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1、2.5 随机变量的均值和方差2.5.1 离散型随机变量的均值五分钟训练（预习类训练，可用于课前）1.设E=10,E=3,则E(3+5)为( )A.45 B.40 C.30 D.15答案:A解析：E(3+5)=3E+5E=310+53=45.2.一名射手每次射击中靶的概率均为0.8,则他独立射击三次中靶次数X的均值为( )A.0.8 B.0.83 C.3 D.2.4答案:D解析：射手独立射击三次中靶次数X服从二项分布,即XB(3,0.8),EX=30.8=2.4.3.袋中有7个球,其中有4个红球,3个黑球,从袋中任取3个球,以表示取出的红球数,则E等于( )A. B. C. D.答案：B解析:随
2、机变量的取值分别为0,1,2,3,且P(=0)=，P（=1）=,P(=2)=,P(=3)=,E=0+1+2+3=.4.Eb=_，其中b为常数.答案:B十分钟训练（强化类训练，可用于课中）1.已知随机变量X的分布列是:X4a910P0.30.1b0.2Ex=7.5,则a等于( )A.5 B.6 C.7 D.8答案:C解析：由题意知40.3+0.1a+9b+2=7.5且0.6+b=1,所以a=7,b=0.4.2.若离散型随机变量的分布列为x1x2x3xixnPp1p2p3pipn其中p1+p2+p3+pn=1,则称E=x1p1+x2p2+xipi+xnpn为随机变量的_或_,它反映了_.答案:均值
3、 数学期望 离散型随机变量取值的平均水平 阅读下列材料，解答3、4两个小题. 一次单元测验由20个选择题构成,每个选择题有4个选项,其中仅有一个选项正确.每题选对得5分,不选或选错不得分,满分100分,学生甲选对任意一题的概率为0.9,学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个.3.学生甲在这次测验中的均值为_.答案:904.学生乙在这次测验中的均值为_.答案:25解析:设学生甲和学生乙在这次单元测验中选对的题数分别是X1和X2,则X1B(20,0.9),X2B(20,0.25),所以EX1=200.9=18;EX2=200.25=5.由于每题选对得5分,所以学生甲和学生乙在这次测验中的
4、成绩分别是5X1和5X2,这样,他们在测验中的成绩的期望分别是:E(5X1)=5EX1=518=90.E(5X2)=5EX2=55=25.5.证明E(aX+b)=aEX+b证明：若Y=aX+b,其中a,b为常数,则Y也是随机变量.因为P(Y=axi+b)=P(X=xi),i=1,2,n,所以,Y的分布列为Yax1+bax2+baxi+baxn+bPp1p2pipn于是EY=(ax1+b)p1+(ax2+b)p2+(axi+b)pi+(axn+b)pn=a(x1p1+x2p2+xipi+xnpn)+b(p1+p2+pi+pn)=aEX+b,即E(aX+b)=aEX+b.30分钟训练（巩固类训练，
5、可用于课后） 阅读下列材料，解答1、2两个小题. 一次数学单元考试由30个选择题构成,每个选择题有4个选项,其中有且只有1个选项是正确答案,每题选择正确得5分,不选或选错得0分,满分为150分,学生甲选对任一题的概率为0.9,学生乙选对任1题的概率为0.85.1.学生甲在这次考试中的成绩的期望为（ ）A.135 B.127.5 C.150 D.90答案:A2.学生乙在这次考试中的成绩的期望为（ ）A.135 B.127.5 C.150 D.90答案:B解析：设学生甲在此考试中答对题的个数为,学生乙在此考试中答对的题目的个数为,则根据条件,知服从二项分布,且B(30,0.9),也服从二项分布,且
6、B(30,0.85),从而有E=300.9=27,E=300.85=25.5.因而学生甲在这次考试中的成绩的期望为E(5)=5E=527=135(分).学生乙在这次考试中的成绩的期望为E(5)=5E=525.5=127.5(分).3.根据气象预报,某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0.01,该地区某工地上有一台大型设备,遇到大洪水时要损失60 000元,遇到小洪水时要损失10 000元.为保护设备,有以下3种方案: 方案1:运走设备,搬运费为3 800元; 方案2:建保护围墙,建设费为2 000元,但围墙只能防小洪水; 方案3:不采取措施,希望不发生洪水.各方案中最好的为（
7、）A.方案1 B.方案2 C.方案3 D.一样好答案:B解析：用X1,X2,X3分别表示三种方案的损失,采用方案1,无论有无洪水,都损失3 800元,即X1=3 800元.采用方案2:遇到大洪水时,损失2 000+60 000=62 000元;没有大洪水时,损失2 000元,即同样,采用方案3,有于是,EX1=3 800.EX2=62 000P(X2=62 000)+2 000P(X2=2 000)=62 0000.01+2 000(1-0.01)=2 600.EX3=60 000P(X3=60 000)+10 000P(X3=10 000)+0P(X3=0)=60 0000.01+10 00
8、00.25=3 100. 采用方案2的平均损失最小,所以可以选择方案2.4.甲从学校乘车回家，途中有3个交通岗，假设在各交通岗遇红灯的事件是相互独立的，并且概率都是，则甲回家途中遇红灯次数的期望为.答案:1.2解析：设甲在途中遇红灯次数为X，则XB(3，)，所以EX=3=1.2.5.若X服从两点分布,则EX=_-.若XB(n,p),则EX=_.若XH(n,M,N),则EX=_.答案:p,np,6.由以往的统计资料表明:甲,乙两名运动员在比赛中得分情况为:1(甲得分)012P(1=xi)0.20.50.32(乙得分)012P(2=xi)0.30.20.5现有一场比赛,派哪位运动员参加较好?解:由
9、题意E1=00.2+10.5+20.3=1.1,E2=00.3+10.2+20.5=1.2.E1100），问a如何确定,可使保险公司期望获利?解:设表示保险公司在参加保险人身上的利益,则的取值为=100和=100-a,则P(=100)=0.99,P(=100-a)=0.01.E=0.99100+0.01(100-a)=100-0.01a0,即a100,所以100a10 000,即当a在100和10 000之间取值时,保险公司可望获利.9.某商场举行抽奖促销活动,抽奖规则是:从装有9个白球,1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球,记下颜色后放回,摸出一个红球可获得奖金10元;摸出两个红球可获得奖金50元.现有甲、乙两名顾客,规定:甲摸一次,乙摸两次.令表示甲、乙两人摸球后获得的奖金总额.求:(1)的分布列;(2)的数学期望.解:(1)的所有可能的取值为0,10,20,50,60.P(=0)=()3=,P(=10)=()2+=,P(=20)=,P(=50)=,P(=60)=.的分布列为:010205060P(2)E=0+10+20+50+60=3.3.
