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1、第十二届北京市大学生（非数学专业）数学竞赛第十二届北京市大学生（非数学专业）数学竞赛 本科甲、乙组试题本科甲、乙组试题 （2000 年 10 月 14 日 上午 9:0011:30） 准考证号 姓名 学校 注意：本考题共九题注意：本考题共九题.甲组九题全做，乙组只做前七题甲组九题全做，乙组只做前七题. 一、填空题（满分 20 分，甲组限半小时做完，于 9:30 收回） 1若 2 0 tan(1 cos ) lim2 ln(1 2 )(1) x x axbx xce + = + ，则= a. 2若 2 0 z x y = ，且当时，；当0x =sinzy=0y =，sinzx=，则= z. 3
2、0 1 ! n n n = + = . 4设幂级数的收敛域为，则幂级数 0 (1)n n n ax = + ( 4,2) 0 (3)n n n nax = 的收敛区间为 . 5 2 111 () 0 x t tdt edx = . 6设 1 1,2, xxx yyeyeye =+都是某二阶常系数线性微分方程的解，则此二阶常系数线性微分方 程为 . 7设数列 n x满足： 11 sin(2)sin 11 n nxn nn ) C 3( rxdxydyzdz+ ，其中 22 rxyz2=+. 二 、 设是上 递 减 的 连 续 函 数 ， 且， 证 明 数 列( )f x(0,)+( )0f x
3、n a收 敛 ， 其 中 . 1 1 ( )( ) n n n k af kf x = = dx 三、设为椭球面S 22 2 1 22 xy z+=的上半部(，点0z )PS，为在点处的切平面，SP( , , )x y z 为原点到平面的距离，求 3 ( , , ) S Izx y z dS=. 四 、 设 一 元 函 数当时 有 连 续 的 二 阶 导 数 ， 且， 又( )uf r=0r， 证明 1 1 ( 1)( ) n n f n = 收敛，而 1 1 ( ) n f n = 发散. 七一个冬季的早晨开始下雪，且以恒定的速度不停地下.一台扫雪机，从上午 8 点开始在公路上扫雪，到 9
4、点前进了 2 公里，到 10 点前进了 3 公里.假定扫雪机每小时扫去积雪的体积为常数，问何时开始下雪？ 以下两题乙组同学不做以下两题乙组同学不做 八、设在闭区间 ,有连续的二阶导数，且( )f xa b( )( )0f af b=，当( , )xa b时，证明：( )0f x ( )4 ( ) b a fx dx f xb a 0 . 九、设是实系数多项式，且某个 1 ( ) n n f xa xa xa=+?2n0(11) k akn=及当ik时， ，证明：若有个相异的实根，则0 i a ( )f xn 11 0 kk aa + ， 若( )yf x=的 一 个 拐 点 是， 则 0 (,
5、3)x = . 5设 1 1 x y x + = ，则 (10) 0x y = = . 6 444 1 (1) 1 dx xx+ = +. C 7设具有一阶连续导数，且( )f x(0)0,(0)1f f =，则 2 0 0 2 0 ( ) lim ( ) x x x f t dt f t dt = . 8设为区域，则 222 1xyz+ 222 222 ( xyz dv abc + )= . 9若可微函数对任意满足( , )f x y, ,x y t 2 ( ,)( , )f tx tyt f x y=， 0(1, 2,2) P是曲面上的一点， 且，则曲面在处的切平面方程为 ( , )zf
6、x y= (1, 2)4 x f= 0 P. 10设为正整数，是(1中1m n a)n mx + + n x的系数，则 0 1 n n a = = . 二、设在上具有二阶导数，且( )f x0,1(1)(0)(1)(0) 0ffff=，证明：存在(0,1)，使得 ( )( )ff=. 三、设 4 0 tan,1 n n axdx n = ， （1）证明数列 n a收敛； （2）证明 2 1 , 1 nn aan n += 2 ； （3）证明 11 2(1)2(1) n a nn 为常数，则 0 xx e edx + = . 7 设二 阶 可 导 ， 且( )yf x=(4)(0) dy y y
7、 dx =， 若( )yf x=的 一 个 拐 点 是， 则 0 (,3)x = . 8 444 1 (1) 1 dx xx+ = +. C 9设具有一阶连续导数，且( )f x(0)0,(0)1f f =，则 2 0 0 2 0 ( ) lim ( ) x x x f t dt f t dt = . 10设为正整数，是(1中1m n a)n mx + + n x的系数，则 0 1 n n a = = . 二、设在上具有二阶导数，且( )f x0,1(1)(0)(1)(0) 0ffff=，证明：存在(0,1)，使得 ( )( )ff=. 三、某公司生产两类产品，根据经验，欲使产量分别增加单位和
