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1、数据的曲线拟合 （Matlab）,实验5,、问题 人口预测问题。 下面给出的美国1900到到2000年的人口数。 我们的目标是预测未来的人口数。,t 1900 1910 1920 1930 1940 1950 y 75.995 91.972 105.711 123.203 131.669 150697 t 1960 1970 1980 1990 2000 y 179.323 203.212 226.505 249.633 281.422,无论是插值问题还是曲线拟合问题，总是巳知一个函数在若干点处的信息（如实测数据），希望构造近似函数，用得到的插值或逼近函数给出被逼近函数在其他点处的值（如无法实
2、测的点），或了解函数的整体情况。,学会用Matlab软件，来完成对数据的拟合和插值的方法。 三、预备知识 1、设ax0 x1 xn b,已知有n1个节点(xj , yj), j0，1，n其中xj互不相同，这些节点（xj , yj） 可以看成是由某个函数y=f(x)产生的。插值方法是构造一 个相对简单的函数y=g(x)，使g通过全部节点,即g(xj)yj j=0,1,2, ,n，用g(x)作为函数f(x)的近似。,插值函数近似的点在插值节点之间，则称为内插；否则称为外推。人口的预测问题如果用插值或拟合的方法，则显然是外推。,二、实验目的,拟合方法的求解思路有别于插值，以多项式拟合为例说明 之。对
3、于给定的数据（xj , yj），j0，1，n， 选取适当阶数的多项式g(x),使g(x)尽可能接近这些数据。,这可以通过求解下面的最小化问题来实现：,设解为,，则 g(x)=,用Matlab可以很容易地作插值和拟合，这既使读者避开了繁琐的原理性说明，也能了解插值和拟合的意义，并且可以自如地使用这种数学技术来解决实际问题。当然，如果有兴趣，也可以了解相关的“数值计算”内容。,就是所需的近似函数。,2、本实验中所用Matlab命令提示： yi=interp1(x1,y1,xi,linear)；%一元插值函数 interpl,其中x1,y1为节点，命令对应函数yi=g(xi)； zi=interp1
4、(x1,y1,xi,cubic)： %三次多项式插值；, p=polyfit(x1,y1,n)： %多项式拟合函数polyfit( ), p,s=polyfit(x1,y1,n)：x1,y1为节点,n为多项式阶 数， 矩阵s为生成预测值 的误差估计； y=polyval(p,x)： %多项式曲线求值函数polyval, y,DELTA=polyval(p,x,s) 前者为返回对x在系数p的 多项式的值，后者为输出s 得出误差估计YDELTA；,所用函数：nlinfit( ) %带有待定常数的自定义函数 调用格式：beta,r,J=nlinfit(x,y,fun,beta0) （说明：beta返
5、回函数fun中的待定常数；r表示残 差；J表示雅可比矩阵；x,y为数据；fun自定 义函数；beta0待定常数初值。） 四、实验内容与要求 1、就给出的美国1900到到2000年的人口数，拟合出多项 式和向自定义函数拟合，并预测2010年美国的人口数。,t 1900 1910 1920 1930 1940 1950 y 75,995 91,972 105,711 123,203 131,669 150,697 t 1960 1970 1980 1990 2000 y 179,323 203,212 226,505 249,633 281,422,2、 X 取 1，2，20，y=x+3sin(x
6、),分别用 6 阶、 10 阶曲线进行逼近。 3、 下表为某保险公司100个赔款样本的赔款状况， 求出：（1）画直方图、散点图；（2）若分布适 合对数正态分布模型,求参数,;(3)画对数 正态分布密度图形。,赔款额（元） 赔款次数 0400 2 400800 24 8001200 32 12001600 21 16002000 10 20002400 6 24002800 3 28003200 1 32003600 1 3600以上 0,总数 100,五、思考与练习 1、 已知数据见下表，求xi=0.025时的yi的值。 X 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
7、0.9 1 Y 0.3 0.5 1 1.4 1.6 1.9 0.6 0.4 0.8 1.5 2 并求：x=0.2500、0.3500、0.4500时y的函数值。 2、 某保险公司1990年1996年的保费收入如下表，试预 测该公司在1997年、1998年的保费收入。,年度 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996,保费收入(万元)104 162 188 264 320 400 442,3、某保险公司1990年发生的7821件家财险赔案的分组统 计情况，试计算平均赔款额及赔款额的方差；并画出散点 图。,某保险公司1990年家财险索赔分布情况,索赔额（元） 频数,050
