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1、,空间解析几何,一、向量代数,二、空间解析几何,1、向量的概念,定义:既有大小又有方向的量称为向量.,相等向量:大小相等,方向相同,负向量:大小相同,方向相反,零向量:模为0的向量,方向不固定,向量的模:向量的长度(大小),单位向量:模为1的向量,一、向量代数,（1）向量的分解式：,在三个坐标轴上的分向量：,（2）向量的坐标表示式：,向量的坐标：,2、向量的表示法,3、向量的线性运算,向量模长的坐标表示式,向量方向余弦的坐标表示式,4、数量积,数量积的坐标表达式,两向量夹角余弦的坐标表示式,运算律,(1) 交换律,(2) 结合律,(3) 分配律,5、 向量积,定义：,向量,方向 :,(叉积),
2、记作,且符合右手规则,模 :,向量积 ,性质,为非零向量, 则,运算律,(2) 分配律,(3) 结合律,向量积的坐标表达式,6、混合积,定义,已知三向量,称数量,混合积 .,混合积的坐标表示,设,性质,(1) 三个非零向量,共面的充要条件是,解,解,例3：已知,若,共面，则,等于：,解: 若,共面,则,由此得,故应选（C）,例4、例5见投影,1.空间的平面,设一平面通过已知点,且垂直于非零向,称上式为平面的点法式方程,则该平面的方程为,法向量.,量,二、空间解析几何,（1）平面的方程, 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示,通过原点的平面;, 当 A = 0 时,
3、 B y + C z + D = 0,平面平行于 x 轴;, A x+C z+D = 0 表示, A x+B y+D = 0 表示, C z + D = 0 表示, A x + D =0 表示, B y + D =0 表示,平行于 y 轴的平面;,平行于 z 轴的平面;,平行于 xoy 面 的平面;,平行于 yoz 面 的平面；,平行于 zox 面 的平面.,是平面的一般方程，特殊情形,例4. 求通过 x 轴和点( 4, 3, 1) 的平面方程.,解:,因平面通过 x 轴 ,设所求平面方程为,代入已知点,得,化简,得所求平面方程,例5.设平面,的方程为,以下选项,解:由所给平面,的方程知, 该
4、平面平行于z轴,不可能垂直于z轴，故应选（）,中错误的是:,点到平面的距离公式：,平面,平面,垂直:,平行:,夹角公式:,平面之间的相互关系,2、空间直线,因此其一般式方程,（1）空间直线的方程,直线可视为两平面交线，,(不唯一),说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零.,则直线的对称式方程,也称为点向式方程,直线方程为,已知直线上一点,例如, 当,和它的方向向量,参数式方程,设,得参数式方程 :,例6：已知平面,过点,则与该平面,垂直且过点,的直线的对称方程为:,解: 平面,的法向量,所求直线的方向向量为,故应选(B).,直线,（3）线与线的关系,直线,垂直:,平行:,夹角公式:,平面:
5、,垂直：,平行：,夹角公式：,（4）面与线间的关系,直线:,（1）旋转曲面,定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴.,3、曲面,方程特点:,例7. 求坐标面 xoz 上的双曲线,分别绕 x,轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.,解:绕 x 轴旋转,绕 z 轴旋转,这两种曲面都叫做旋转双曲面.,所成曲面方程为,所成曲面方程为,（2） 柱面,定义：,平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的曲面.,这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.,从柱面方程看柱面的特征：,表示抛物柱面,母线平行于 z 轴;,准线为xoy 面上的抛物线.,z 轴的
6、椭圆柱面.,z 轴的平面.,表示母线平行于,(且 z 轴在平面上),表示母线平行于,例如：,椭球面,(3) 二次曲面,椭圆锥面,抛物面,椭圆抛物面,( p , q 同号),双曲抛物面（鞍形曲面）,特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面.,( p , q 同号),双曲面,单叶双曲面,双叶双曲面,例8.下列方程中代表单叶双曲面的是:,解:,表单叶双曲面,故应选(A).,4.空间曲线,空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组,例如,方程组,表示圆柱面与平面的交线 C.,(1)空间曲线的方程,（2）空间曲线在坐标面上的投影,设空间曲线 C 的一般方程为,消去 z 得投影柱面,则C 在xoy 面上的投影曲线 C为,消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程,消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程,例9.空间曲线,在,平面的投影方程是,解：消去方程组中的变量z得到,这是所给曲线关于,面的投影柱面的方程，曲线在,平面的投影方程应是：,故选D。,
