1 矢量代数与矢量微积分基础

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1、第 1 章 矢量代数与矢量微积分 第 1 章 矢量代数与矢量微积分 1.1 矢量代数矢量代数 本章并不是要介绍我们所需要的所有数学方法，而是根据学生在初学阶段的需要主要 介绍矢量代数及其相关的运算规则。 旨在为更好的理解物理学描述物体运动的方式和物理思 想奠定基础。另一方面，物理学发展到现在的信息时代，我们认为仅仅掌握普通的数学方法 是不够的，无论从掌握基本物理概念，还是从探究式学习的角度，我们认为引入计算机教学 是非常必要的。 这里， 我们把计算机算法作为数学方法的一种补充。 但是计算机的方法很多， 我们这里只介绍 Matlab 算法在物理学中的应用。由于该程序非常普及易学，我们只是抛砖 引

2、玉式地作一简单介绍，旨在把学生引导到这一探究式学习的道路上来。 1.1.1 矢量与矢量代数运算矢量与矢量代数运算 矢量是既有大小也有方向的量。物理学中许多物理量为矢量，比如位移矢量，动量， 角动量，力，电场，磁场，都是矢量。有些物理量为标量，像温度、热容量、能量、质 量、时间，.等等，只有大小而没有方向。标量满足一般的代数关系，而矢量的代数关 系是不同于标量的。进一步地，在微分等运算中矢量的表现形式也是与标量很不一样的。因 此，有必要关于矢量运算的各种形式作介绍。 图 1-1 表示的位移位移矢量 AB 的例子，它只表示物体从 A 点运动 到 B 点的位置的变化，但是并不能说明物体是从哪条路径从

3、 A 点到 达 B 点的。所以位移矢量并不包含路径的任何信息。如果物体从某 点 A 到点 B，然后又从点 B 到点 C，那么物体运动从点 A 到点 C 的 净位移是矢量 AB 和 BC 的矢量和，如图 1-2。 图 1-2 中的矢量和关系可以表示为矢量方程 =+ ? ? sab。 (1.1.1) 矢量加减法运算规则矢量加减法运算规则 （1）交换律 矢量关系见图 1-3，而数学表达则为 +=+ ? ? abba (1.1.2) 图 1-1相同起始位置 A 和 B 不同路径的位移矢量 图 1-2（a）矢量 AC 是矢量 AB 与 BC 的矢量和（b）等价的矢量图 （2）结合律 其矢量关系见图 1-

4、4 ()() + ? ? abc = abc (1.1.3) （3）矢量减法 矢量 ? b定义为其大小等于矢量 ? b但是方向相反，如图 1-5。 加一矢量 ? b等价于减去矢量 ? b。所以，定义矢量减法为（见图 1-6） ()+ ? ? d = ab = ab (1.1.4) 矢量分量表示矢量分量表示 如果考虑一个在 x-y 平面的二维矢量 ? a， 如图 1-7 所示。 分量 x a和 y a分别为矢量 ? a在 x 轴和 y 轴上的投影。根据三角关系，容易得到 cos sin xy aaaa=和 (1.1.5) 矢量的大小，也称为矢量的模，记为a ? a， 根据三角关系有 22 tan

5、 y xy x a aaa a =+=以及 (1.1.6) 图 1-4 三矢量和的结合律 图 1-5 矢量 ? b与矢量 ? b 图 1-3 两矢量求和可交换顺序 图 1-6 矢量减法用矢量加法表示 图 1-7 (a) 矢量 ? a的分量 x a和 y a； （b）分量的合成。 三维笛卡尔坐标下矢量的分量表示三维笛卡尔坐标下矢量的分量表示 如图 1-8 所示坐标轴确定的坐标系为右手坐标系。图中i、 j和 k分别为在 x、y 和 z 轴上长度为 1 个单位且相互垂直的单位矢量。任意矢量 ? a可以用三个单位矢量来表示： xyz aaa ? a =i +j+k (1.1.7) 量 xy aa、ij

6、 和 z a k是矢量 ? a的“矢量分量” ，而, xy a a和 z a是矢量 ? a的“标量分量” 。 矢 量 ? a的模是 222 xyz aaaa=+ ? a (1.1.8) 任何矢量都可以表示成为其模与其矢量方向的单位矢量之积来表示。比如，若我们记矢 量 ? a方向的单位矢量为an，则我们可以把 ? a表示为 aa aaa=nn ? ，或者a=n ? ? a a 。 (1.1.9) 矢量乘法规则及其几何意义矢量乘法规则及其几何意义 矢量乘法包括标量积和矢量积两种。 （1）标量积 标量积 矢量 ? a和 ? b的标量积定义为 cosab ? ? a b =。 (1.1.10) 图 1

7、-8 三维矢量图。单位矢量i、 j和 k按右手定则定义了笛卡尔坐标系。 图 1-9 (a) 两矢量 ? a和 ? b及其夹角；(b) 一矢量在另一矢量的投影分量 由于两矢量间的乘积关系用点表示，标量积也称为点积点积（dot product）或内积内积（inner product） 。(1.1.10)式是读作“ ? a点乘 ? b” 。该式可以改写为 ()( )( )()coscosabab= ? ? a b=， (1.1.11) 式中矢量cosa是 ? a投影到矢量 ? b方向的分量，cosb是矢量 ? b投影到矢量 ? a方向的分量。 这意味着标量积是可以交换的。所以我们有 = ? ? a

