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1、中考数学动点最值问题归纳及解法 最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终， 是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何 问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间 线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）。利用一次 函数和二次函数的性质求最值。 动态几何特点-问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与 特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊 位置。 ） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动
2、中的特殊性：等腰三角形、 直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。 “坐标几何题”（动点问题）分析 动点个数两个一个两个 问题背景特殊菱形两边上移动特 殊 直 角 梯 形 三 边上移动 抛物线中特殊直角梯形底 边上移动 考查难点探究相似三角形探 究 三 角 形 面 积 函数关系式 探究等腰三角形 考 点 菱形性质 特殊角三角函数 求直线、抛物线解析式 相似三角形 不等式 求直线解析式 四 边 形 面 积 的 表示 动 三 角 形 面 积 函数矩形性质 求抛物线顶点坐标 探究平行四边形 探究动三角形面积是定 值 探究等腰三角形存在性 特 点 菱形是含60
3、的特殊菱形； AOB是底角为 30的等腰三 角形。 一个动点速度是参数字母。 探究相似三角形时，按对应 角不同分类讨论；先画图，再 探究。 通过相似三角形过度，转化 相似比得出方程。 利用 a、t 范围，运用不等式 求出 a、t 的值。 观 察 图 形 构 造 特 征 适 当 割 补 表 示面积 动 点 按 到 拐 点 时间分段分类 画 出 矩 形 必 备 条 件 的 图 形 探 究 其存在性 直角梯形是特殊的（一 底角是 45） 点动带动线动 线动中的特殊性（两个 交点 D、E是定点； 动线段 PF长度是定值，PF=OA ） 通过相似三角形过度， 转化相似比得出方程。 探究等腰三角形时，先
4、画图，再探究（按边相等 分类讨论） 近几年共同点： 探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。 小类知识归纳： 一、问题原型： 如图 1-1，要在燃气管道上修建一个泵站，分别向、两镇供气，泵站修在管道的什 么地方，可使所用的输气管线最短？ 这个“确定最短路线”问题，是一个利用轴对称解决极值的经典问题。解这类问题 二、基本解法： 对称共线法。利用轴对称变换，将线路中各线段映射到同一直线上（线路长度不变）， 确定动点位置，计算线路最短长度。 三、一般结论： (在线段上时取等号 )（如图 1-2 ） 线段和最小，常见有三种类型： （一）“ |定动 |+|定动 |”型：两定点到一动点的距离
5、和最小 通过轴对称， 将动点所在直线同侧的两个定点中的其中一个，映射到直线的另一侧，当 动点在这个定点的对称点及另一定点的线段上时，由“两点之间线段最短”可知线段和的最 小值，最小值为定点线段的长。 1.两个定点 +一个动点。 如图 1-3， 作一定点关于动点所在直线的对称点，线段（是另一定点） 与的交点即为距离和最小时动点位置，最小距离和。 特殊四边形为背景； 点动带线动得出动三角形； 探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式）； 求直线、抛物线解析式； 例 1 （ 2006 年河南省中考题）如图 2，正方形的边长为，是的中点， 是对角线上一动点，则的最小值是。 解析：与关于直线对
6、称，连结，则。 连结,在中，则 故的最小值为 例 2（2009 年济南市中考题）如图3，已知：抛物线的对 称轴为，与轴交于、两点，与轴交于点，其中，。 （1）求这条抛物线的函数表达式； （2）已知在对称轴上存在一点，使得的周长最小，请求出点的坐标。 解析：（ 1）对称轴为，由对称性可知：。根据、 三点坐标，利用待定系数法，可求得抛物线为： （2）与关于对称轴对称，连结，与对称轴交点即为所求点。 设直线解析式为：。把、代入得，。 当时，则 2.两个定点 +两个动点。 两动点，其中一个随另一个动（一个主动，一个从动），并且两动点间的距离保持不 变。用平移方法，可把两动点变成一个动点，转化为“两个定
7、点和一个动点”类型来解。 例 3如图 4， 河岸两侧有、两个村庄， 为了村民出行方便，计划在河上修一座桥， 桥修在何处才能两村村民来往路程最短？ 解析：设桥端两动点为、，那么点随点而动，等于河宽，且垂 直于河岸。 将向上平移河宽长到，线段与河北岸线的交点即为桥端点位置。四边形 为平行四边形，此时值最小。那么 来往、两村最短路程为：。 例 4(2010 年天津市中考)在平面角坐标系中，矩形的顶点在坐标原点，顶 点、分别在轴、轴的正半轴上，为边的中点。 （1）若为边上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标； （2）若，为边上的两个动点，且，当四边形的周长最小时， 求点，的坐标。 解析：作点关于轴的
8、对称点，则，。 （1） 连接交轴于点， 连接， 此时的周长最小。 由 可知，那么，则。 （2）将向左平移2 个单位（）到点，定点、分别到动点、的距 离和等于为定点、到动点的距离和，即。从而把“两个定 点和两个动点”类问题转化成“两个定点和一个动点”类型。 在上截取， 连接交轴于， 四边形为平行四边形， 。此时值最小，则四边形的周长最小。 由、可求直线解析式为， 当时， 即， 则。（也可以用（1）中相似的方法求坐标） （二）“ |动定 |+|动动 |”型： 两动点分别在两条直线上独立运动，一动点分别到一定点和另一动点的距离和最小。 利用轴对称变换， 使一动点在另一动点的对称点与定点的线段上（两点
