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1、随机变量的数字特征,第三章,数学期望,方 差,协方差与相关系数,通常把刻划随机变量的某些特征的确定的数值称为,反映随机变量取值的分散程度方差;,反映两个随机变量的线性关联程度相关系数.,反映随机变量取值的集中位置数学期望;,引 言,数字特征.,第三章,数学期望,第一节,一、随机变量的数学期望,二、随机变量函数的期望,三、数学期望的性质,一、随机变量的数学期望(均值),引例.,两射手的射击技术如下,问哪个射手技术较高?,甲:,乙:,若让他们各射击N次,则打中的总环数分别为,解:,甲:,乙:,平均起来,甲每次射中9.3环,乙每次射中9.2环,故甲的射击水平略胜于乙.,定义1:,则称该级数和为X的数
2、学期望,设离散型随机变量X的分布列为,1.离散型随机变量的数学期望,记为,2.连续型随机变量的数学期望,定义2:,设连续型随机变量X的概率密度函数为,若,则称积分值为X的数学期望,记为,看成取值,对应概率,改变各项的顺序后级数的和不变,例1.,设用一均匀的骰子赌博.,在一次游戏中,若出现2点,则该人可赢20元,出现4点赢40元,出现6点则输30元,若,出现其它点不输不赢,求玩游戏的人赢得钱数的期望.,解:,令X表示在一次抛掷中赢得的钱数,则X的分布列为,因此若游戏是公正的,则玩者为参加游戏应付5元底金.,例2.,设随机变量X的概率密度函数为,求X的数学期望,解:,由定义可知,二、随机变量函数的
3、数学期望,定理:,若,则,若,则,设X的分布列为,例3.,求,解:,例4.,对圆的半径作近似测量,假设其值X均匀的分布在,a,b内,即,求圆的面积的数学期望.,解:,设Y表示圆的面积,则,若,注:,定理的意义在于不用求Y的分布,只需用X的分布,就可算出E(Y);,定理可推广到二维随机变量函数的情形:,若,则,则,(2),(1),设(X,Y),求,例5.,解:,求,例6.,设,解:,若,则,三、数学期望的性质,1.,特别,2.,线性性质:,3.,若X与Y相互独立,则,注:,性质2,3可推广到n个随机变量的情形.,(自证),第三章,方 差,第二节,一、方差的概念,二、方差的计算,三、方差的性质,一
4、、方差的概念,方差反映的是X的取值与其均值的偏离程度.,定义:,设X是一随机变量,其为X的方差,则称,记为,1.,证:,二、方差的计算,(1),设,则,(2),设,则,方差是随机变量函数,2.,的期望,例1.,设X的分布列为,求X的方差D(X).,解:,由方差的计算公式可得,例2.,两厂家生产的手表日走时误差X,Y服从下列分布:,由于,可见,平均下来两个厂家生产的手表日走时误差均为0,而,因此,第一个厂家生产的手表精度更高一些.,1.,2.,三、方差的性质,事实上,则,推论:,则,3.,若X,Y相互独立,由于X,Y相互独立,证:,所以,则有,例3.,设X的期望,方差,化随机变量,求标准,期望与
5、方差.,解:,第三章,协方差与相关系数,第三节,一、相关系数的定义与计算,二、协方差与相关系数的性质,称,为X与,一、相关系数的定义与计算,1.定义:,Y的协方差,而称标准化随机变量的协方差,为X与Y的相关系数.,注:,称X与Y不相关.,是随机变量间线性关系的量度;,其大小受到X和Y 取值的影响！,(自证),2.计算:,证:,设,例1.,求,解:,二、协方差与相关系数的性质,定理:,下列命题等价:,对于随机变量X与Y,X与Y独立,注:,但不排除有其它的关系;,所有数字特征的计算都归结为期望的计算.,独立性表示不存在任何直接关系,不存在线性关系,而不相关表示,内容小结,1.数学期望的概念（离散型、连续型）；,2.数学期望的性质与计算；,3.随机变量函数的数学期望；,4.方差的概念与性质；,5.方差的计算；,6.协方差、相关系数的概念与性质；,7.协方差、相关系数的计算；,8.数字特征之间的关系.,