8、bb a (1.1.12) 用三维矢量的形式，矢量 ? a和 ? b的标量积可以记为 () () xyzxyz aaabbb= ? ? a bi +j+ki +j+k。 (1.1.13) 根据标量积的定义，不难确定单位矢量间的关系： 1; 0i ij jk kijj ki k = = (1.1.14) 即相同单位矢量的标量积为 1，不同单位矢量的标量积为 0。这个性质可以用一个简洁 的关系表示： 1, = 0, lklk l k lk = ee（l, k = 1,2,3） (1.1.15) 为方便起见，记le（l =1,2,3）表示单位矢量i 、j 和 k中的任意一个， 12 , ,ij=ee

9、 以 及 3 k=e。 lk 称为克罗内克Delta（Kronecker Delta）符号。所以，容易证明(1.1.13)式可以 写为 3 1 x xyyz zi ii i i a ba ba babab = = ? ? a b+。 (1.1.16) 在上面第二个等式，下指标表示的意义是1,2,3i =对应于 123 , xyz aa aa aa=；同样的 表示之于 ? b的分量。(1.1.16)式中最后一个等式是物理学中常用的一种标记形式，称为爱因 斯坦求和规则 爱因 斯坦求和规则， 即重复指标表示对两个量遍历所有可能指标求和。 此处等价于求和i =1, 2, 3。 利用内积的概念，一个矢量

10、在各坐标轴的分量，即为这个矢量在该轴上的投影。所以我 们有 ()()()() 112233 , , , (1,2,3) ii aaaai=eeee即 ? aaaa (1.1.17) 所以，我们可以把矢量 ? a表示为 () 33 11 iii i ii a = = eee ? aa (1.1.18) 从代数上讲，这个式子可以看作是将矢量 ? a用基矢le来表示。 （2）矢量积 矢量积 矢量 ? a和 ? b矢量积定义为 ()sin c abn ? ? c = ab =， (1.1.19) 此处cn是矢量c ? 方向的单位矢量。两矢量的矢量积仍然是一矢量，中间用符号联系，所 以矢量积也称为叉积（

11、cross product） 。矢量c ? 的方向由右手螺旋规则确定，并垂直于 ? a和 ? b 所确定的平面。由图 1-10 (c) 易知， 叉积叉积ab ? ? 的模等于由的模等于由 ? a和和 ? b所确定的平形四边形的面积所确定的平形四边形的面积。 尽管按照(1.1.19)式 其面积大小是相同的，但是ab ? ? 并不等于ba ? ? ，它们方向相反。所以叉积不满足交换律。 如果记cba = ? ? ，那么cc = ? ，即 a bba= ? ? (1.1.20) 为了在三维笛卡尔（Cartesian）坐标系统下表示矢量积，我们先看单位矢量的矢量积。 根据定义式(1.1.19)，相同的

12、单位矢量的叉积为零，因为同一单位矢量的夹角等于零。比如， 0iijjkk =。但是不同单位矢量的叉积不为零，因为两不同单位矢量间的夹角 是90度， 故叉积后与另一单位矢量形成右手螺旋关系。 比如， , , ijk jki kij= =； 而 , , j ik kji ikj = = = ，参考图1-11。 把这些关系代入下面的矢量积 图1-10矢量积的右手螺旋规则。c ? 垂直于ab ? ? (a) 和ba ? ? (b) 所确定的平行四边形的平面(c)。 图1-11 单位矢量 () () xyzxyz aaabbb= ? ? abi +j+ki +j+k 逐项相乘，立即可以得到 ()()()

13、 xyzyzzyzxxzxyyx xyz xyz ccca ba ba ba ba ba b aaa bbb +=+ ? ? c = abijkijk ijk = (1.1.21) 比较一下式中c ? 和ab ? ? 的分量的下指标，可以发现右边的第一项按照（x, y, z）形成循环的 关系，而第二项交换下指标而有一负号；所有的下指标没有重复相同的。而行列式只是依据 行列式的性质来表示叉积关系的另一种形式而已。 下面我们引进一个符号来表示叉积的分量 之间的关系，这种形式以后对于矢量的运算是很有帮助的。我们记ab ? ? 的分量为 () 33 11 iijkjk i jk caba b = =

14、? ? (1.1.22) 其中定义 1, 0, 1, ijk = (1.1.23) ijk 称 为Levi-Civita反 对 称 张 量 。 改 变 指 标 顺 序 ， ijkkijikj = 。 事 实 上 ， 123312231 1,=而 213132321 1= 。(1.1.22)式也可以去掉求和符号，用爱因斯 坦求和规则记为 () iijkjk i caba b= ? ? (1.1.24) 这里右边 ijk 第一个字母表示叉积的第i分量，而a, b的下指标j、k与 ijk 重复表示自动求和。 根据这个关系，(1.1.24)式中的下指标可以取（1、2、3）的任意值。其中1对应x分量，2

15、对 应y分量，3对应z分量。如若1i =（即 x c分量） ，这时右边 ijk 中的i是1。所以j，k只能取2 和3，而不能取1；同时j，k的值也不能相同。对于 1 c， 1jk 可以取 123 1=，即j=2，k=3； 和 132 1= ，即j=3，k=2。所以有 xyzzy ca ba b=。其余分量可以如此类推给出。这个符 号在物理学物理量的矢量运算关系中是很有用的。下面我们不加证明给出Levi-Civita张量的 一个有用的恒等式 ijkklmiljmimjl =。 (1.1.25) （3）混合积混合积 下指标按(1,2,3)顺序排列，或其偶数次对换， 下指标中有两个或以上相同 下指标按(x,y,z)的顺序形成奇数次对换 物理学中许多物理量是以矢量场的形式出现。它们有时出现点积和叉积混合相乘的运 算。比如 ()() xyz xyzxyzxyz xyzxyz ddd dabd id jd kaaaaaa bbbbbb =+= ? ? ijk (1.1.26) 可以证明见习题1