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1、第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系,1. 平面的基本性质 平面的基本性质是研究空间图形性质的理论基础,即三个公理和公理3的三个推论. 公理1:如果一条直线上的 在一个平面内,那么这条直线上 都在这个平面内. 公理2:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,这些公共点的集合是 .,基础梳理,两点,所有的点,经过这个公共点的一条直线,公理3:经过不在同一条直线上的三点, . 推论1:经过一条直线和这条直线外的一点, . 推论2:经过两条相交直线, . 推论3:经过两条平行直线, .,2. 空间两条直线的位置关系,有且只有一个平面,有且只有一个平面,有且只有一个平面,有且只有一个平面
2、,异面直线,在同一平面内,有且只有一个,3. 平行直线的公理及定理 (1)公理4:平行于同一条直线的两条直线 . (2)定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别 并且方向 ,那么这两个角相等.,4. 异面直线的判定及所成的角 (1)异面直线的判定 过平面内一点与平面外一点的直线, 和这个平面内 的直线是异面直线.,互相平行,平行,相同,不经过该点,(3)异面直线垂直的定义 若两条异面直线a,b所成的角是直角,则称异面直线a,b ,记作 .,(2)异面直线所成的角 如果a,b是两条异面直线,那么经过空间任意一点O,作直线aa,bb,直线a和b所成的 (或直角)叫做异面直线a,b所成的角.,锐角
3、,互相垂直,ab,【例1】下列命题: 空间不同三点确定一个平面; 有三个公共点的两个平面必重合; 空间两两相交的三条直线确定一个平面; 三角形是平面图形; 平行四边形、梯形、四边形都是平面图形; 垂直于同一直线的两直线平行; 一条直线和两平行线中的一条相交,也必和另一条相交; 两组对边相等的四边形是平行四边形. 其中正确的命题是 .,典例分析,题型一 点、线、面的位置关系,分析 根据公理及其推论作判断.,解 由公理3知,不共线的三点才能确定一个平面, 所以知命题、均错,中有可能出现两平面 只有一条公共线(当这三个公共点共线时); 对于,空间两两相交的三条直线有三个交点或 一个交点,若为三个交点
4、,则这三条直线共面,若只有一个交点,则可能确定一个平面或三个平面;正确;中平行四边形和梯形由公理3的推论及公理1可得必为平面图形,而四边形有可能是空间四边形;对于,如图,在正方体ABCDABCD中,直线 BBAB,BBBC,但AB与BC不平行,所以错;ABCD, BBAB=B,但BB与CD不相交,所以错;四边形ADBC中,AD=DB=BC=CA,但它不是平行四边形,所以也错.故只有正确.,学后反思 平面性质的三个公理及其推论,是论证线面关系的依据,在判断过程中要注意反例和图形的应用.,举一反三 1. 给出下列命题: 如果平面与平面相交,那么它们只有有限个公共点; 经过空间任意三点的平面有且只有
5、一个; 如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个平面重合为一个平面; 不平行的两直线必相交. 其中正确命题的序号为 .,解析: 由公理2知,错;由公理3知,错;对;不平行的两直线可能异面.,答案： ,题型二 证明三点共线 【例2】如图， 是正方体 的上底面 的中心，M是对角线 和截面 的交点. 求证： 、M、A三点共线.,分析 要证明 、M、A三点共线，只需证明三点都在平面 和平面 的交线上.,学后反思 证明多点共线的方法：以公理2为依据，先找出两个平面的交线，再证明各个点都是这两个面的公共点，即在交线上，则多点共线.或者，先证明过其中两点的直线是这两个平面的交线，然后证明第三个点也在交线
6、上，同理其他的点都在交线上，即多点共线.,证明 = , 平面 ， 平面 平面 , 平面 平面 =M， 平面 M平面 ,M平面 又A平面 ,A平面 、M、A在两个平面 和平面 的交线上，由公理2可知 、M、A三点共线.,举一反三 2. 已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD(四条线段首尾相接,且连接点不在同一平面内,所组成的空间图形叫空间四边形)各边AB、AD、CB、CD上的点,且直线EF和GH的延长线交于点P(如图). 求证:点B、D、P在同一条直线上.,证明： 由于直线EF和GH交于点P, P直线EF. 又直线EF 平面ABD,P平面ABD. 同理,P平面CBD. P在平面ABD与平面C
