系统仿真技术——第1章+连续系统模型描述

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1、系统仿真技术 第1章 连续系统模型描述,陈无畏 合肥工业大学机械与汽车工程学院,1.1 连续系统模型描述,连续系统-系统状态变化在时间上是连续的，可以用方程式（常微分方程、偏微分方程、差分方程）描述系统模型。,一个系统可以定义成如下集合结构： T：时间基，描述系统变化的时间坐标。 T为整数则称为离散时间系统， T为实数则称为连续时间系统。 X：输入集， 代表外部环境对系统的作用。 X被定义为 ,其中 ，X即代表n个实值的输入变量。 ：输入段集，描述某个时间间隔内输入模式，是(X,T)的子集。 Q：内部状态集，是系统内部结构建模的核心。,：状态转移函数，定义系统内部状态是如何变化 的。 它是映射

2、： 其含义：若系统在 时刻处于状态q，并施加 一个输入段 ，则 表示系统 处于 状态。 ：输出函数，它是映射： 输 出函数给出了一个输出段集。 Y：输出段集，系统通过它作用于环境。,连续系统数学模型典型形式,常微分方程 传递函数 状态空间描述 权函数（脉冲过渡函数）,1.1.1常微分方程-输入/输出水平,（1） 其中n为系统的阶次， 为系统的 结构参数， 为输入函数的结构参 数，它们均为实常数 。,1.1.2 传递函数-输入/输出水平,若系统的初始条件为零，对（1）式两边取拉氏变换后稍加整理： (2) (2)式称为系统的传递函数。,1.1.3 状态空间描述-状态结构水平,系统内部模型状态空间模

3、型。状态空 间描述的一般形式为： 状态方程 : (3) 输出方程 : (4),1.2 模型结构变换,连续系统仿真要将这个系统的模型在计算机上实现出来，首先要把系统的各种描述形式转换成内部模型-状态空间模型，我们将其称为模型结构变换。,1.2.1 输入/输出水平模型到内部 模型的变换,假设一连续系统，它的数学模型如(5)式所示: （a0=1）(5) 今引进n个状态变量： ， ， ，,输入/输出水平模型到内部模型的变换（续）,则有 将上述n个一阶微分方程写成矩阵形式可得 （6）,输入/输出水平模型到内部模型的变换（续）,（7） 外部模型变换到内部模型不唯一，所以仿 真模型也不唯一。一个系统有多种实

4、现，最 小实现的充要条件是(A、B、C)为完全能控 且完全能观测。,1.2.2 系统状态初始值变换,如果系统是非零初始条件，那么从外部模型变 换到内部模型还必须考虑如何将给定的初始条件转 变为相应的状态变量的初始值。 若系统是由如下一般形式的n阶微分方程来描 述： 系统初始条件为：,伴随方程法,一阶微分方程组的状态变量记为 ， 如果它们满足如下关系： （8） （9） （10） （11） 该状态方程与原方程等价。,伴随方程法（续）,证明： 将（8）两边分别进行微分n次，可得： （12） 其中p为微分算子符号。对（9）式两边分别进行n-j(j=1,2,n-1)次微分，可得： （13） 对（10）式

5、也引入微分算子： （14） 将（12）、（13）、（14）所包括的n+1个等式左 右两边分别相加，消去同类项，稍加整理后就得到原高阶微 分方程，表明了两者之间的等价关系。,伴随方程法（续）,伴随方程法明显地表示了状态变量与原输入/输出变量 及其高阶导数之间的关系，因而易于进行初始值的转换。这 样得到状态方程及输出方程： （15） 其中,伴随方程法（续）,设a0=1,初值转换方程： 伴随方程有多种形式，因而得到的状态方程也不 唯一。那么，实现这种初值转换的条件是什么呢？,伴随方程法（续）,考虑转换后得到的系统状态空间模型为: 即假定u的n阶导数项的系数c0=0，已知系统的初始条件为: 则为了由上

