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1、高中数学 第一章 推理与证明 4 数学归纳法教材习题点拨 北师大版选修2-2练习(P19)证明:(1)当n=1时,x2-y2=(x+y)(x-y),能够被x-y整除.(2)假设当n=k时,结论成立,即x2k-y2k能够被x-y整除.当n=k+1时,-=-+x2ky2-x2ky2=-x2ky2+x2ky2-=x2k(x2-y2)+y2(x2k-y2k),由于x2-y2和x2k-y2k都能被x-y整除,所以-能够被x-y整除.所以n=k+1时也成立.故结论得证.习题14(P19)1.证明:(1)当n=1时,=1-,等式成立.(2)假设当n=k时,等式成立,即+=1-.当n=k+1时,+=1-+=1
2、+=1-.所以n=k+1时等式也成立.故结论得证.2.证明:当n=2时,f(2)=1,两条直线的交点数为1,结论明显成立.(2)假设当n=k时,结论成立,即k条直线的交点数为f(k)=.当n=k+1时,交点数相当于在k条直线的交点数的基础上增加了k条,即f(k+1)=f(k)+k=+k=+=.所以n=k+1时也成立.故结论得证.3.证明:(1)当n=1时,左边=12=1,右边=1,左边=右边,故结论成立.(2)假设当n=k时,等式成立,即12+22+k2=.当n=k+1时,12+22+k2+(k+1)2=+(k+1)2=+所以n=k+1时等式也成立.故结论得证.STS数学归纳法的起源 数学归纳
3、法的思想可以远推至欧几里得前(330前275).严格的数学归纳法是在16世纪后期才引入的.1575年意大利数学家、物理学家Francesco Maurolico(14941575)在他的Arithmeticorum libri duo一书中明确提出了这一方法,并且用它证了1+3+(2n+1)=(n+1)2等;法国著名数学家帕斯卡(16231662)承认莫洛克斯引用了这方法,并在他的著作三角阵算术中运用了这一方法.因此,一般认为帕斯卡是数学归纳法的主要发明人.由于帕斯卡还没有表示任意自然数的符号,因此组合公式及证明只能用叙述的方法,1686年J.伯努利首先采用了表示任意自然数的符号,在他的名著猜
4、度术(1713)中包含运用数学归纳法证题的出色例子.“数学归纳法”这个名称及数学归纳法的证题形式是德摩根(18061871)所提出的.皮亚诺(18581932)的自然数公理中包含了归纳原理. 数学归纳法是一种数学证明方法,典型地用于确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的.有一种用于数理逻辑和计算机科学广义的形式的观点指出能被求出值的表达式是等价表达式;这就是著名的结构归纳法. 最简单和常见的数学归纳法证明方法是证明当n属于所有自然数时一个表达式成立,这种方法是由下面两步组成:递推的基础:证明当n=1时表达式成立.递推的依据:证明如果当n=m时成
5、立,那么当n=m+1时同样成立.(递推的依据中的“如果”被定义为归纳假设.不要把整个第二步称为归纳假设) 这个方法的原理在于第一步证明起始值在表达式中是成立的,然后证明一个值到下一个值的证明过程是有效的.如果这两步都被证明了,那么任何一个值的证明都可以被包含在重复不断进行的过程中.或许想成多米诺效应更容易理解一些.如果你有一排很长的直立着的多米诺骨牌那么如果你可以确定:第一张骨牌将要倒下.只要某一个骨牌倒了,与它相邻的下一个骨牌也要倒.那么你就可以推断所有的骨牌都将要倒.数学归纳法的原理作为自然数公理,通常是被规定了的(参见皮亚诺公理第五条).但是它可以用一些逻辑方法证明;比如,如果下面的公理:自然数集是有序的被使用.注意到有些其他的公理确实的是数学归纳法原理中的二者择一的公式化.更确切地说,两个都是等价的.
