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1、高中数学 第三章 推理与证明 3.4 反证法同步测控 北师大版选修1-2我夯基 我达标1.若a、b、c不全为零,必须且只需( )A.abc0 B.a、b、c中至少有一个为0C.a、b、c中只有一个是0 D.a、b、c中至少有一个不为0解析:a、b、c不全为零,a、b、c中至少有一个不为0.答案:D2.x、y、z中至少有一个不小于1的含义是( )A.都大于等于1 B.有1个、2个或3个大于等于1C.都小于1 D.以上都不对解析:至少有1个不小于1,可能有1个或2个或3个大于等于1.答案:B3.给出三个等式:f(x+y)=f(x)+f(y);f(xy)=f(x)+f(y);f(xy)=f(x)f(
2、y),则不满足其中任何一个条件的函数是( )A.y=x2 B.y=sinx C.y=2x D.y=lgx解析:本题的含义为都不满足的函数.y=x2满足f(xy)=(xy)2=x2y2=f(x)f(y),y=2x满足f(x+y)=2(x+y)=2x+2y=f(x)+f(y),y=lgx满足f(xy)=lg(xy)=lgx+lgy,只有y=sinx不满足任何一个条件.答案:B4.设a、b、c都是正数,则三个数a+,b+,c+( )A.都大于2 B.至少有一个大于2C.至少有一个不小于2 D.至少有一个不大于2解析:a+b+c+=(a+)+(b+)+(c+)2+2+2=6.至少有一个不小于2.否则都
3、小于2,它们的和也应小于6,矛盾.答案:C5.下列命题中错误的是( )A.三角形中至少有一个内角不小于60B.四面体的三组对棱都是异面直线C.闭区间a,b上的单调函数f(x),至多有一个零点D.设a、bZ，若a+b是奇数,则a、b中至少有一个是奇数解析:D中a、b都是奇数,则a+b为偶数,a、b中一个为奇数,另一个为偶数.答案:D6.已知二次函数f(x)=x2+2(p-2)x+p,若在区间0,1内至少存在一个实数c,使f(c)0.则实数p的取值范围是( )A.(1,4) B.(1,+) C.(0,+) D.(0,1)解析:本题从正面解答较难,可先求使在0,1内没有实数c使得f(c)0,即在0,
4、1上都有f(x)0.则即p0.要在区间0,1内至少存在一个实数c,使f(c)0,则p0.答案:C7.x、y、z不能同时大于是指_.解析:x,y,z不同时成立,即至少有一个不成立.答案:至少有一个小于或等于8.设正实数a、b、c满足a+b+c=1,则a、b、c中至少有一个数不小于_.解析:a、b、cR+,a+b+c=1,当a=b=c=时满足.若a、b、c都小于,则a+b+c1.a、b、c中至少有一个数不小于.答案:我综合 我发展9.“三角形中最多只有一个内角是直角”的否定是_.解析:最多只有一个内角是直角的含义是三个内角都不是直角或三个内角中只有一个内角是直角,其否定为都是直角或有两个是直角.答
5、案:至少有两个内角是直角10.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说:“是乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说:“我获奖了.”丁说：“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是_.解析:若甲说的对,则丙、丁至少有一人说的对,则乙说的不对,则甲、丙至少有一个人获奖是对的.又乙或丙获奖,丙获奖.答案:丙11.求证:正弦函数没有比2小的正周期.解析:证明否定性命题,可用反证法.证明:假设正弦函数y=sinx有比2小的正周期T(0T0,两者前后矛盾,假设不成立.a、b、c中至少有一个大于0成立.14.已知a、b、c、dR,且a+b=c+d=1,
6、ac+bd1.求证:a、b、c、d中至少有一个是负数.解析:本题要证a、b、c、d中至少有一个是负数,是具体有一个负数,两个负数,三个负数,还是四个负数?都有可能,谁是负数也都有可能.所以正面证明很复杂,对于“至多”“至少”性问题可用反证法.证明:假设a、b、c、d都不是负数,即a0,b0,c0,d0.a+b=c+d=1,b=1-a0,d=1-c0.ac+bd=ac+(1-a)(1-c)=2ac-(a+c)+1=(ac-a)+(ac-c)+1=a(c-1)+c(a-1)+1.a(c-1)0,c(a-1)0,a(c-1)+c(a-1)+11,即ac+bd1.与ac+bd1相矛盾.假设不成立.a、b、c、d中至少有一个是负数.我创新 我超越15.已知a+b+c0,abc0,ab+bc+ca0.求证:a0,b0,c0.解析:本题正面证不太易证,可从反面证明.证明:由abc0,可知a、b、c都大于零或两个负数、一个正数.若两个负数、一个正数,不妨设a0,b0,c0,知a-(b+c).又b0,c0,b+c0.a-(b+c)0.a(b+c)-(b+c)2.bc+a(b+c)bc-(b+c)2,即ab+bc+ac-b2-bc-c20相矛盾.不可能有两个负数、一个正数,只能都是正数,即a0,b0,c0成立.
