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1、数学学习与智慧发展,人民教育出版社 章建跃 ,一、全面深化课改的新要求,国家中长期教育改革和发展规划纲要（20102020年）的颁布标志着我国课程改革进入了新阶段。 全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见，提出“大力弘扬中华优秀传统文化，把培育和践行社会主义核心价值观融入国民教育全过程”的新要求 。,着力推进关键领域和主要环节改革,研究制订学生发展核心素养体系和学业质量标准：根据学生的成长规律和社会对人才的需求，把对学生德智体美全面发展总体要求和社会主义核心价值观的有关内容具体化、细化，深入回答“培养什么人、怎样培养人”的问题。教育部组织研究提出各学段学生发展核心素养体系，明确学生应具备的
2、适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力，突出强调个人修养、社会关爱、家国情怀，更加注重自主发展、合作参与、创新实践。,贯彻德育为先、能力为重、全面发展的教育理念，完善符合素质教育和时代要求的课程教材体系，深化人才培养模式改革，为各级各类人才的成长提供平台和良好环境；在教与学的方式上，要进一步推广自主、合作、探究的学习方式与启发、讨论、参与的教学方式，特别是要坚持启发式教学这一优秀传统，增强育人的针对性和实效性；要改变重智轻德、单纯追求分数和升学率的现状，在增强学生的社会责任感、提高学生的创新精神和实践能力上狠下功夫。,以考试分数、升学率为唯一衡量标准的教育发展模式已经走到了尽头。 回归
3、数学教育的本来面目，着眼于学生的长期利益，发挥数学的内在力量，挖掘数学内容所蕴含的价值观资源，以提高数学素养、发展思维能力、培育理性精神为核心，使学生在掌握数学知识的过程中学会思考，成为善于认识问题、解决问题的人才。,人类文明进步的基本面是如何善用脑力去“认识问题与解决问题”。 基础教育的主要任务其实就是要教导、培训年轻一代成为善于认识问题、善于解决问题的人才，也是基础数学教育的主题与重任所在。,二、当前课堂教学的一些现象,课堂教学目标的定位不准确，把 “三维目标”当成课堂教学目标。 内容所蕴含的价值观资源挖掘得不够。 缺乏内容为载体，过程中渗透思想方法、培养思维能力的教学措施。 不用教材，滥
4、用教辅，误导教学。 教学的投机性，走捷径的企图明显，试图通过大量练习的高分。,需要商榷的一些问题,导学案泛滥：扰乱了“预设”和“生成”的关系。 采用课前导学案已经成为常态，造成预设的环节过于充分，生成的环节过于顺畅，教学的重心过于前移，在某种程度上掩盖了学生独立思考和当堂训练落实的情况，造成课堂练习的进程太快，挤压了学生思考、交流的空间 导学案加重了学生的负担,小组合作学习该怎么做？数学学习首先需要独立思考！ 翻转课堂该怎么看？什么地方用？什么时候用？怎么用？数学是思维的科学，数学教学是思维的教学，翻转课堂能用于“教思维”吗？,三、我国数学教育的问题与思考,1.课程内容与结构 课程内容，一是比
5、较庞杂、臃肿，基础性不突出；二是开放性不够，对学生建立完整的数学思维方式不利；三是不能反映信息化社会的需求以及技术环境下数学学习特点。 课程结构，模块化破坏了知识的系统性，削弱了知识的逻辑联系性，降低了知识的自我生长能力。,2.教学素材的选择和组织,理想：反映知识的背景和应用（数学知识的内在逻辑，与现实的联系性），关注真实性问题，以开放的形式，解决的途径多样化，答案也可以不唯一。 现实：形式化的学习材料，标准化的答案。虽有一题多解，但往往只是技巧上的变化。唯一的目的是应对高考的功利诉求。,3学与教的过程,理想：注重调动所有感官，动手触摸、动眼观察、动脑思考，通过丰富多彩的学习活动、长时间的“悟
