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1、湘教版SHUXUE八年级上,命题与证明(三),执教：潘市镇第一中学 尹玲,b,a,b,判断一个命题是不是真命题需要讲道理，讲道理的过程叫证明。,如何证明？,从一个命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出它的结论成立，从而判断该命题为真，这个推理的过程叫作证明。,怎样判断一个命题是不是真命题？,如图，线段a、b一样长吗？,图中两个正方形哪个大？,观察、操作、实验是人们认识事物的重要手段，而且人们可以从中猜测发现出一些结论.,直观是重要的,但它有时也会骗人.,通过观察,先猜想结论,再动手验证:,1.如图,一组直线a,b,c,d是否都互相平行?,a b c d,a b c d,2.当n=0,1,2,
2、3,4时,代数式n2-3n+7的值分别是 7,5,5,7,11,它们都是素数,那么,命题“对于自然数n, 代数式n2-3n+7的值都是素数”是真命题吗?,采用剪拼或度量的方法， 猜测“三角形的外角和” 等于多少度.,从剪拼或度量可以猜测三角形的三个外角之和等于360 ，但是剪拼时难以真正拼成一个周角， 只是接近周角；分别度量这三个角后再相加，结果可能接近360，但不能很准确地都得360,另外，由于不同形状的三角形有无数个，我们也不可能用剪拼或度量的方法来一一验证，因此，我们只能猜测任何一个三角形的外角和都为360此时猜测出的命题仅仅是一种猜想， 未必都是真命题要确定这个命题是真命题，还需要通过
3、推理的方法加以证明.,证明命题“三角形的外角和为360”是真命题.,已知： 如图BAF， CBD和ACE分别是ABC的三个外角. 求证BAF +CBD +ACE = 360,证明:,BAF=2+3，,BAF+CBD+ACE=2(1+2+3),CBD=1+3，,ACE=1+2（三角形外角定理），,1+2+3=180(三角形内角和定理)，,BAF+CBD+ACE=2180=360.,经过刚才三站的“证明”之旅，你能说出完整的几何命题证明需要哪几个步骤吗？,（1）根据题意，画出图形。,（2）结合图形，写出已知求证,（3）写出证明过程，并且步步有依据。,依据,(定义)(定理)(推论)(基本事实),（真
4、命题）,条件,结论,数学上证明一个命题时，通常从命题的条件出发， 运用定义、基本事实以及已经证明了的定理和推论，通 过一步步的推理，最后证实这个命题的结论成立.,证明的每一步都必须要有根据.,推理,例1 已知：如图，在ABC中，B=C，点D在线段BA的延长线上，射线AE平分DAC.,求证：AEBC.,举 例,证明：DAC =B +C（三角形外角定理），,B=C（已知），, DAC=2B（等式的性质）.,又AE平分DAC（已知），,DAC=2DAE（角平分线的定义）,DAE=B（等量代换）.,AEBC（同位角相等，两直线平行）,例2 已知：A，B，C是ABC的内角.,求证：A，B，C中至少有一个
5、角大于或等于60.,证明 假设A，B，C 中没有一个角大于或等于60,即A60，B60，C60，,则A+B+C180.,这与“三角形的内角和等于180”矛盾，,所以假设不正确.,因此，A， B， C中至少有一个角大于或等于60.,像这样，当直接证明一个命题为真有困难时，我们可以先假设命题不成立，然后利用命题的条件或有关的结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证明的命题正确，这种证明方法称为反证法.,反证法是一种间接证明的方法，其基本的思路可归结为“否定结论，导出矛盾，肯定结论”.,反证法的步骤： 假设结论的反面成立逻辑推理得出矛盾肯定原结论正确,(1).证明命题：一个角的两边分别平行
6、于另一个角的两边，且方向相同，则这两个角相等。,已知：如图，ABAB,BCBC.,求证：B= B,证明： ABAB （ ）, B = （ ）, BCBC （ ）, B = （ ）, B = B ( ),已 知,两直线平行，同位角相等,已 知,两直线平行，同位角相等,等量代换,1. 在括号内填上理由.,(2).已知：如图，A+B= 180. 求证：C+D= 180. 证明：A+B= 180（已知）， ADBC（ ）. C+D= 180（ ）.,同旁内角互补，两直线平行,两直线平行，同旁内角互补,2. 已知：如图，直线AB，CD被直线MN所截，1=2. 求证：2=3，3+4=180.,证明： 1=
7、2，, 2 =3（两直线平行,内错角相等）,3+4=180（两直线平行, 同旁内角互补）., ABCD（同位角相等，两直线平行）,3. 已知：如图，AB与CD 相交于点E. 求证：A+C=B+D.,证明： AB与CD 相交于点E ，, AEC=BED （对顶角相等），,又 A+C +AEC =B+D +BED =180 （三角形内角和等于180），,A+C=B+D.,4.已知：如图有a、b、c三条直线，且a/c,b/c. 求证：a/b,证明：假设a与b不平行， 则可设它们相交于点A。,那么过点A 就有两条直线a、b分别与直线c平行， 这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直 线平行”矛盾,故
8、假设不成立。 a/b.,已知：如图，AB、CD被直线EF所截，且ABCD，EG、FH分别是AEF和 EFD的平分线； 求证：EGFH,1)两条平行线的一对内错角的平分线互相平行.,2)垂直于同一直线的两直线平行；,3)内错角相等，两直线平行；,巩固练习,2、3题请画出图形，写出已知、求证。,1、证明下述命题。,2、如图，ABCD，MG、NH分别平分BMF和CNE，求证：MGNH,3、如图，已知ABCD，C=D，求证AMB=ENF,1.如图1=2，那么3+4= 。,2、如图ABCD，1=115，A=75，则E= 。,180,40,3、如图ABCD，ADAC，ADC=32， 则CAB= .,4、如图AEBD，1=130，2=30，则C= .,5、已知ACED，C=26，CBD=37，则BDE= .,6、如图ADBC，EAD=50，ACB=40，则BAC= .,122,20,63,90,证明与图形有关的命题时，一般有以下步骤：,第一步,第二步,第三步,画出图形,写出已知、求证,写出证明的过程,思考:B=D成立，图中会有哪些 使得B=D成立的条件.,作业：P59 A 6、7 B 8、9,
