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1、八年级数学下 新课标冀教,第二十二章 四边形,22.4 矩 形（第1课时）,学 习 新 知,问题思考,1.什么叫做平行四边形?它具有哪些性质?,2.想一想,这里展示的物体都是一些什么形状的图形?,中国有句古话:不以规矩,不成方圆.“方”指的就是我们小学学习过的长方形,包括正方形,“矩”就是古代画“方”的一种工具.到了初中阶段,我们就把长方形称作矩形.,观察并思考:,1.在运动过程中四边形还是平行四边形吗? 2.在运动过程中四边形不变的是什么?改变的是什么? 3.角的大小改变过程中有特殊值吗?这时的平行四边形是什么图形?,有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.,矩形的定义,矩形的性质,1.观察试验
2、,发现问题,平行四边形活动框架上,用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上,作为它的对角线,拉动一对不相邻的顶点,改变平行四边形的形状, 观察并思考:,（1）随着ABC的变化,两条对角线的长度是怎样变化的? (2)当ABC是直角时,平行四边形变成了矩形,此时其他内角有什么变化?两条对角线的长度有什么关系?,矩形的性质定理1 矩形的四个内角都是直角. 矩形的性质定理2 矩形的两条对角线相等.,已知:如图所示,四边形ABCD是矩形,ABC=90,对角线AC与DB相交于点O.求证: (1)ABC=BCD=CDA=DAB=90; (2)AC=BD.,(1)矩形是不是中心对称图形?如果是,那么对称中心是什么
3、? (2)矩形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条?,概括矩形的性质: (1)从边来说,矩形的对边平行且相等; (2)从角来说,矩形的四个内角都是直角; (3)从对角线来说,矩形的两条对角线相等且互相平分; (4)从对称性来说,矩形既是轴对称图形,又是中心对称图形.,如图所示,矩形ABCD中,两条对角线相交于点O,AOD=120,AB=4 cm,求矩形对角线的长.,分析:先根据矩形的对角线相等且互相平分这一性质得到线段之间的关系,再利用“有一个角是60的等腰三角形是等边三角形”,证明AOB是等边三角形,然后再求解.,证明:四边形ABCD是矩形, AC=BD,AO=OC=BO=OD.,AO
4、D=120, AOB=60. AOB是等边三角形. AO=BO=AB=4 cm. AC=AO+OC=AO+OB=8(cm), 即矩形ABCD的对角线的长度为8 cm.,检测反馈,1.在矩形ABCD中,AD=5,AB=3,AE平分BAD交BC边于点E,则线段BE,EC的长度分别为 ( ) A.2和3 B.3和2 C.4和1 D.1和4,解析:AE平分BAD交BC边于点E,BAE=EAD,四边形ABCD是矩形,ADBC,AD=BC=5,DAE=AEB,BAE=AEB,AB=BE=3,EC=BC-BE=5-3=2.故选B.,B,2.下列说法中:有一个角是直角的平行四边形是矩形;有一个角是直角的四边形
5、是矩形;有三个角是直角的四边形是矩形;必须有四个角是直角的四边形才能是矩形,正确的有 ( ) A. B. C. D.,解析:中混淆了四边形与平行四边形的区别;中混淆了矩形的性质与判定的区别.只有正确.故选B.,B,3.如图所示,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,以下说法错误的是 ( ) A.ABC=90 B.AC=BD C.OA=OB D.OA=AD,解析:四边形ABCD是矩形, ABC=BCD=CDA=BAD=90,AC=BD,OA= AC, OB= BD,OA=OB,选项A,B,C正确,选项D错误.故选D.,D,4.如图所示,O是矩形ABCD的对称中心,M是AD的中点.若BC=8