6、”，然后是有所发现。 现实：学习过程单一，学习活动缺乏灵活性，“悟”的过程太短，甚至没有。直接告诉知识后，进行大运动量操练可能成为“熟练工”，但肯定成不了“领导者”、科学家、思想家等等。,4学习态度,理想：对数学的强烈兴趣，主动学习，培养一种专注于数学问题的习惯。 现实：因为高考要考所以只能硬着头皮学许多学生憎恨数学。 “其实大多数人恨的不是数学，而是中学老师教给你的那门叫做数学的科目”。 丘成桐说，学生不喜欢数学是“老师讲得不好！”他认为数学教学的关键是教师，这是世界性的共识。,5学习结果,理想：养成自主学习的习惯和能力；知识成为独立面对问题时的智慧，成为认识问题、解决问题的利器。 现实：习
7、惯于依赖，解老师给的、各种教辅中的题目，缺乏独立面对问题的勇气和能力，“知识”量大，但缺乏灵活性、变通性，杂乱的知识堆砌成为解决问题包袱。,如何通过改革，改变现状？ 我们应该从哪些方面做出努力？,教师专业发展的三大基石,理解数学，理解学生，理解教学。 “三个理解”的内涵：掌握丰富的数学学科知识；中小学数学课程结构体系、教学重点的知识；学生数学学习难点的知识；关于重点知识的教学解释的知识；关于评估学生的知识理解水平的知识；等。 特别是，“内容所反映的数学思想方法”的理解水平决定了教学所能达到的水平和效果。,四、理解数学知识的意蕴,包括知识目标、知识价值、知识乐趣、知识热情等，它是人们在知识生产过
8、程中的目标追求与价值取向。 知识意蕴是启动、维持与强化认识活动，推动知识产生的内在力量与根本动力。 不了解知识意蕴，就不可能了解学科，对这个学科的认识就不会达到一定的高度，很难在教学中提出一些本原性的问题。 理解数学知识的意蕴是培养数学核心素养的前提。,从培养创新人才出发,应紧紧围绕“数量关系”、“空间形式”、“数形结合”和“公理化思想”这四条主线,让学生有机会体会和认识一些数学本源性问题，例如引发某个数学分支创立的基本问题,创立过程中出现的瓶颈和突破的关键思想,以及从定性到精确定量的基本过程等。 数学对象是怎么抽象出来的；面对一个数学对象，如何展开研究；如何用已有知识去解决问题，发展新知识；
9、等等。,例 几个“简单”概念的理解,空间中的“位置”差异用什么表示？ 空间中的“方向”差异用什么表示？ 如何刻画直线的“直”？ 如何刻画平面的“平”？,“位置”是宇宙空间的最基本要素，位置用“点”表示； 线段是连接两点的最短通路，两个点的位置差异用线段的“长度”表示； 两个“方向”的差异用“角度”表示； 直线的“直”用点与点的位置关系刻画； 平面的“平”用点、直线、平面的位置关系来刻画。,理解数学的三重境界,知其然 知其所以然 何以知其所以然,五、对数学思维方法的认识,思维是指理性认识，或指理性认识的过程，它是人脑对客观事物能动的、间接的和概括的反映，包括逻辑思维和形象思维，但通常是指逻辑思维
10、。 思维的工具是语言； 思维的形式是概念、判断、推理等； 思维的方法是抽象、归纳、演绎、分析和综合等。,一个结构,数学地认识事物的基本结构：定义概念推导性质建立联系实践应用。 先从数、形的角度抽象事物的本质属性，定义概念从而明确数学对象；探索对象的要素与要素、要素与环境等之间的关系和相互作用而获得性质；建立相关知识的联系而形成知识体系；应用所得知识解决数学内外的问题，并深化认识、拓展新知。这是一个螺旋上升、逐渐深入的过程。,两个方向（方面）,数学思维有两个相辅相成的方向或方面归纳和演绎。在对某一数学领域或对象的探索认知过程中，一方面要从具体事例的实验、分析中归纳其本质，获得数学猜想、命题等；另
11、一方面又要用逻辑推理、数理分析去研讨业已认知的本质，证明猜想，发现新的性质，认知相关概念的联系性和一致性，直至形成不同学科统一性的认知。数学思维中，归纳和演绎的配合，往往能相互为用、相得益彰，产生意想不到的效果。,三种语言,数学思维的工具：符号语言、图形语言和普通文字语言。 数学有自己的符号体系和表达方式，它使人们能方便、简捷地呈现数学思想和成果。数学符号是内涵丰富的“信息块”，因而成为数学思维活动的理想载体。另外，数学符号语言能缩短数学思维过程，使之变得简约、精练。,四种形式,数学思维的基本形式： 逻辑推理 代数运算 几何直观 数形结合,逻辑推理是数学思维的主要形式，是从一些数学事实、概念、
