行列式因子一

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1、一、行列式因子一、行列式因子一、行列式因子一、行列式因子 二、二、二、不变因子二、不变因子不变因子不变因子 8.3 8.3 不变因子不变因子不变因子不变因子 1. 定义定义 一、一、一、行列式因子一、行列式因子行列式因子行列式因子 注：注： 阶阶行列式因子行列式因子. k 的首项系数为的首项系数为1的最大公因式的最大公因式称为称为的的 ( ), k D ( )A 中必有非零的级子式，中必有非零的级子式，中全部级子式中全部级子式 ( )A kk( )A 设矩阵设矩阵的秩为，对于正整数，的秩为，对于正整数， rk1,kr( )A 若 秩若 秩，则，则有个行列式因子有个行列式因子.() ( )Ar=

2、r( )A （即初等变换不改变矩阵的秩与行列式因子）（即初等变换不改变矩阵的秩与行列式因子） 证：只需证，矩阵经过一次初等变换，秩与行证：只需证，矩阵经过一次初等变换，秩与行 列式因子是不变的列式因子是不变的 2. 有关结论有关结论 设设经过一次初等变换变成经过一次初等变换变成，与与 ( )B ( )A ( )f 分别是分别是与与的的k级行列式因子级行列式因子 ( )A ( )g ( )B 下证下证，分三种情形：，分三种情形： fg= 各级行列式因子各级行列式因子. 1) （定理（定理3）等价的等价的矩阵具有相同的秩与相同的矩阵具有相同的秩与相同的 级子式反号级子式反号. k 公因式，公因式，

3、 此时此时的每个级子式或的每个级子式或 k( )B 者等于者等于的某个级子式，的某个级子式， k( )A 或者与或者与的某个的某个 ( )A 因此，因此，是是的级子式的的级子式的k( )B ( )f , ( )( ). i j AB ( )( ).fg从而从而 ( ) ( )( ). i c AB 级子式的级子式的c倍倍. k 者等于者等于的某个级子式，或者等于的某个级子式，或者等于的某个的某个 ( )A k( )A 此时此时的每个级子式或的每个级子式或 k( )B 因此，因此，是是的级子式的的级子式的 ( )f k( )B 公因式，公因式，( )( ).fg从而从而 此时此时中包含中包含两行

4、两行 ( )B , i j 级子式相等；级子式相等； ( ) ( ) ( ). ij AB + 的和不包含行的那些级子式与的和不包含行的那些级子式与中对应的中对应的 kjk( )A 中包含行但不包含行的级中包含行但不包含行的级 kj i ( )B 子式，按行分成子式，按行分成的一个级子式与的一个级子式与另另一个一个 ( )A ikk 级子式的级子式的倍的和，倍的和， ( ) 即为即为的两个级子式的两个级子式 ( )A k 从而从而( )( ).fg 的的组合组合， 因此， 因此是是的级子式的公因式，的级子式的公因式， k( )f ( )B 同理同理可得可得， ( )( ).gf ( )( ).

5、fg= 2）若矩阵若矩阵的的标准标准形为形为 ( )A 1( ) ( ) ( ) 0 0 r d d D = O O 其其中中为首为首1多多项式，项式，且且 1( ), ,( ) r ddL 1 ( )( ),1,2,1, ii ddir + =L 则则的级行列式因子为的级行列式因子为 ( )A k 12 ( )( )( )( ),1,2,. kk Ddddkr=LL 证：证：与与等价，等价，( )A Q ( )D 完完全相同，则全相同，则这这个级子式为零个级子式为零. k 在在中，若一个级子式包含的行中，若一个级子式包含的行、列列指标指标不不 k( )D ( )( )AD与与有相的秩与行列式

6、因子有相的秩与行列式因子. 12 (1, ,), k i iirL级子式级子式 所以所以只需只需考虑由考虑由行与行与列列组组成的成的 12 , , k i iiL 12 , , k i iiLk 1 ( )( ). k ii ddL即即 而而这这种级子式的最大公因式为种级子式的最大公因式为k 12 ( )( )( ). k dddL 所以所以，的级行列式因子的级行列式因子 ( )A k 12 ( )( )( )( ),1,2,. kk Ddddkr=LL 证：设矩阵证：设矩阵的的标准标准形为形为 ( )A 3）（定理（定理4）矩阵的矩阵的标准标准形是形是唯唯一的一的. 1( ) ( ) ( )

