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1、第五章 空间问题的基本理论,要点：,（1）空间问题的基本方程, 平衡微分方程、几何方程、物理方程、边界条件等。,（2）空间应力状态与应变状态分析,（3）轴对称与球对称问题的基本方程,（4） Descartes张量简介及基本方程和基本量的张量表示,5-1 平衡微分方程,主 要 内 容,5-2 物体内任一点的应力状态,5-3 主应力与应力主向,5-4 最大与最小的应力,5-5 几何方程 刚体位移 体积应变,5-6 物体内一点的形变状态,5-7 物理方程 方程总结,5-5 轴对称问题的基本方程,5-9 球对称问题的基本方程,5-0 Descartes张量简介,5-0 Descartes张量简介,1.
2、 张量的定义及变换规律,(1) 一群量的下标记法,三维Descartes坐标系 三维直角坐标系,Descartes参考系下的张量 Descartes张量,位移：,可用下标表示为,缩写为,(i = 1，2，3),坐标：,可用下标表示为,缩写为,(i = 1，2，3),应力分量：,可表示为,缩写为,(i = 1，2，3) (j = 1，2，3),改写为,缩写为,(i = 1，2，3) (j = 1，2，3),用下标表示为,注意：, 工程剪应变；,剪应变分量。,应变分量：,(2) Kronecker 记号, 称为Kronecker（克鲁奈克）记号,对三维 情形( i，j =1，2，3) 排列成矩阵：
3、,(3) 张量的定义和变换规律,矢量 S 在坐标系Ox1x2x3的分量（投影）：,矢量 S 在坐标系 的分量（投影）：,对二维 情形( i，j =1，2) 排列成矩阵：,新旧坐标轴间的方向余弦：,变换关系,（a）,（b）,两个矢量：,A=,S=,两个矢量标量积：,显然，,应与坐标系的选择无关，即有,（c）,矢量的定义：,如果已知,是矢量，,而,是与坐标,有关的三个标量，,它们使得一次形式：,在坐标变换时不变，,则,为矢量。, 判别任意三个标量是否构成矢量的准则。,矢量的变换规律：,分别为,两种坐标系中的分量，,根据题设，它们之间应有,（d）,将式（b）：,（b）,代入式（d）等号的左边，有,比
4、较式（d）等号的右边，有,（e）,（a）,同理，将式（a）：,代入式（d）右端，有,比较式（d）左端：,（d）,得到：,（f）,式（e）与式（f）为矢量的变换规律。,（e）,可见：,于坐标系的选择，且遵循矢量的变换规律，所以 组成一矢量。,不仅依赖,二阶张量的定义：,设,与,为二矢量，,（i、j=1, 2, 3）是与坐,标选择有关的 9个量，若当坐标变换时，双一次形式：,保持不变，则称取决于两个下标 i、j 的9个量 aij 的集合为二阶张量。 aij 中的每一个量被称为此张量（对指定坐标系）的分量。如：,二阶张量的变换规律：,由题设条件，当坐标系变换时，有：,（g）,将变换关系式：,代入上式
5、左边，得：, 应力张量，, 应变张量,将上式中和号交换，有：,比较式（g）的右边，有：,（h）,（g）,同理将变换关系式：,代入上式右边，得：,将上式中和号交换，有：,比较式（g）的左边，有：,（i）,二阶张量的变换规律为：,（h）,（i）, 构成二阶张量的变换对。为判别具有下标的9个量是否张量的依据。,三阶张量或定义为：,是与坐标选择有关的27个量，若当坐标变换时，三一次形式：,（i、j、k=1, 2, 3）,保持不变，则称取决于两个下标 i、j 、k的27个量 aijk 的集合为三阶张量。 aijk 中的每一个量被称为此张量（对指定坐标系）的分量。,三阶张量的变换规律为：,类似地，可定义三
