《2011年高考数学一轮精品复习课件：第7章《立体几何》——空间点、平面、直线之间的位置关系》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2011年高考数学一轮精品复习课件：第7章《立体几何》——空间点、平面、直线之间的位置关系（39页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学案3 空间点、直线、平面 之间的位置关系,返回目录,一、平面 1.三个公理 公理1 如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 公理2 ,有且只有一个平面，也可简单地说成，不共线的三点确定一个平面.,两点,过不在一条直线上的三点,考点分析,公理3 如果两个不重合的平面 ，那么它们有且只有 . 2.符号语言与数学语言的关系,有一个公共点,一条过该点的公共直线,返回目录,=a,Aa,Aa,a,ab=A,返回目录,1.空间两条直线的位置关系有三种：相交、平行、异面 (1)相交直线: ; (2)平行直线: ; (3)异面直线: . 2.判定异面直线的方法 (1)利用定理：过平面外一点与
2、平面内一点的直线和平 面内不经过该点的直线是异面直线.,二、空间两条直线的位置关系,在同一平面内，有且只有一个公共点,在同一平面内，没有公共点,不同在任何一个平面内（或者说，异面直线既 不相交又不平行的两条直线），没有公共点,返回目录,(2)利用反证法：假设两条直线不是异面直线，推导出矛盾. 3.公理4 空间平行线的传递性. 4.等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 .,平行于同一条直线的两条直线互相平行,相等或互补,返回目录,5.异面直线所成的角 设a,b是异面直线，经过空间任一点O，分别作直线aa,bb，把直线a与b所成的 叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). 三、
3、空间直线与平面的位置关系 直线与平面的位置关系有且只有三种： （1）直线在平面内： ； （2）直线与平面相交： ； （3）直线与平面平行： ，,锐角(或直角),有无数个公共点,有且只有一个公共点,没有公共点,返回目录,直线与平面相交或平行的情况统称 . 四、平面与平面的位置关系 两个平面之间的位置关系有且只有两种： （1）两个平面平行： ； （2）两个平面相交： .,有一条公共直线,直线在平面外,没有公共点,返回目录,如图所示，空间四边形ABCD中，E，F，G分别在AB，BC，CD上，且满足AE:EB=CF:FB=2:1，CG:GD=3:1，过E，F，G的平面交AD于H，连接EH. （1）求A
4、H:HD； （2）求证：EH，FG，BD三线共点.,考点一 证明共点问题,题型分析,【分析】证明线共点的问题实质上是证明点在线上的问题，其基本理论是把直线看作两平面的交线，点看作是两平面的公共点，由公理3得证.,返回目录,返回目录,【解析】（1） =2，EFAC. EF平面ACD. 而EF平面EFGH，且平面EFGH平面ACD=GH， EFGH.而EFAC，ACGH. =3，即AH:HD=3:1.,返回目录,（2）证明：EFGH，且 ， ， EFGH,四边形EFGH为梯形. 令EHFG=P,则PEH,而EH 平面ABD， PFG，FG 平面BCD，平面ABD平面BCD=BD， PBD.EH，F
5、G，BD三线共点.,【评析】 所谓线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交于一点. （1）证明三线共点的依据是公理3. （2）证明三线共点的思路是：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点，把问题转化为证明点在直线上的问题.实际上，点共线、线共点的问题都可以转化为点在直线上的问题来处理.,返回目录,对应演练,如图所示，已知空间四边形ABCD，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点.且CG= BC，CH= DC.求证： （1）E，F，G，H 四点共面； （2）三直线FH，EG， AC共点.,返回目录,返回目录,（1）连接EF，GH. 由E,F分别为AB,AD中点， EF
6、 BD,由CG= BC CH= DC， HG BD， EFHG且EFHG. EF,HG可确定平面, E,F,G,H四点共面.,（2）由（1）知,EFHG为平面图形，且EFHG，EFHG. 四边形EFHG为梯形，设直线FH直线EG=O， 点O直线FH，直线FH 面ACD， 点O平面ACD.同理点O平面ABC. 又面ACD面ABC=AC，点O直线AC（公理2）. 三直线FH，EG，AC共点.,返回目录,在正方体ABCDA1B1C1D1中,对角线A1C与平面 BDC1交于点O,AC,BD交于点M,求证:点C1,O,M共线.,【分析】证明三点共线常用方法是取其中两点确定一 直线,再证明其余点也在该直线
7、上.,考点二 点共线问题,返回目录,【证明】如图,A1AC1C, A1A,C1C确定平面A1C. A1C 平面A1C,OA1C, O平面A1C,而O=平面BDC1线A1C, O平面BDC1, O在平面BDC1与平面A1C的交线上. ACBD=M, M平面BDC1且M平面A1C, 平面BDC1平面A1C=C1M, OCM,即M,O,C1三点共线.,返回目录,返回目录,【评析】 证 明若干点共线也可用基本性质3 为依据,找出两个平面的交线,然后证明各个点都是这两平面的公共点.,返回目录,对应演练,如图所示,已知ABC在平面外,AB,BC,AC的延长线分别交平面于P,Q,R三点.求证:P,Q,R三点