6、,OB=5,则OM的长为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4,解析:四边形ABCD是矩形,AB=CD,OA= AC,OB= BD,AC=BD,AC=BD=2OB=10,AB= =6,CD=6.O是矩形ABCD的对称中心,M是AD的中点,OM是ACD的中位线,OM= CD=3.故选C.,C,5.(2016荆门中考)如图所示,在矩形ABCD中(ADAB),点E是BC上一点,且DE=DA,AFDE,垂足为点F,在下列结论中,不一定正确的是 ( ) A.AFDDCE B.AF= AD C.AB=AF D.BE=AD-DF,解析:由四边形ABCD是矩形,AFDE可得C=AFD=90,ADBC,ADF
7、=DEC.又DE=AD,AFDDCE(AAS),故A正确;ADF不一定等于30,直角三角形ADF中,AF不一定等于AD的一半,故B错误;由AFDDCE,得AF=CD,由四边形ABCD是矩形,得AB=CD,AB=AF,故C正确;由AFDDCE,得CE=DF,由四边形ABCD是矩形,得BC=AD,又BE=BC-EC,BE=AD-DF,故D正确.故选B.,B,6.如图所示,四边形ABCD是矩形,点E是AD的中点,点F是BC的中点.求证ABFCDE.,解析:由矩形的性质得出B=D=90,AB=CD,AD=BC,由中点的定义从而得出BF=DE,由“SAS”证明ABFCDE即可.,证明:四边形ABCD是矩
8、形, B=D=90,AB=CD,AD=BC. 点E是AD的中点,点F是BC的中点, DE= AD,BF= BC, BF=DE.,在ABF和CDE中,ABFCDE(SAS).,7.如图所示,在矩形ABCD中,AC与BD交于点O,BEAC,CFBD,垂足分别为E,F.求证BE=CF.,解析:要证BE=CF,可运用矩形的性质结合已知条件证BE,CF所在的三角形全等,从而得出结论.,证明:四边形ABCD为矩形, AC=BD,则BO=CO. BEAC,CFBD, BEO=CFO=90.,又BOE=COF, BOECOF. BE=CF.,8.如图所示,在矩形ABCD中,AB=4,BC=5,AF平分DAE,
9、EFAE于E,求CF的长.,解析:先证AEFADF,得AE=AD=5,EF=DF,在ABE中,由勾股定理求出BE=3,从而求出CE=2,设CF=x,则EF=DF=4-x,在RtCFE中,由勾股定理,得(4-x)2=x2+22,求出x即可.,解:AF平分DAE,DAF=EAF. 四边形ABCD是矩形, D=C=90,AD=BC=5,AB=CD=4. EFAE,AEF=D=90.,在AEF和ADF中,AEFADF(AAS), AE=AD=5,EF=DF.,在ABE中,B=90,AE=5,AB=4, 由勾股定理,得BE=3, CE=5-3=2.,设CF=x,则EF=DF=4-x, 在RtCFE中,由
10、勾股定理,得EF2=CE2+CF2,即(4-x)2=x2+22,解得x= ,即CF= .,9.如图所示,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,M,N分别是AB,CD的中点,P是AD上的点,且PNB=3CBN. (1)求证PNM=2CBN; (2)求线段AP的长.,解析:(1)由已知得MNBC,可得CBN=MNB,由已知PNB=3CBN,根据角的和差关系得出结论;(2)连接AN,根据矩形的轴对称性,可知PAN=CBN,由(1)知PNM=2CBN=2PAN,由ADMN,可知PAN=ANM,所以PAN=PNA,根据等角对等边得到AP=PN,再用勾股定理求出AP的长.,证明:(1)四边形ABCD是矩形,M,N分别是AB,CD的中点, MNBC,CBN=MNB. PNB=3CBN,PNM=2CBN.,解:(2)如图所示,连接AN,根据矩形的轴对称性可知PAN=CBN. MNAD,PAN=ANM, 由(1)知PNM=2CBN, PAN=PNA,AP=PN. AB=CD=4,M,N分别为AB,CD的中点, DN=2.,设AP=x,则PD=6-x. 在RtPDN中,PD2+DN2=PN2, (6-x)2+22=x2,解得 x= . AP= .,
