《2015-2016学年新人教a版选修4-4 渐开线与摆线练习》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2015-2016学年新人教a版选修4-4 渐开线与摆线练习（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 24渐开线与摆线预习梳理1以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立平面直角坐标系，可得圆的渐开线的参数方程为：_(其中r为基圆的半径)2在研究平摆线的参数方程中，取定直线为x轴，定点M滚动时落在直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系，设圆的半径为r，可得摆线的参数方程为：_预习思考半径为8的圆的渐开线参数方程为(为参数)，摆线参数方程为_,预习梳理1.(为参数)2.(为参数)预习思考(为参数)1关于渐开线和摆线的叙述，正确的是()A只有圆才有渐开线B渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形C正方形也可以有渐开线D对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，画
2、出的渐开线形状就不同1C 2半径为1的圆的渐开线的参数方程为()A.(为参数)B.(为参数)C.(为参数)D.2.C 3给出下列说法：圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；圆的渐开线和x轴一定有交点而且是唯一的交点其中正确的说法有()A B C D3.C4基圆半径为2的渐开线的参数方程是_(为参数)5如下图所示，ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH叫作“正方形的渐开线”
3、，其中AE，EF，FG，GH，的圆心依次按B，C，D，A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH的长是()A3 B4 C5 D65C6已知摆线的生成圆的直径为80 mm，则摆线的参数方程为_，其一拱的宽为_，拱高为_6.(为参数)80 mm80 mm 7已知参数方程为(为参数)，则该圆的渐开线参数方程为_，摆线参数方程为_7.(为参数)(为参数)8渐开线(为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到的曲线的焦点坐标为_8(6，0)和(6，0)9当，时，求出渐开线(为参数)上的对应点A，B，并求出A，B间的距离9解析：将代入得xcossin1，ysincos1.A.
4、将代入得xcos sin 1，ysin cos .B(1，)故A，B间的距离为|AB|.10已知圆的直径为2，其渐开线的参数方程对应的曲线上两点A，B对应的参数分别为和，求点A、B的直角坐标10解析：根据题设条件可知圆的半径为1，所以对应的渐开线的参数方程为(为参数)将代入得xcossin，ysincos.A点的坐标为.当时，同理可求得B点的坐标为.11求摆线(为参数且02)与直线y2的交点的直角坐标11解析：当y2时，有2(1cos )2，cos 0.又02，或.当时，x2；当时，x32.摆线与直线y2的交点为(2，2)，(32，2)12设圆的半径为4，沿x轴正向滚动，开始时圆与x轴相切于原
5、点O，记圆上动点为M，它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上纵坐标y的最大值12解析：依题意可知，轨迹是摆线，其参数方程为(为参数)且02.其曲线是摆线的第一拱(02)，如下图所示：易知，当x4时，y有最大值8.13已知一个圆的摆线方程是(为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程13分析：首先根据所给出的摆线方程判断出圆的半径为4，易得圆的面积，再代入渐开线的参数方程的标准形式，即可得圆的渐开线的参数方程解析：首先根据摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积是16，该圆对应的渐开线参数方程是(为参数) 14已知一个圆的摆线过一定点(2，0)，
6、请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程以及对应的圆的渐开线的参数方程14分析：根据圆的摆线的参数方程(为参数)，只需把点(2，0)代入参数方程求出r的表达式，根据表达式求出r的最大值，再确定对应的摆线和渐开线的参数方程即可解析：令y0，可得r(1cos )0，由于r0，即得cos 1，所以2k(kZ)代入xr(sin )，得xr(2ksin 2k)又因为x2，所以r(2ksin 2k)2，即得r.又由实际可知r0，所以r(kN*)易知，当k1时，r取最大值为.代入即可得圆的摆线的参数方程为(为参数)；圆的渐开线的参数方程为(为参数)1渐开线的实质是直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹圆的摆线的实质
7、是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹2渐开线上任一点M的坐标由圆心角(以弧度为单位)唯一确定，而在圆的摆线中，圆周上定点M的位置也可以由圆心角唯一确定3圆的渐开线和摆线的参数方程均不宜化为普通方程，既繁琐又没有实际意义4有关已知摆线过定点求摆线及渐开线的参数方程等问题，可进行如下思路解题：代入摆线的参数方程(为参数)，可求出，进一步求的r，这样就可以写出该圆的摆线和渐开线的参数方程【习题2.4】1解析：因为基圆的直径是225 mm，所以基圆的半径是112.5 mm，齿廓线AB所在的渐开线的参数方程为(是参数)2解析：将，分别代入，得到A，B两点的坐标分别为，由两点间的距离公式得|AB|2.3解析：设轮子的圆心为B，以BM的延长线与直线轨道垂直时的一个垂足O为原点，直线轨道为x轴，建立如图所示的直角坐标系设圆滚动使点M绕圆心B转过角后点M的坐标为(x，y)，则xODOADAOAMCabsin ，yDMACABCBabcos ，所以点M的轨迹方程为(是参数)4解析：建立如下图所示的直角坐标系，设点M的坐标为(x，y)，此时BOA.因为OB4CB，所以BCM4，MCD3.由于xOFOEEF3rcos rsin第 7 页 共 7 页