8、共线.,证明:设ABC所在平面为,因为AP=P,AP,所以与相交于过点P的直线l,即Pl.因为BQ=Q,BQ,所以Q,Q.所以Ql.同理可证Rl.所以P,Q,R三点共线.,返回目录,【分析】四条直线两两相交且不共点,有两种情况: 一是恰有三条直线共点;二是任意三条直线均不共点,故应分两种情况证明.,考点三 共面问题,证明：空间不共点且两两相交的四条直线在同一平面内.,【解析】 (1)如图,设直线a,b,c相交于O点,直线d和a,b,c分别交于M,N,P三点,份直线d和点O确定平面. O直线a,M直线a, 直线a平面. 同理b平面,c平面. a,b,c,d四线共面.,返回目录,(2)如图,设直线
9、a,b,c,d两两相交,且任意三条不共点. 直线ab=M,直线a和b确定平面. ac=N,bc=Q,N,Q都在平面内. 直线a,b,c,d共面于. 综合（1），（2）知,两 两相交而不过同一点的 四条直线必在同一平面内.,返回目录,返回目录,【评析】所谓点线共面问题就是指证明一些点或直线在同一个平面内的问题.（1）证明点线共面的主要依据：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内（公理1）.经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（公理2）.（2）证明点线共面的常用方法:纳入平面内：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内.辅助平面法：先证明有关的点、线确定平
10、面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面,重合.反证法.（3）具体操作方法：证明几点共面的问题可先取三点（不共线的三点）确定一个平面，再证明其余各点都在这个平面内.证明空间几条直线共面问题可先取两条（相交或平行）直线确定一个平面，再证明其余直线均在这个平面内.,返回目录,对应演练,如图，正方体ABCDA1B1C1D1中， 判断下列命题是否正确，并说明理由. （1）直线AC1平面CC1B1B； （2）设正方形ABCD与A1B1C1D1 的中心分别为O，O1，平面AA1C1C 平面BB1D1D=OO1； （3）点A，O，C可以确定一个平面； （4）由点A，C1，B1确定的平面是ADC1B1； （5
11、）由A，C1，B1确定的平面和由A，C1， D确定的平面是同一平面.,返回目录,(1)错误，若AC1平面CC1B1B，则A平面 CC1B1B，这与A 平面CC1B1B的几何事实矛盾. (2)正确，O，O1是这两个平面的两个公共点. (3)错误,点A，O，C在同一直线上. (4)正确，A，C1，B1不共线，确定平面. AB1C1D是平行四边形，过AD与B1C1两平行线确定 一平面, 又,都过不共线三点A,C1,B1，与重合. 点D平面AC1B1，即A,C1,B1确定的平面是ADC1B1. (5)正确，同（4）.,返回目录,如图所示，正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C
12、1的中点.问： （1）AM和CN是否是异面直线？ （2）D1B和CC1是否是异面直 线？请说明理由.,考点四 异面直线的判定和证明,【分析】（1）由于M,N分别是A1B1和B1C1的中点，可证明MNAC，因此AM与CN不是异面直线.（2）由空间图形可感知D1B和CC1为异面直线的可能性较大，判断的方法可用反证法.,【解析】（1）不是异面直线.理由如下： M,N分别是A1B1,B1C1的中点, MNA1C1， 又A1A D1D,而D1D C1C， A1A C1C，四边形A1ACC1为平行四边形. A1C1AC，得到MNAC， A,M,N,C在同一个平面内，故AM和CN不是异面直线.,返回目录,返
13、回目录,（2）是异面直线，证明如下： 假设D1B与CC1在同一个平面D1CC1内， 则B平面CC1D1，C平面CC1D1. BC平面CC1D1， 这与正方体ABCDA1B1C1D1中BC面CC1D1相矛盾. 假设不成立，故D1B与CC1是异面直线.,返回目录,返回目录,如图所示，E,F在AD上，G,H在BC上，图中8条线段所在的直线，哪些直线互为异面直线？,先找规律性较强的直线，如AB与CD，AC与BD，AD与BC互为异面直线，然后再把EG添入，那么易得EG分别与AB,AC,BD,DC成异面直线.同理，FH也与它们分别成 异面直线，EG与FH也互为异面直线.每两条异面直线称 为“一对”，则共有
14、12对异面直线.,对应演练,返回目录,在空间四边形ABCD中，AB=CD且其所成的角是60，点M,N分别是BC,AD的中点.求直线AB与MN所成的角.,【分析】 本题首先要考虑将题目中的直线AB与 CD所成的角是60反映在图形上 ，故要考虑添加辅 助线，通常取中点将其中的直线进行平移，从而得解.,考点五 异面直线所成的角,【解析】取AC的中点P，连结PM,PN，则有 PMAB，且PM= AB.PNCD，且PN= CD. 又AB=CD且其所成的角是60， PM=PN，MPN=120或60. MPN=60或30，即直线AB与MN所成的角为 60或30.,返回目录,返回目录,【评析】求异面直线所成的角主要有定义法(平移法)和向量法. 利用定义法(平移法)求异面直线所成角的一般步骤为: (1)平移:选择适当的点,平移异面直线中的一条或两条成为相交直线,这里的点通常选择特殊位置的点,如线段的中点或端点,也可以是异面直线中某一条直线上的特殊点. (2)证明:证明所作的角是异面直线所成的角. (3)寻找:在立体图形中,寻找或作出含有此角的三角形,并解之. (4)取舍:因为异面直线所成角的取值范围是090,所以所作的角为钝角时,应取它的补角作为异面直线所成的角.,对应演练,如图所示，在四棱锥