12、定理出发，依据逻辑规则推出结论的思维过程。 认识问题的要点在于把好本质，发现问题；而解决问题的任务则是运用“已知”之性质去推论“待知”之性质。概括言之，乃是在性质层面的一种以简驭繁。而逻辑推理就是这种以简驭繁的实践与步骤。,“代数学的根源在于代数运算”，有效有系统地运用运算律去解决问题是代数学的基本思想；数及其运算是一切运算系统的模范，与它类比而发现需研究的问题和方法，是基本而重要的数学思维方式；代数运算的过程和方法可以容易地发展成高层次函数观点。,几何直观是利用几何概念抽象空间事物获得几何图形，用图形描述事物的结构特征，用点线面体的关系探索事物的关系，乃至用图形及其关系认知、表达事物的本质和
13、关系，几何直观是展开逻辑推理的思维基础。 用几何图形表示数量关系，把几何中的定性结果转化为可运算的定量结果，这是数学思维的变通、灵活性的表现，坐标法、函数与图像（曲线）、三角函数与圆、向量法与几何等都是数形结合的思维产物。,N种因地制宜的具体方法,针对具体数学问题的思维方法：观察、假说、实验法、确证等科学思维方法在数学研究中有用武之地； 观察引领思考，事物现象的因果关系、事物的特征和构成要素、以及如何介入其中创造出我们想要的变化等，都能从观察中获得启示； 综合法与分析法、顺证法与反证法，以及数学归纳法等等是常用的思维方法。,数学思维方法,一个结构 两个方向 三种语言 四种形式 演化出千变万化、
14、赏心悦目、震撼心灵的思维方法。 数学思维是人类智慧的最精彩绽放。,六、关于数学的整体性,整体是事物的一种真实存在形式。 数学是一个整体。 数学的整体性体现在代数、几何、三角等各部分内容之间的相互联系上，同时也体现在同一部分内容中知识的前后逻辑关系上纵向联系、横向联系。 学生的学习是循序渐进、逐步深入的，概念要逐个学，知识要逐步教。如何处理好这种矛盾，是教学中的核心问题。,例 从数及其运算看数学的整体性,在数系的发展过程中，正整数与人的直觉一致，天经地义；0、负整数、分数、无理数、复数取得“合法”地位，都经历了漫长、曲折而相似的过程。 让学生返璞归真地择要经历这个过程，对他们理解数学的整体性、感
15、受数学研究的“味道”很有好处，自然地，这也是培养学生的数学素养，提高他们发现和提出问题、分析和解决问题的能力的极好途径。,数系扩充的基本思想是什么,数学推广过程的一个重要特性是：使得在原来范围内成立的规律在更大的范围内仍然成立。 数系扩充：引入一种新数（如何引入）；定义其运算（如何定义）；满足怎样的运算律。 扩充的基本原则是：使算术运算的运算律保持不变。,“有理数”的整体结构,背景（现实需要、数学发展的需要）定义、表示、分类性质运算联系和应用。 研究一个数学新对象的基本套路。 “数系扩充与复数的引入”的教学设计,例 解析几何中如何体现坐标法思想,解析几何是方法论； 其整体性就在于用坐标法处理几
16、何问题。 形式上：“三步曲”； 经历用坐标法解决问题的完整过程：先用平面几何眼光观察，再用坐标法解决。 平面直角坐标系的要素是什么？ 平面直角坐标系中的点，可以讨论哪些问题一个点？两个点？三个点？,直线与方程的结构,在平面直角坐标系中，确定直线位置的几何要素平面几何是”两点确定一条直线”；这里要发挥直角坐标系的力量，因此引入倾斜角和斜率的概念。 斜率：概念、公式（不同条件下的不同形式）、性质（特例、关系） 直线的方程：“一点和一个方向，或两点，唯一确定一条直线”的代数化。求解的过程是“同一事物的两种表示等价”。,从哪些角度讨论直线方程？,不同的条件下的不同形式可以问学生：你认为可以从哪些角度确定一条直线？ 与直线相关的几何问题有哪些？如何利用直线方程进行讨论？平面几何的经验，讨论“相交线与平行线”，“相交线”中有交点坐标、交角、点到直线的距离等，特例是垂直；“平行线”中，平行的条件，平行线间的距离。,还可以讨论哪些问题？,二元一次不等式表示平
