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1、数学建模与数学实验,拟 合,实验目的,实验内容,2、掌握用数学软件求解拟合问题。,1、直观了解拟合基本内容。,1、拟合问题基本理论。,2、用数学软件求解拟合问题。,3、应用实例,曲 线 拟 合 问 题 的 提 法,已知一组（二维）数据，即平面上 n个点（xi,yi) i=1,n, 寻求一个函数（曲线）y=f(x), 使 f(x) 在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。,y=f(x),i 为点（xi,yi) 与曲线 y=f(x) 的距离,拟合与插值的关系,函数插值与曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似，由于近似的要求不同，二者的数学方法上是完全不同的。,实例：下面数据是某
2、次实验所得，希望得到X和 f之间的关系？,MATLAB(cn),问题：给定一批数据点，需确定满足特定要求的曲线或曲面,解决方案：,若不要求曲线（面）通过所有数据点，而是要求它反映对象整体的变化趋势，这就是数据拟合，又称曲线拟合或曲面拟合。,若要求所求曲线（面）通过所给所有数据点，就是插值问题；,最临近插值、线性插值、样条插值与曲线拟合结果：,曲线拟合问题最常用的解法线性最小二乘法的基本思路,第一步:先选定一组函数 r1(x), r2(x), rm(x), mn, 令 f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+ +amrm(x) （1） 其中 a1,a2, am 为待定系数。,第二步: 确定a1
3、,a2, am 的准则（最小二乘准则）： 使n个点（xi,yi) 与曲线 y=f(x) 的距离i 的平方和最小 。,记,问题归结为，求 a1,a2, am 使 J(a1,a2, am) 最小。,线性最小二乘法的求解：预备知识,超定方程组：方程个数大于未知量个数的方程组,超定方程一般是不存在解的矛盾方程组。,如果有向量a使得 达到最小， 则称a为上述超定方程的最小二乘解。,线性最小二乘法的求解,定理：当RTR可逆时，超定方程组（3）存在最小二乘解，且即为方程组 RTRa=RTy 的解：a=(RTR)-1RTy,所以，曲线拟合的最小二乘法要解决的问题，实际上就是求以下超定方程组的最小二乘解的问题。
4、,线性最小二乘拟合 f(x)=a1r1(x)+ +amrm(x)中函数r1(x), rm(x)的选取,1. 通过机理分析建立数学模型来确定 f(x)；,2. 将数据 (xi,yi) i=1, n 作图，通过直观判断确定 f(x)：,用MATLAB解拟合问题,1、线性最小二乘拟合,2、非线性最小二乘拟合,用MATLAB作线性最小二乘拟合,1. 作多项式f(x)=a1xm+ +amx+am+1拟合,可利用已有程序:,a=polyfit(x,y,m),2. 对超定方程组,3.多项式在x处的值y可用以下命令计算： y=polyval（a，x）,例 对下面一组数据作二次多项式拟合,1）输入以下命令： x
5、=0:0.1:1; y=-0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2; R=(x.2) x ones(11,1)； A=Ry,MATLAB(zxec1),解法1用解超定方程的方法,2）计算结果： = -9.8108 20.1293 -0.0317,1）输入以下命令： x=0:0.1:1; y=-0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2; A=polyfit(x,y,2) z=polyval(A,x); plot(x,y,k+,x,z,r) %作出数据点和
6、拟合曲线的图形,2）计算结果： = -9.8108 20.1293 -0.0317,解法2用多项式拟合的命令,MATLAB(zxec2),1. lsqcurvefit 已知数据点： xdata=（xdata1，xdata2，xdatan）， ydata=（ydata1，ydata2，ydatan）,用MATLAB作非线性最小二乘拟合,Matlab的提供了两个求非线性最小二乘拟合的函数：lsqcurvefit和lsqnonlin。两个命令都要先建立M-文件fun.m，在其中定义函数f(x)，但两者定义f(x)的方式是不同的,可参考例题.,lsqcurvefit用以求含参量x（向量）的向量值函数
7、F(x,xdata)=（F（x，xdata1），F（x，xdatan）T 中的参变量x(向量),使得,输入格式为: (1) x = lsqcurvefit (fun,x0,xdata,ydata); (2) x =lsqcurvefit (fun,x0,xdata,ydata,options); (3) x = lsqcurvefit (fun,x0,xdata,ydata,options,grad); (4) x, options = lsqcurvefit (fun,x0,xdata,ydata,); (5) x, options,funval = lsqcurvefit (fun,x0,
8、xdata,ydata,); (6) x, options,funval, Jacob = lsqcurvefit (fun,x0,xdata,ydata,);,说明：x = lsqcurvefit (fun,x0,xdata,ydata,options);,lsqnonlin用以求含参量x（向量）的向量值函数 f(x)=(f1(x),f2(x),fn(x)T 中的参量x，使得 最小。 其中 fi（x）=f（x，xdatai，ydatai） =F(x,xdatai)-ydatai,2. lsqnonlin,已知数据点： xdata=（xdata1，xdata2，xdatan） ydata=（y