8、 1728 50100 1346 100200 1869 200400 1822 400800 907 800以上 149,合计 7821,六、操作提示 计算过程：,(1)一阶拟合： t=1900:10:2000; y=0.75995 0.91972 1.05711 1.23203 1.31669 1.50697 1.79323 2.03212 2.26505 2.49633 2.81422; n=1; p=polyfit(t,y,n) ti=linspace(1900,2000,100); %绘图的t轴数据 z=polyval(p,ti); %多项式在数据点处值 plot(t,y,o,ti,
9、z,k:,t,y,b) legend(原始数据,一阶曲线) ti=2010; yi=interp1(t,y,ti,spoline),三阶拟合： t=1900:10:2000; y=0.75995 0.91972 1.05711 1.23203 1.31669 1.50697 1.79323 2.03212 2.26505 2.49633 2.81422; n=3; p=polyfit(t,y,n) ti=linspace(1900,2000,100); %绘图的t轴数据 z=polyval(p,ti); %多项式在数据点处的值 plot(t,y,o,ti,z,k:,t,y,b) legend(
10、原始数据,三阶曲线) ti=2010; yi=interp1(t,y,ti,spoline) 自定义函数拟合： 首先定义非线性函数的M文件：fff1.m,function yy=model(beta0,x) a=beta0(1); b=beta0(2); yy=a+exp(b*x); 程序如下： x=1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000; y=0.75995 0.91972 1.05711 1.23203 1.31669 1.50697 1.79323 2.03212 2.26505 2.49633 2.81422; be
11、ta0=0.30 0.02; betafit=nlinfit(x,y,fff1,beta0) plot(x,y,r-*),(2)六阶多项式： x=1:20; y=x+3*sin(x); p=polyfit(x,y,6) xi=linspace(1,20,100); z=polyval(p,xi); %多项式求值函数 plot(x,y,o,xi,z,k:,x,y,b) legend(原始数据，6阶曲线),十阶多项式： x=1:20; y=x+3*sin(x); p=polyfit(x,y,10) xi=linspace(1,20,100); z=polyval(p,xi); %多项式求值函数 p
12、lot(x,y,o,xi,z,k:,x,y,b) legend(原始数据，10阶曲线),(3) 画直方图： x=0:400:3600; y=2 24 32 21 10 6 3 1 1 1; bar3(x,y) %三维直方图 散点图： x=0:400:3600; y=2 24 32 21 10 6 3 1 1 1; plot(x,y,r-*) 求均值与方差：,赔款额（元） 组中值 赔款次数 赔款频率,0400 200 2 0.02 400800 600 24 0.24 8001200 1000 32 0.32 12001600 1400 21 0.21 16002000 1800 10 0.10
13、,20002400 2200 6 0.06 24002800 2600 3 0.03 28003200 3000 1 0.01 32003600 3400 1 0.01 3600以上 0,总数 100 1.00,均值： X=200 600 1000 1400 1800 2200 2600 3000 3400; P=0.02 0.24 0.32 0.21 0.10 0.06 0.03 0.01 0.01; EX=X*P %,方差： DX= DX=X.2*P-EX2 %DX=EX2-(EX)2 对数正态分布的均值：,对数正态分布的方差：,=log(1216)-1/2*2 2=log(1+36294
14、4/(12162),代入对数正态分布密度可画图： x=200:400:3600; y=1./sqrt(2.*3.14*0.22*x.2).*exp(-(log(x)- 7).2 /(2.*0.22); plot(x,y,r-*) title(对数正态分布密度函数曲线图 ) xlabel(x=200:400:3600) （4） x=0:0.1:1; y=0.3 0.5 1 1.4 1.6 1.9 0.6 0.4 0.8 1.5 2; yi0=interp1(x,y,0.025,linear) xi=0:0.02:1;,yi=interp1(x,y,xi,linear); %线性插值 zi=interp1(x,y,xi,spline); %三次样条插值 wi=interp1(x,y,xi,cubic); %三次多项式插值 plot(x,y,o,xi,yi,r+,xi,zi,g*,xi,wi,k.-) legend(原始点,线
