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1、1,线 性 代 数 电子教案之十三,2,主要内容,第十三讲 方阵的对角化,相似矩阵的概念和性质；,方阵与对角阵相似的条件；,对称阵的特征值与特征向量的性质，利用正交 矩阵将对称阵化为对角阵的方法.,基本要求,了解相似矩阵的概念和性质，了解方阵可相似 对角化的充要条件.,了解对称阵的特征值与特征向量的性质，掌握 利用正交阵将对称阵化为对角阵的方法.,3,一、相似矩阵的概念,第三节 相似矩阵,1. 概念的引入,已知矩阵 ,求 .,我们可以找到一个可逆矩阵 ，,相似矩阵,使,4,2. 相似矩阵的概念,定义 设 都是阶矩阵，若有可逆矩阵 ，使,则称 是 的相似矩阵，,或称矩阵 与 相似.,对 进行运算
2、 称为对 进行相似变换，,可逆矩阵 称为把 变成 的相似变换矩阵.,5,说明,能对角化最突出的作用表现在 的多项式 的计算上.,若存在可逆矩阵 ，使,( 为对角阵),则有,这表明 的多项式可通过同一多项式的数值计算 而得到.,当 能对角化时，可以容易证明下面结论：,设 是 的特征多项式，则 .,6,二、相似矩阵的性质, 定理3, 若 是 的相似矩阵，则 也是 的相似矩阵., 若 与 相似，则它们的行列式相等： ., 若 与 相似，则 与 也相似.,若 阶矩阵 与 相似，则 与 的特 征多项式相同，从而 与 的特征值也相同.,相似，, 若 阶矩阵 与对角阵,则 即是 的 个特征值.,证明,证明,
3、7,说明,推论表明，若 ，则 的对 角元必定是 的全部特征值.,于是在不计较 的对 角元次序的意义下， 由 惟一确定.,问题：, 可逆矩阵 是不是也由 确定？, 能不能用特征值和特征向量来刻画矩阵 能 对角化的“特性”？,定理3的逆命题不成立的. 若矩阵 和 的特征值 相同，它们可能相似，也可能不相似.,例如,8,三、方阵可对角化的充要条件,1. 方阵对角化的概念,寻找相似变换矩阵 ，使,这就称为把方阵 对角化.,说明,如果能找到可逆矩阵 ，使 ，则 可对角化；,如果找不到这样可逆矩阵 ，则 不可对角化.,9,2. 定理的引入,设有可逆矩阵 ，使 为对角阵.,下面 回答 能否由 确定.,10,
4、因而 由 和 确定，,也就是由 确定.,由于特征向量不是惟一的，所以矩阵 也不 是惟一确定的.,11,反过来，,是依次与之对应的特征向量，则,设矩阵 的 个特征值为 ，,当 可逆，即 线性无关时，有,这表明方阵 能否对角化完全可用 的特征值和 特征向量来刻画.,12,3. 方阵可对角化的充要条件,定理4 阶矩阵 与对角阵相似(即 能对角化),的充要条件是 有 个线性无关的特征向量.,推论,若 阶矩阵 的 个特征值互不相等，则 与对角阵相似.,说明,当 的特征方程有重根时，不一定有 个线性无 关的特征向量，从而不一定能对角化；,但是，有 重根时，也有可能能对角化. 所以,特征值互不相等只是 与对
5、角阵相似的充分条件.,13,例1 设,问 为何值时，矩阵能对角化？,解 析：此例是定理4的应用.,定理4表明：,阶矩阵 可对角化,有 个线性无关特征向量.,由此可推得另一个充要条件：,=对应于 的线性无关特征向量的个数,14,所以的特征值为 1(二重)， .,对应于单根 ，可求得线性无关的特征向量1个；,对应于二重特征值 1，若 能对角化，则,15,要使 ，则,即,说明,解答此题的关键是将 取值条件“ 可对角化” 转化为“二重特征值 1 应满足 ”， 从而求得.,矩阵 能否对角化，取决于它的线性无关特征 向量的个数，而与 的秩， 的行列式都无关.,16,例2 设,若能，找出一个相似变换矩阵 将
6、 化为对角阵.,试问 能否对角化？,解 析：这是前面提到的一个例题. 现在再讲，目的是为了熟悉找相似变换矩阵的方法.,先求 的特征值，,所以 的特征值为,再求特征向量，,17,当 时，对应的特征向量满足,解之，得基础解系,所以对应于 的线性无关的特征向量可取为,解之，得基础解系,当 时，对应的特征向量满足,所以对应于 的线性无关的特征向量可取为,18,由以上可知， 有两个线性无关特征向量 ，,令,则 就是所求相似变换矩阵，且有,说明,求相似变换矩阵的步骤：, 求特征值；, 求特征向量；, 若线性无关的特征向量的个数等于矩阵的阶数，则相似变换矩阵存在(否则不存在)，由线性无关的特征向量构成的矩阵
7、就是所求.,所以 可以对角化.,19,四、小结,对于 阶矩阵 和 ，若有可逆矩阵 ，使,则称 与 相似.,阶矩阵 与 相似，则 和 的特征值相同， 反之不然.,阶矩阵 与对角阵相似的充要条件是 有 个 线性无关的特征向量.,20,一、实对称阵的性质,第四节 实对称阵的对角化,定理5 实对称阵的特征值为实数.,定理6,设 是对称阵 的两个特征值， 是,若 ，则 与 正交.,对应的特征向量，,证明,证明,证明,定理7,设 为 阶实对称阵，则必有正交阵 ，使,其中 是以 的 个特征值为对角元的对角阵.,推论,设 为 阶对称阵， 是 的特征方程的 重 根，,则矩阵 的秩 ，,从而 对应特征值 恰有 个