7、 0 0 r d d D = O O 其其中中为首为首1多多项式，项式，且且 1( ), ( ) r ddL 1 ( )( ),1,2,1, ii ddir + =L 于是于是 2 112 11 ( )( ) ( )( ),( ),( ) ( )( ) r r r DD dDdd DD =L 即即由由的行列式因子的行列式因子所唯所唯一一确确定定. 1( ), ,( ) r ddL( )A 由由2），），的级行列式因子为的级行列式因子为 k( )A 12 ( )( )( )( ),1,2,. kk Ddddkr=LL 4）秩为的矩阵的个行列式因子秩为的矩阵的个行列式因子满足满足： rr 1 (

8、)( ),1,2,1. kk DDkr + =L 所以所以的的标准标准形形唯唯一一. ( )A 1. 定义定义 二、二、二、不变因子二、不变因子不变因子不变因子 矩阵矩阵的的标准标准形形 ( )A 称为称为的的不变因子不变因子. ( )A 12 ( ),( ),( ) r dddL的的主主对对角线上角线上的非零的非零元素元素 1( ) ( ) ( ) 0 0 r d d D = O O 有相同的有相同的标准标准形，形， 1)（定理（定理5）矩阵矩阵、等价等价 ( )( )AB ( )( )AB 、有相同的不变因子有相同的不变因子. 证：必证：必要性显然要性显然. 只证只证充充分分性性. 2.

9、有关结论有关结论 所以所以与与等价等价. ( )( )AB 若若与与有相同的行列式因子，则有相同的行列式因子，则 ( )( )AB 与与也也有相同的不变因子，有相同的不变因子， ( )( )AB ( )( )AB 、有相同的行列式因子有相同的行列式因子. ( )( )AB 从而从而与与 则则，为一非零，为一非零常常数数. ( )Ad=d 的的第第n个行列式因子个行列式因子( )A ( )1. n D = 1 ( )( ),1,2,1. kk DDkn + =L 证；若证；若可逆可逆，( )A 因子全部为因子全部为1，的的标准标准形为形为单位单位矩阵，即矩阵，即 E( )A 与等价与等价.E(

10、)A 2）若若的矩阵的矩阵可逆可逆，则，则的不变的不变 nn( )A ( )A 又又的的n个行列式因子个行列式因子满足满足:( )A ( )1,1,2, . k Dkn=L 从而不变因子从而不变因子 1 ( ) ( )1,1,2, ( ) k k k D dkn D =L 所以所以，的的标准标准形为形为 ( )A .E 矩阵的矩阵的乘积乘积. 注注：可逆可逆与等价与等价. ( )A E ( )A 3)（定理（定理6）可逆可逆可表可表成一些初等成一些初等 ( )A ( )A 证：证：可逆可逆与等价与等价 ( )AE( )A 存在存在初等矩阵初等矩阵 11 , st PP QQLL使使 11 (

11、) st APP EQQ =LL 11 . st PPQQ=LL 存在存在一个一个可逆可逆矩阵矩阵与一个与一个可逆可逆 ( )P ssnn ( )( ) ( ) ( ).BPAQ= 推论推论两个两个的矩阵的矩阵、等价等价sn( )( )AB 矩阵矩阵，使使 ( )Q 例例、求、求矩阵的不变因子矩阵的不变因子 )( ) () 2 2 00 100 001 A + = + )( ) 2100 0210 2 0021 0002 A = () 2 2 ,1.+ ( ) 1 1D= ( )A 的非零的非零二二级子式为级子式为: () 2 20 1 , 0 + =+ () () 2 3 2 0 1. 01

12、 + =+ + 解解：1）的非零的非零1级子式为级子式为: ( )A () 2 0 , 01 = + () 2 2 00 ( )00 001 A + = + ( )() 2 1 .D =+ 又又( )( )() 3 2 3 1.DA=+ 所以所以，的不变因子为的不变因子为 ：( ) A ( )( )( ) ( ) ( ) () 2 112 1 1,1 , D dDd D =+ ( ) ( ) ( ) () 2 3 3 2 1. D d D =+ () 2 2 00 ( )00 001 A + = + 2） 100 2101, 021 = Q 又又( )( )( )( ) 1223 ,DDDD

13、( )( ) 12 1.DD= 而而( )( )() 4 4 2.DA= 的不变因子为的不变因子为 ( )A ( )( )( )( )() 4 1234 1,2.dddd= ( ) 3 1.D= ( ) 2100 0210 0021 0002 A = 练习练习：求求的不变因子的不变因子 ( )A ( ) 1 2 1 000 100 000 0001 n n a a A a a = + L L L L L L LL L L 答案答案: ( )( ) 11 1, n dd + =L ( )( ) 1 11 . nn nnn dAaaa =+L 作业作业求求矩阵的不变因子矩阵的不变因子 ( ) 3100 4100 6121 1451 A + =