6、阶以上的任意阶张量。,张量概念小结：,（1）张量概念的两个要点：,（a）存在一个与坐标变换无关的不变量 F，如：二阶张量,（b）不同坐标系间变换时，服从同样的变换规律，如：二阶张量,（2）张量的阶数与分量数：,张量的阶数,= 表示张量所用的下标数,张量是一群具有下标量的集合。,二阶张量：,在三维空间中，其分量数：9,在二维空间中，其分量数：4,三阶张量：,在三维空间中，其分量数：27,在二维空间中，其分量数：5,一阶张量：,（即：矢量）,在三维空间中，其分量数：3,在二维空间中，其分量数：2,0阶张量：,（即：标量）,如：温度T、能量U 等,n 阶张量:,在三维空间中，其分量数：,在二维空间中
7、，其分量数：,分量数：1,（3）单位张量：, 三维空间中的单位张量, 二维空间中的单位张量,（4）对称张量与反对称张量：,若一二阶张量：,具有,则称该二阶张量为对称张量。,若一二阶张量：,具有,则称该二阶张量为反对称张量。,若将其排列成矩阵，必有：,如：应力张量 、 等。,（5）任意张量的分解定理：,对任一张量（既非对称，又非反对称）aij ，总可以唯一地分解为一个对称张量 eij 与一个反对称张量 pij 之和。,证明：,设,注意到：,于是有：,（j）,（k）,联立求解式（j）与式（k），有,不难看出，张量 eij 与pij分别符合对称与反对称条件。,2. 张量的运算,（1）张量的和,若两个
8、二阶张量 aij 与bij , 其和张量为cij ，则有,同理，可定义 n 阶张量的和运算。,说明：,（1）张量的和运算必须在两个同阶张量间进行。,（2）张量的和运算为两张量对应分量的和运算。,这一点与矩阵运算相似。,（2）张量的求导运算表示,在弹性力学中，常遇到一些量（如：位移分量 ui 、应力分量 ij 、应变分量 ij 等）对于坐标的偏导数：,偏导数的下标记法如下：,等等。,上述中的每一组量的集合都是张量。如：, 9个量的集合，为二阶张量。,27个量的集合，为三阶张量。,51个量的集合，为四阶张量。,为二阶张量的证明：,因为：,代入前式，有,交换和号,显然，符合二阶张量的变换规律。,因此
9、，,为一二阶张量。,3. 求和约定与弹性力学基本方程的张量表示,（1）求和约定,例子：,两个现象：,（a）求和运算；,（b）求和号内存在重复指标，求和运算仅对重复指标进行。,求和约定：,凡在同一项内，有一个指标出现两次时，则该指标从 13 求和（对二维空间，则从 12 求和）。, Einstein 求和约定,作求和的下标, 称为哑指标；,不作求和的下标, 称为自由指标。,（哑指标在求和后不再出现）,如：,式中：,指点标 j 为哑指标；,指点标 i 为自由指标。,坐标变换式：,两矢量标量积：,二阶张量的变换式：,注意：哑指标的符号可随意变化，而不影响结果，如：,（2）弹性力学平面问题基本方程的张
10、量表示,对于平面问题，取 i, j = 1 , 2。,（a）平衡微分方程,式中：X1 = X，X2 = Y 表示体力分量。,（b）几何方程,（c）物理方程（平面应力问题）,或：,式中：,（d）边界条件,应力边界条件：,位移边界条件：,式中：,Lame系数,3. 置换张量,（1）置换张量的定义：,当 ijk = 1,2,3; 2,3,1; 3,1,2 顺序排列时；,其定义如下：,在 Decartes 坐标中引进记号：eijk ，,当 ijk = 3,2,1; 2,1,3; 1,3,2 逆序排列时；,当 任何两个或三个下标相等时；,如 ijk = 1,1,3; 2,2,1; 2,2,2 顺序排列时
11、；,（a）行列式的计算,eijk 称为置换张量，也称排列张量。,（2）置换张量eijk的应用,可以证明， eijk 符合三阶张量的变换规律。, 变形协调方程,对于平面情形，取 i、j =1、2，m = n = 3，有,其中：,用坐标 x ，y 表示，有,（b）变形协调方程（应变相容方程）, 平面问题的变形协调方程,5-1 平衡微分方程,在点 P 附近取一微元体，如图所示，,P 点的应力为：,体力分量为：,由微元体的平衡条件建立平衡微分方程。,将上式同除以 dxdydz，化简得：,同理，由：,得到 x、y 方向的平衡微分方程。,另外由三个方向轴的力矩平衡：, 剪应力互等定理,可得到：,最后，得到