7、BD的交线BD上, 即B、D、P三点在同一条直线上.,题型三 证明点线共面,【例3】求证:两两相交且不共点的四条直线在同一平面内.,分析 由题知，四条直线两两相交且不共点，故有两种情况：一种是三条直线交于一点，另一种是任何三条直线都不共点，故分两种情况证明.,证明 (1)如图,设直线a,b,c相交于点O,直线d和a,b,c分别相交于A,B,C三点,直线d和点O确定平面.由O平面,A平面,O直线a,A直线a,知直线a平面;同理b平面,c平面.故直线a,b,c,d共面于.,学后反思 证多线共面的方法： （1）以公理、推论为依据先证两直线共面，然后再由公理1证第三条也在这个平面内.同理其他直线都在这
8、个平面内. （2）先由部分直线确定平面，再由其他直线确定平面,然后证明这些平面重合.,(2)如图,设直线a,b,c,d两两相交,且任何三线不共点,交点分别是M,N,P,Q,R,G.由直线ab=M,知直线a和b确定平面.由ac=N,bc=Q,知点N、Q都在平面内,故c;同理可证d.所以直线a,b,c,d共面于. 由(1)、(2)可知,两两相交且不共点的四条直线必在同一平面内.,举一反三 3. 在正方体 中,E是AB的中点,F是 的中点. 求证:E、F、 、C四点共面.,证明： 如图，连接 ,EF, . E是AB的中点,F是 的中点, EF EF 故E、F、 、C四点共面.,题型四证明三线共点,【
9、例4】(14分)已知空间四边形ABCD中,E、F分别 是AB、AD的中点,G、H分别是BC、CD上的点, 且 . 求证:直线EG、FH、AC相交于同一点P.,分析 先证E、F、G、H四点共面，再证EG、FH交于一点，然后证明这一点在AC上.,证明 E、F分别是AB、AD的中点, EFBD且EF= BD.3 又 ,GHBD且GH= BD, EFGH且EFGH,5 四边形EFHG是梯形,其两腰所在直线必相交,设两腰EG、FH的延长线相交于一点P. 7 EG平面ABC,FH平面ACD, P平面ABC,P平面ACD. .9 又平面ABC平面ACD=AC,PAC. 12 故直线EG、FH、AC相交于同一
10、点P. 14,学后反思 证明三线共点的方法:首先证明其中的两条直线交于一点，然后证明第三条直线是经过这两条直线的两个平面的交线；由公理2可知，两个平面的公共点必在这两个平面的交线上，即三条直线交于一点.,举一反三 4. 已知正方体 中，E、F分别为棱AB、 的中点. 求证：三条直线DA,CE, 交于一点.,证明： 如图，直线DA平面 ， 直线 平面 ， 显然直线DA与直线 不平行， 设直线DA与直线 交于点M.同理，直线DA与直线CE都在平面AC内且不平行，设直线AD与直线CE相交于点M. 又E，F为棱AB， 的中点, 易知MA=AD，MA=AD, 所以M、M为直线AD上的同一点, 因此，三条
11、直线DA，CE， 交于一点.,易错警示,【例】如图,过已知直线a外一点P,与直线a上的四个点A、B、C、D分别画四条直线.求证:这四条直线在同一平面内.,错解 P、A、B三点不共线, P、A、B共面,即PA、PB、AB共面. 同理,PB、PC、BC共面,PC、PD、CD共面. A、B、C、D均在直线a上, PA、PB、PC、PD四条直线在同一平面内.,错解分析 错解在证明了四条直线分别在三个平面(平面PAB、平面PBC、平面PCD)内后,用A、B、C、D均在a上,而认为三个平面重合在同一个平面上,这种方法是错误的.错误在于没有根据地用一条直线来保证三个平面重合.,正解 过直线a及点P作一平面,
12、 A、B、C、D均在a上,A、B、C、D均在内. 直线PA、PB、PC、PD上各有两点在内, 由公理1可知,直线PA、PB、PC、PD均在平面内,即四条直线共面.,考点演练,10. 异面直线a、b所成的角为60，P为空间一点，求过P与a、b均成60角的直线的条数.,解析： 先利用平移把异面直线转化到一个平面上的相交直线，且夹角为60，交点为P，然后利用图形判断把直线进行旋转，可以得到这样的直线仅有3条.,11. 如图，在空间四边形ABCD中，E、G分别是BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有 试判定EF,GH,BD的位置关系，并证明.,解析： EF，GH，BD交于一点.证明如下: ,F
13、HAC，FH= AC. 又G，E分别为AB，BC的中点， GEAC，GE= AC，于是GEFH且GEFH， 四边形EGHF是梯形. GH与EF的延长线必相交于一点P. 则PGH,又GH 平面ABD，P平面ABD. 同理可证P平面BCD， 而平面ABD平面BCD=BD， PBD,直线EF、GH、BD交于一点.,12. 在空间四边形ABCD中，AD=BC= ,E、F分别是AB、CD的中点，EF=1.求异面直线AD和BC所成的角，异面直线EF和BC所成的角.,解析： 如图,取BD的中点M， 连接EM,FM. E是AB的中点， EMAD,EM= AD= . F是CD的中点, MFBC,MF= BC= . 在MEF中， EMMF,MFE=45. 异面直线AD、BC所成的角为90, 异面直线EF、BC所成的角为45.,