6、述初始值求出状态变量的初始值，可列出以下方 程:,伴随方程法（续）,于是可得下列矩阵方程 (16) 其中,伴随方程法（续）,由(16)式可得： (17) 即若 存在，则可由(17)式求出 x(t) 的初始 值。 由控制理论可知，是(A、B、C)的能观判别 阵，若(A、B、C)是完全能观的，则非奇异。这 就是说，由高阶微分方程输入/输出变量初始值转变 为状态初始值的条件是：内部模型(A、B、C)是完 全能观的。,1.2.3 典型环节的传递函数,控制系统由许多元件组合而成，这些元件的物理结构和作用原理是多种多样的，但抛开具体结构和物理特点，从传递函数的数学模型来看，可以划分成几种典型环节，常用的典

7、型环节有比例环节、惯性环节、积分环节、微分环节、振荡环节、延迟环节等。,1. 比例环节,环节输出量与输入量成正比，不失真也无时间滞后的环节称为比例环节，也称无惯性环节。输入量与输出量之间的表达式为,c(t)=Kr(t),比例环节的传递函数为,式中K为常数，称为比例环节的放大系数或增益。,2. 惯性环节(非周期环节),惯性环节的动态方程是一个一阶微分方程,其传递函数为,式中 T 惯性环节的时间常数 K 惯性环节的增益或放大系数,当输入为单位阶跃函数时，其单位阶跃响应为,单位阶跃响应曲线,惯性环节实例很多，如图所示的R-L网络，输入为电压u，输出为电感电流i，其传递函数,式中,3. 积分环节,输出

8、量正比于输入量的积分的环节称为积分环节，其动态特性方程,其传递函数,式中Ti为积分时间常数。,积分环节的单位阶跃响应为,它随时间直线增长，当输入突然消失，积分停止，输出维持不变，故积分环节具有记忆功能，如图所示。,上图为运算放大器构成的积分环节，输入ui(t)，输出u0(t)，其传递函数为,式中Ti = RC,4. 微分环节,理想微分环节的特征输出量正比于输入量的微分，其动态方程,其传递函数,式中 Td 称微分时间常数,它的单位阶跃响应曲线,如图所示，理想微分环节实际上难以实现，因此我们常采用带有惯性的微分环节，其传递函数,其单位阶跃响应为,曲线如下图所示，实际微分环节的阶跃响应是按指数规律下

9、降，若K值很大而Td值很小时，实际微分环节就愈接近于理想微分环节。,5. 二阶振荡环节(二阶惯性环节),二阶振荡环节的动态方程为,其传递函数,式中 为无阻尼自然振荡角频率，为阻尼比。,图中所示为RLC网络，输入为u0(t)、输出ui(t)，其动态特性方程,其传递函数,式中,6. 延迟环节(时滞环节),延迟环节是输入信号加入后，输出信号要延迟一段时间后才重现输入信号，其动态方程为,其传递函数是一个超越函数,式中称延迟时间,需要指出，在实际生产中，有很多场合是存在迟延的，比如皮带或管道输送过程、管道反应和管道混合过程，多个设备串联以及测量装置系统等。迟延过大往往会使控制效果恶化，甚至使系统失去稳定

10、。,1.2.4 分解结构水平转换-面向结构图的模型变换,对于任何一个组合的典型环节都可以用状态方程 表示：,（20）,面向结构图系统方程描述,面向结构图系统方程描述（续）,U=WY+W0y0 (21) W称为系统的连接矩阵，它描述了系统内部各环节连接情况，每个元 素Wij 表示第 j 个环节的输出到第 i 个环节的输入之间的联接系数。 W0称为外部输入的连接矩阵，它描述了外部输入对系统的作用情 况。对单输入系统，W0是一个列矢量，Woj 表示外部输入信号 y0 作用在 第j个环节上的作用系数。在上图中，y0 只作用在第一个环节上，故W01 1。若为多输入系统则W0也是一个矩阵，它的列数等于输入