8、线性无关的特征向量.,21,说明,定理5表明，实对称阵的特征向量可取实向量.,这是因为，,当特征值 为实数时，齐次方程,的系数矩阵是实矩阵，必有实的基础解系.,定理6表明，实对称阵的特征向量可取为两两正 交的向量.,这是因为，,对 的每一个不同的特征值 ，对应于 的特征向量可取为两两正交向量，,到的线性无关的特征向量就是两两正交的.,定理7表明，实对称阵一定可以对角化，而且是 正交相似对角化.,这样所得,22,二、实对称阵的对角化,理论依据：,定理7和其推论,实对称阵 正交相似对角化的步骤：, 求出 的全部互不相等的特征值,它们的重数依次为, 对于实对称阵 ，一定在正交阵 ，使, 对于对称阵
9、， 重特征值对应的线性无关 特征向量恰好有 个.,23, 对应于 重特征值 ，求方程,(由推论),再把它们正交化、单位化，得 个两两正交的单 位特征向量.,可得 个两两正交的单位特征向量.,(由定理6), 用这 个两两正交的单位特征向量构成正交阵 ，便有 .,注意 中对角元的 排列次序应与 中列向量的排列次序相对应.,的基础解系，得 个线性无关的特征向量.,故总共,24,例3 设,求一个正交阵 ，使 为对角阵.,解 析：对称阵正交相似对角化的原理和步骤是本 章的中心问题. 此例是这一问题的示范，目的是熟,悉对称阵正交相似对角化的步骤，并明了每个步 骤的必要性和依据., 求特征值，,25,求得
10、的特征值为,由,26, 求两两正交的单位特征向量，,对应于 ，,解方程 ，,由,得基础解系,从而得单位特征向量,解方程 ，,对应于 ，,27,由,得基础解系,将 正交化，,取,从而得两两正交的单位向量为,28, 写出正交阵和对角阵，,令,就是所求正交阵，且有,29,注意：,若令 则,若令 则,30,例4 设 ，求,解 析：此例的目的是掌握利用矩阵对角化理论 计算方阵的幂及多项式., 求 的特征值，,由,得 的特征值为, 求特征向量，,对应,解方程 ，,31,由,得,对应,解方程 ，,由,得, 写出相似变换矩阵，将 化为对角阵,令,则,且,即,32, 根据 的相似对角阵，求,33,此例体现了方阵
11、对角化的作用，如前面所述.,将此例与第二章中的有关的例题相比较，后者给 出关系式 、矩阵 和 ，也就是给出条 件 可对角化； 的相似对加阵 ；相似变 换矩阵 .,前者则更具有理论性和实践性: 已知 ， 通过计算 和 ，求 .,因此尽管两者都是求 的 幂，形象地说后者是矩阵乘法的练习，前者是理论 指导下的实践.,说明,34,三、小结,对于实对称阵 ，一定在正交阵 ，使,将对称阵正交相似对角化的步骤：,求特征值；,求两两正交的单位特征向量；,写出正交矩阵和对角阵.,35,思 考 题,1. 设 是 阶矩阵 的 重特征值，对应线性无关 的特征向量恰有 个，证明 .,2. 如果 是矩阵 的两个不同的特征
12、值， 是对应于特征值 的线性无关的特 征向量， 是对应于特征值 的线性 无关的特征向量，那么， 也线性无关.,3. 设 是 阶矩阵， 是 的 个特征向量， 求 .,4. 若 ，则 可对角化； 若 ，且 ，则 不可对角化.,思考题,36,思考题解答,1. 证 设这 个线性无关的特征向量为 ， 因它们是齐次方程 的基础解系，故,选取 使 这 个向 量线性无关( 可选矩阵 的列向 量组的最大无关组)，并把它们构成可逆矩阵 . 因 ，故,37,思考题解答,则 与 相似，且 的特征多项式为,可见 的特征值 的重数 .,而 的特征值与 的特征值一一对应，,因此 的特征值 的重数 .,因而 的特征值 0 的
13、重数 .,38,思考题解答,2.证,设有 ,使,两边左乘 ，得,又,所以,因为 线性无关，所以必有,同理必有,于是， 线性无关,39,思考题解答,3. 解,因为 是 阶矩阵 的特征值，所以 存在可逆矩阵 ，使,所以,40,思考题解答,4. 证, 设 为 阶矩阵，由 ，得,先证 的特征值知可能是0或1.,设 是 的一个特征值，由 关系式可知， 应有 所以 或1.,再证 有 个线性无关特征向量.,设 则 ，于是,由 知，对应于0的线性无关的特 征向量有 个；,由 知，对应于1的线性无关的特 征向量有 个；,所以 共有 个线性无关特征向量，故 可对角化.,41, 用反证法.,假设 能对角化，即存在可逆矩阵 ，使,为对角阵.,所以,而已知 ，故,与 矛盾！,因此 不能对角化.,思考题解答,42,作业,作业：,P138 13. 14. 15. 16.(2) P139 17. 18. 22. 24.(2),43,例如 设,则有,其中,所以 与 相似.,又设,显然 与 的特征值相同，但是它们不相似.,44,这是因为，如果 与