8、xy单位，需分别增加x单位和y单 位的投资，这时销售总收入将增加34xy+单位，现用A单位的投资生产这两类产品，问如何分配投资， 才能使销售总收入增量最大？ 四、设 4 0 tan,1 n n axdx n = ， （1）证明数列 n a收敛； （2）证明 2 1 , 1 nn aan n += 2 ； （3）证明 11 2(1)2(1) n a nn 1,1ab. 2若函数在处可导，且，则( )f x1x =(1)1 f = 0 (1)(1 2sin ) 2 (1 3tan ) lim x fxfxfx x + = . 3设不定积分 2 2 2 (1)(1) xax dx xx + + 的结
9、果中不含反正切函数，则= a. 4 2 1 lim k n n k n k n e nne = + = . 5函数 22 uxyz=+ 22 在点处沿曲面(1,1,1)M 2 2zxy=+在点M处的外法线方向的方向导数n ? M u n = . 6 2 11 1 y x dx e dy = . 7设连续，且( )f x(0)0f=， 222 ( )() t F tzf xydxdydz =+ ，其中 222 :,0 t 1xytz+， 则 2 0 ( ) lim t F t t + = . 8设当0时， 22 () C ydxxdy I 2 xyxy = + ? ， （其中为有向圆周C 22
10、2 1 xy +=）与 n 为同阶无穷小，则 = n. 9设曲面为，则 222 4xyz+= 22 ()xydS + = . 10 1 2 ! (1)! (2)! k k kkk = + + = . 二、 设在闭区间0上具有二阶导数， 且在开区间内达到最小值， 又( )f x, a(0, )a( )(0, )fxM xa， 证明：(0)( )ff aMa+. 三、证明： 22 22 00 sincos 11 xx dxdx xx + . 四、设具有连续导函数，计算： ( )f u 11 ( )( ) xx Ifdydzfdzdxzdxdy yyxy =+ ， 其中是所围立体的外侧. 222 6
11、,8yxzyxz=+= 2 五、已知 2 ( ,) 2 (0,0) ( , )cos t t f x y dxxydyt+= ，有一阶连续偏导数，求. ( , )f x y( , )f x y 六、已知方程的两边乘以便成为全微分方程，试求出可导函数 ，并解此微分方程. 223 (6)(8)0yx ydxxx y dy+= 3 ( )y f x ( )f x 七、根据经验，一架水平飞行的飞机，其降落曲线为一条三次抛物线.如图，已知飞机的飞行高度为，飞 机的着陆点为原点，且在整个降落过程中，飞机的水平速度始终保持着常数u，出于安全考虑，飞机垂 直方向的加速度绝对值不得超过 h O 10 g ，此处
12、为重力加速度. g （1）若飞机从 0 xx=处开始下降，试确定其降落曲线； （2）求开始下降点 0 x所能允许的最小值. 以下两题乙组同学不做以下两题乙组同学不做 八、设函数具有二阶连续偏导数，且( , )zf x y=0 f y ，证明：对任意常数，为一直线的 充分必要条件是() C( , )f x yC= () 2 2 20 yxxxyxyyyx fff f fff +=. 九、设函数 1 0 ( ) ! k n n z ke n = = （1）求和的值. (0), (1)zz(2)z （2）试证当取正整数时，亦为正整数. k( )z k 第十四届北京市大学生（非数学专业）数学竞赛第十四
13、届北京市大学生（非数学专业）数学竞赛 本科丙组试题本科丙组试题 （2002 年 10 月 13 日 上午 9:0011:30） 准考证号 姓名 学校 注意：本试题共七题注意：本试题共七题 一、填空题（每空 2 分，满分 20 分） 1 2 1 0 lim(cos )x x x . 2设 4 3 1, 2 ( )(1)(2) 2 1, 2 xax x f xxx x + =+ = 在1x =处连续，则= a. 3若函数在( )f x1x =处可导，且，则(1)1 f = 0 (1)(12sin )2 (1 3tan ) lim x fxfxfx x + = . 4设不定积分 2 2 2 (1)(
14、1) xax dx xx + + 的结果中不含反正切函数，则= a. 5 20022 20022002 0 sin sincos x dx xx + = . 6 2 1 lim k n n k n k n e nne = + = . 7 2 11 1 y x dx e dy = . 8设实数，则当a= 0a 时，积分 2 3 1 1 a a dx x+ 之值最大. 9 2 2 2 0 lim x x t x e t e dt x + = . 10圆 222 ()(0)xRyrrR+=，知 n a有下界.综上所述，由单调有界必有极限 可知数列 n a收敛. 三 、 解 ： 设 切 平 面 上 的 点 为, , X Y Z， 则 平 面的 方 程 为1 22 xXyY zZ+=， 从 而 22 2 1 ( , , ) 22 x y z xy z = + ，由的方程S 22 1 22 xy z=，得 22 2 (
