最小,只要对g(x,y)求最小,然后给出相应的R的值即可.,对于g(x,y),我们先固定x,求它关于y的最小值.,模型求解,令偏导为0,解得,若x1,容易证明,y0分母中根号下的式子为正. 若x=1,则y0=0
7、, 偏导数不存在,我们另行考虑.,模型求解,若x0时是严格单调递增的.,若yy0,则gy0. 在y=y0时,g(x,y)取最小值.,模型求解,结论2 若0x1,y0,则g(x,y)h(x).其中,说明,前面证明了0x1时,结论2是正确的. 若x=1,则g(x,y)=3a+3c+6(b-1)y. h(1)=3a+3c.结论依然成立,此时y0=0.,模型求解,最终,我们只要讨论h(x)在0,1上的最小值问题. 对h(x)求导,其中,显然,在区间(0,1)内,h(x)的符号与a-p(b,x)一致,模型求解,h(x)在(0,1)内的驻点满足p(b,x)=a. 我们下面讨论p(b,x)的性质用来判断h(
8、x)的符号,进一步求h(x)的最小值. 首先对几个b作出p(b,x)的图形来观察.,p(1,x),p(1.5,x),p(2,x),p(b,x)的性质,由图形观察可知, (1)对不同的b, p(b,x)均为单调下降函数 (2)p(b,x)p(1,x). 下面来证明(1).,p(b,x)的性质,求该函数对x的导数,其结果比较复杂,其中q(b,x)是一个多项式,下证q(b,x)为正.,p(b,x)的性质,显然,因此,当00,p(b,x)0.,h(x)的单调性与最小值,根据上面的讨论,对于任意b,p(b,x)在区间0,1上单调递减.,因此,若,则在(0,1)内,h(x)0,h(x)严格单调递增, 在x=0时,h(x)取最小值,h(x)的单调性与最小值,若,则在(0,1)内,h(x)0,h(x)严格单调递减, 在x=1时,h(x)取最小值.,h(x)的单调性与最小值,若,则在(0,1)内,h(x)有唯一的零点x0,x=x0时h(x)取最小值. x0无法精确的用a,b表示. 对于给定的a,b,可以用数值的方法解方程p(b,x)=a求出.,原问题的讨论,我们求出的是右边模型的最优解,为了说明它们是左边模型的解,我们必须验证,原问题的讨论(z00?),根据,等价于,即,若x0=0,则,若x0=1,由求解过程,y0=0,原问题的讨论(z00?),若0x01,由求解过程,计算可得,