9、data1，ydata2，ydatan）,输入格式为： 1） x=lsqnonlin（fun，x0）； 2） x= lsqnonlin （fun，x0，options）； 3） x= lsqnonlin （fun，x0，options，grad）； 4） x，options= lsqnonlin （fun，x0，）； 5） x，options，funval= lsqnonlin （fun，x0，）；,说明：x= lsqnonlin （fun，x0，options）；,例2 用下面一组数据拟合 中的参数a，b，k,该问题即解最优化问题：,MATLAB(fzxec1),1）编写M-文件 curve
10、fun1.m function f=curvefun1(x,tdata) f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata) %其中 x(1)=a; x(2)=b；x(3)=k;,2）输入命令 tdata=100:100:1000 cdata=1e-03*4.54,4.99,5.35,5.65,5.90,6.10,6.26,6.39, 6.50,6.59; x0=0.2,0.05,0.05; x=lsqcurvefit (curvefun1,x0,tdata,cdata) f= curvefun1(x,tdata),F(x，tdata)= ，x=(a，b，k),解法1. 用命令
11、lsqcurvefit,3）运算结果为： f =0.0043 0.0051 0.0056 0.0059 0.0061 0.0062 0.0062 0.0063 0.0063 0.0063 x = 0.0063 -0.0034 0.2542,4）结论：a=0.0063, b=-0.0034, k=0.2542,MATLAB(fzxec2),解法 2 用命令lsqnonlin f(x)=F(x,tdata,ctada)= x=（a，b，k）,1）编写M-文件 curvefun2.m function f=curvefun2(x) tdata=100:100:1000; cdata=1e-03*4.
12、54,4.99,5.35,5.65,5.90, 6.10,6.26,6.39,6.50,6.59; f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata)- cdata,2）输入命令: x0=0.2,0.05,0.05; x=lsqnonlin(curvefun2,x0) f= curvefun2(x),函数curvefun2的自变量是x，cdata和tdata是已知参数，故应将cdata tdata的值写在curvefun2.m中,3）运算结果为 f =1.0e-003 *(0.2322 -0.1243 -0.2495 -0.2413 -0.1668 -0.0724 0.0241
13、 0.1159 0.2030 0.2792 x =0.0063 -0.0034 0.2542,可以看出,两个命令的计算结果是相同的.,4）结论：即拟合得a=0.0063 b=-0.0034 k=0.2542,MATLAB解应用问题实例,1、电阻问题,2、给药方案问题,*3、水塔流量估计问题,MATLAB(dianzu1),电阻问题,得到 a1=3.3940, a2=702.4918,方法2.直接用,结果相同。,MATLAB(dianzu2),一室模型：将整个机体看作一个房室，称中心室，室内血药浓度是均匀的。快速静脉注射后，浓度立即上升；然后迅速下降。当浓度太低时，达不到预期的治疗效果；当浓度太
14、高，又可能导致药物中毒或副作用太强。临床上，每种药物有一个最小有效浓度c1和一个最大有效浓度c2。设计给药方案时，要使血药浓度 保持在c1c2之间。本题设c1=10，c2=25(ug/ml).,一种新药用于临床之前，必须设计给药方案.,药物进入机体后血液输送到全身，在这个过程中不断地被吸收、分布、代谢，最终排出体外，药物在血液中的浓度，即单位体积血液中的药物含量，称为血药浓度。,要设计给药方案,必须知道给药后血药浓度随时间变化的规律。从实验和理论两方面着手：,给药方案,1. 在快速静脉注射的给药方式下，研究血药浓度（单位体积血液中的药物含量）的变化规律。,t,问题,2. 给定药物的最小有效浓度
15、和最大治疗浓度，设计给药方案：每次注射剂量多大；间隔时间多长。,分析,理论：用一室模型研究血药浓度变化规律,实验：对血药浓度数据作拟合，符合负指数变化规律,3.血液容积v, t=0注射剂量d, 血药浓度立即为d/v.,2.药物排除速率与血药浓度成正比，比例系数 k(0),模型假设,1. 机体看作一个房室，室内血药浓度均匀一室模型,模型建立,在此，d=300mg，t及c（t）在某些点处的值见前表，需经拟合求出参数k、v,用线性最小二乘拟合c(t),MATLAB(lihe1),计算结果：,用非线性最小二乘拟合c(t),给药方案 设计,设每次注射剂量D, 间隔时间,血药浓度c(t) 应c1 c(t) c2,初次剂量D0 应加大,给药方案记为：,2、,1、,计算结果：,给药方案：,c1=10,c2=25 k=0.2347 v=15.02,故可制定给药方案：,即: 首次注射375mg， 其余每次注射225mg， 注射的间隔时间为4小时。,估计水塔的流量,2、解题思路,3、算法设计与编程,1、问题,某居民区有一供居民用水的园柱形水塔，一般可以通过测量其水位来估计水的流量，但面临的困难是，当水塔水位下降到设定的最低水位时，水泵自动启动向水塔供水，到设定的最高水位时停止供水，这段时间无法测量水塔的水位和水泵的供水量通常水泵每天