9、之间线段最短） ， 且这条线段垂直于另一动点的对称点所在直线（连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， 垂线段最短）时，两线段和最小，最小值等于这条垂线段的长。 例 5（2009 年陕西省中考）如图 6，在锐角中， 的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最 小值为4 。 解析：角平分线所在直线是角的对称轴，上动点关于的对称点在上， ，当时，最小。 作于，交于， ， 作交于， 3.“ |定动 |+|动动 |+|动定 |”型：两定点到两动点的距离、以及两动之间距离和最小。 例 6（2009 年漳州中考 ）如图 8，是内一点， 、分别是和上的动点，求周长的最小值。 解析：分别作关于、的对称点、，
10、连接， 则， 当、在线段上时，周长最小， ， 。则周长的最小值为 例 7（2009 年恩施中考 ）恩施到张家界高速公路与沪渝高速公路垂直，如图9 建立直角坐标系。著名的恩施大峡谷（）和世界级自然保护区星斗山（）位于两高速 公路同侧，到直线的距离为，到直线和的距离分别为 和。请你在旁和旁各修建一服务区、，使、组成的四 边形的周长最小，并求出这个最小值。 解析：作点关于轴的对称点，点关于轴的对称点，连接， 。 当、在线 段上 时， 最小。 过、分别作轴、轴的平行线交于。 在中， 交轴于，交轴于。 ，而 四边形的周长最小值为： 大类考题总结： 一、 “最值”问题大都归于两类基本模型： 、归于函数模型
11、： 即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内 函数的最大或最小值 、归于几何模型，这类模型又分为两种情况： （1）归于“两点之间的连线中，线段最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最小值” 时，大都应用这一模型。 （2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求 “变动的两线段之差的最大值”时， 大都应用这一模型。 二、利用函数模型求最值 例 1 、如图（ 1） ，平行四边形ABCD中，120, 3,4BADBCAB，E 为 BC 上一 动点（不与B 重合） ，作ABEF于F，设,xBEDEF的面积为.S当E运动到何处 A D 时，S有最大值，最大值为多少？ （1 【观察与思
12、考】容易知道S是x的函数，为利用函数的性质求S的最大值， 就应先把S关于 x的函数关系式求出来，而这又需要借助几何计算。 （1） 解：如图（ 1） ，延长FE交DC的延长线于,G易知DGFG。 DGEFS 2 1 ，而xBBEEF 2 3 sin， 又，在CEGRt中， 2 3 60cos)3(,3 x xCGxCE。 2 11 2 3 4 xx CGDCDG。 , 8 311 8 3 2 1 2 xxDGEFS中30x。 ,0 8 3 对称轴, 2 11 x当30x，S随x的增大而增大。 当 3x ，即 E与 C重合时， S有最大值，33 最大 S。 【说明】 可以看出，函数是解决“数量”最
13、值问题的最基本的方法。 三、利用几何模型求最值 （1）归入“两点之间的连线中，线段最短” 例 1、几何模型： 条件：如下左图，A、B是直线 l同旁的两个定点 问题：在直线l上确定一点P，使PAPB的值最小 方法：作点A关于直线l的对称点A，连结A B交l于点P，则PAPBA B的值最 小（不必证明） 模型应用： （1）如图 1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点 连结BD， 由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称连结ED交AC于P，则PBPE的最 小值是 _； （2）如图 2，O的半径为2，点ABC、 、在O上，OAOB，60AOC，P是 OB上一动点，求PAPC的
14、最小值； （3）如图 3，45AOB，P是AOB内一点，10PO，QR、分别是OAOB、上 的动点，求PQR周长的最小值 A B C D E F G A B A P l O A B P R Q 图 3 O A B C 图 2 A B E C P D 图 1 （第 1 题） P 例 2 如图（1）所示，在一笔直的公路MN的同一旁有两个新开发区BA,， 已知AB10千 米， 直线AB与公路MN的夹角,30AON新开发区 B到公路MN的距离3BC千米。 （1）求新开发区A 到公路MN的距离； （2） 现从MN上某点P处向新开发区BA,修两条公路PBPA,， 使点P到新开发区BA,的 距离 之和最短，
15、请用尺规作图在图中找出点P的位置（不用证明，不写作法，保留作图痕迹）， 并求出此时PBPA的值。 【观察与思考】对于（ 1） ，直接归于几何计算。 对于（ 2） ，首先利用“轴对称”的性质， 把原题中的求“PBPA” 最短，转化成求“PBPA”最短（其中A是 A 关于MN 的对点。 解： （1）先作AD垂直于MN于点D如图（ 1） 在OBCRt中，62BCOB（千米） 在AODRt中，16BOABAO（千米）30AOD 8 2 1 AOAD（千米） （2）作点 A 关于MN的对称点A，连结BA交MN于点P。 （1） 结果如图（ 1） ，点P即为所求。 如图（ 1） ，作/ BACA交AA的延长
16、线于点 A。 在DCARt 中，11 BCADDA（千米）， 353338OCODCD（千米）。 1475121 22 CDDACABA（千米）。 此时PBPA14BA（千米） 注意：至于求线段的长，仍是以归入“解直角三角形”为第一选择。不管在什么背景 下，有关线段之和最短问题，总是化归到“两点之间的所有连线中，线段最短”，而转化的 方法大都是借助于“轴对称点” A B C N O M A B C N O M 30 D A B C N O M 30 D P A A 例 3 如图（ 1） ，抛物线3 5 18 5 32 xxy和y轴的交点为MA,为OA的中点，若有一 动点P，自M点处出发，沿直线运动到 x轴上的某点（设为点 E） ，再沿直线运动到该抛 物线对称轴上的某点（设为点F） ，最后又沿直线运动到点A，求使点P运动的总路程最短