11、量的个数。,系统方程转换,将(21)式代入(20)式，则可得： （22） （23） 其中：Q=BDW，P=CWA ，V1=CW0 ， V2=DW0 如果Q 阵的逆存在，那么对(23)式两边左乘Q1，则得： （24） 这是一个标准的一阶常微分方程组。,系统方程转换（续）,说明： （1）矩阵方程的右端有两项与外加作用信号 有关，一 项是 ，另一项 。若外加作用函数是单位阶跃阵，此 时 ，为了便于计算，就要求V2是零向量。 如果外加作用信号是阶跃信号，那么必须限制外加作用信号 所用的那个环节Di=0。 （2）只有当Q 阵能求逆时，才能获得(14)式。当系统中 各环节不存在纯微分环节或纯比例环节时就能

12、保证Q阵可以求 逆。 （3）关于Q 的逆阵不存在时的结构变换，以下例说明：,结构变换例子,则 Q=BDW P=CW-A V1=CW0,因为Q 阵中出现1、3两列全零，所以Q -1不存在。其原因是1、3两个环节是比例和微分环节。对于上述系统，可以将其结构加以变换。,结构变换例子（续）,系统结构变换的程序法： 设系统的状态方程为： Q 阵中有(NM)列元素为全零，这说明有(NM)个环 节的Y不出现在方程的左端。也就是说，系统中有(NM)个 代数方程。 系统结构变换程序法就是通过矩阵的初等变换，把系统 中(NM)个代数方程分离出来。具体做法，就是对Q、 P、 V各矩阵线性变换，使上述方程中的各矩阵变

13、为 ， 从而Y变为 ，方程变为： (25),结构变换例子（续）,其中： (26),结构变换例子（续）,在变换的过程中，对Q、P、V作列变换，将使 Y原来的编号改变。所以程序中应将列变换的情况 记录下来，以便在最后求出 后，经过反变换而仍 能恢复Y。 完成变换后，系统可以分为M个微分方程与(N- M)个代数方程。而该M个微分组的 的逆存在。 因此: (27) 由此解得 ，然后再解(N-M)个代数 方程：,结构变换例子（续）,(28) 由当 时， ， 由此方程（28）可以写成：,1.3 微分方程的线性化,实际的物理系统往往有间隙、死区、饱和等各类非线性现象。严格地讲，几乎所有实际物理和化学系统都是

14、非线性的。目前，线性系统的理论已经相当成熟，但非线性系统的理论还远不完善。因此，在工程允许范围内，尽量对所研究的系统进行线性化处理，然后用线性理论进行分析不失为一种有效的方法。,当非线性因素对系统影响较小时，一般可直接将系统当作线性系统处理。另外，如果系统的变量只发生微小的偏移，则可通过切线法进行线性化，以求得其增量方程式。,非线性函数的线性化，是指将非线性函数在工作点附近展开成泰勒级数，忽略掉高阶无穷小量及余项，得到近似的线性化方程，来替代原来的非线性函数。,假如元件的输出与输入之间关系x2=f(x1)的曲线如图，元件的工作点为(x10，x20)。将非线性函数x2= f(x1)在工作点(x1

15、0，x20)附近展开成泰勒级数,当(x1x10)为微小增量时，可略去二阶以上各项，写成,其中 为工作点(x10，x20)处的斜率，即此时以工作点处的切线代替曲线，得到变量在工作点的增量方程，经上述处理后，输出与输入之间就成为线性关系。,图2-8为一铁芯线圈，输出为ui(t)，输入为i(t)。 线圈的微分方程为,当工作过程中线圈的电压和电流只在工作点（u0,i0）附近变化时，即有,线圈中的磁通 对 也有增量变化，假如在i0附近连续可微，将在i0 附近展开成泰勒级数，即,因是微小增量，将高阶无穷小量略去，得近似式,这就是铁芯线圈的增量化方程，为简便起见，常略去增量符号而写成,1.4 方框图,在控制工程中，为了便于对系统进行分析和设计，常将各元件在系统中的功能及各部分之间的联系用图形来表示，即方框图和