12、微元体的平衡微分方程为：,空间问题的平衡微分方程为：,（5-1）,用张量表示：,式中：,为体力分量。,5-2 物体内任一点的应力状态,目的：,（1）建立空间的边界面力与内部应力间关系，即边界条件；,（3）分析一点的主应力与主方向；,（2）过一点任意斜截面上的应力；,1. 任意斜截面上的应力,对P点取如图所示的四面体（微元体）平面PBC、PAC、PAB分别与x、y、z 坐标平面平行，斜截面 ABC 的外法线方向为N，其方向余弦分别为：,P点的应力：,斜截面的应力在坐标方向的分量：,设斜截面 ABC 的面积为 S ，四面体的体积为V ，,PBC 的面积为 l S ;,PAC 的面积为 mS ;,P
13、AB 的面积为 nS 。,由微元体的平衡，得,等式两边同除以S ，有,因为,为高阶无穷小，可略去。得,（5-2）, 任意斜截面应力在坐标方向的分量,斜截面的正应力 N ：,（5-3）,用矩阵表示 ：,用张量表示 ：,斜截面上的剪应力N：,因为斜面上全应力SN ：,（5-4）,结论：,则可确定过该点任意斜截面上的正应力N和剪应力N 。,在物体内任一点，如果已知其六个应力分量：,表明：六个应力分量完全确定了一点的应力状态。,2. 空间问题的应力边界条件,代入式（5-2），有：,（5-5）,若斜面 ABC 为物体的边界面，则XN、YN、ZN 成为边界面力分量：,若用张量表示，有：, 一般空间问题的边
14、界条件,5-3 主应力与应力主向,1. 主应力,定义：,当 P 点的某一斜面上的剪应力为零时，则该斜面上正应力称为 P点的一个主应力。,该斜面称为P点的一个应力主面（主平面）。,主平面法线方向称为P点一个应力主向，或称主方向。,由定义，在主应力面上，有,则该面上全应力：,将SN = 向三个坐标轴投影，有,将上式代入式（5-2），有,（a）,同时，有,（b）,将式（a）改写为,将 l、m、n 作为变量，它们不全为零， 有,（c）,考虑到：,将上述行列式展开，有,求解式（5-6）关于 的三次方程，可得三个实根 1、2 、 3 即为P点的三个主应力。,2. 主方向,设主应力 1 所在平面（主平面）法
15、线的方向余弦为： l1、m1、n1 ，将其式（c），有,上述方程中仅两个独立的，将式中前两个方程同除以 l1 ，得,由此可求得：,上述方程中仅两个独立的，将式中前两个方程同除以 l1 ，得,并将其代入式（b）,（b）,可求得：,同理，可求出： l2、m2、n2， l3、m3、n3 。,可以证明，三个主应力方向互相垂直。,将 1、2 、 3方向对应,的 l1、m1、n1 ； l2、m2、n2； l3、m3、n3 代入式（c），有,（d）,（e）,（f）,空间问题的平衡微分方程,用张量表示：,任意斜截面应力在坐标方向的分量,斜截面的正应力 N ：,（5-4）,用矩阵表示 ：,用张量表示 ：,斜截面的剪应力 N ：,空间问题的应力边界条件：,用张量表示，有：,主应力与应力主向,主应力,主方向,同理，可求出： l2、m2、n2， l3、m3、n3 。,可以证明，三个主应力方向互相垂直。,将 1、2 、 3方向对应,的 l1、m1、n1 ； l2、m2、n2； l3、m3、n3 代入式（c），有,（d）,（e）,（f）,（d）,（e）,同理，可得：,将式（d）中三式分别乘以 l2、m2、n2；而式（e）三式分别乘以l1、m1、n1 ，然后将其 6 式 相加，并整理合并得：,（g）,（h）,（i）,（1）当 12
