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1、专题七概率与统计必考点一古典概型与几何概型高考预测运筹帷幄1求等可能事件的概率2利用古典概型、几何概型、互斥事件、对立事件求概率速解必备决胜千里1若事件A1、A2、A3An彼此互斥，它们至少有一个发生的概率P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)2从4个不同元素中任取2个元素的基本事件总数为6；任取3个元素的基本事件为4；从5个不同元素中任取2个元素的基本事件总数为10，任取3个元素的基本事件总数为10.从6个不同元素中任取2个元素的基本事件总数为15.速解方略不拘一格类型一古典概型例1(1)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数从1,2,3,4,5中
2、任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为()A.B.C. D.解析：基本法：从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为.故选C.速解法：因从5个不同数中任取3个不同数的基本事件数为10，所以只有(3,4,5)一个为勾股数，故P，选C.答案：C方略点评：基本法是列举基本事件，速解法是借用了一个常用数学结果，当然简单.(2)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成
3、一行，则2本数学书相邻的概率为_解析：基本法：正确列出所有的基本事件，再求解两本不同的数学书用a1，a2表示，语文书用b表示，则(a1，a2，b)，(a1，b，a2)，(a2，a1，b)，(a2，b，a1)，(b，a1，a2)，(b，a2，a1)于是两本数学书相邻的情况有4种，故所求概率为.速解法：语文书的放置方法有3种，2本数学书相邻即语文书只能放在第1位或第3位，共2种方法，所以其概率为.答案：方略点评：基本法是直接求数学书的放置方法列举基本事件.速解法等价转化为语文书的放置的方法，此法较简单.1甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的
4、概率为_解析：基本法：先求出基本事件的个数，再利用古典概型概率公式求解甲、乙两名运动员选择运动服颜色有(红，红)，(红，白)，(红，蓝)，(白，白)，(白，红)，(白，蓝)，(蓝，蓝)，(蓝，白)，(蓝，红)，共9种而同色的有(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共3种所以所求概率P.答案：2从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是()A. B.C. D.解析：基本法：从1,2,3,4中任取2个不同的数，共有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)6种不同的结果，取出的2个数之差的绝对值为2的有(1,3)，(2,4)2种结果，所求概
5、率为，故选B.答案：B3(2016高考全国乙卷)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是()A. B.C. D.解析：基本法：先列出基本事件，再利用古典概型概率公式求解从4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中，余下的2种颜色的花种在另一个花坛的种数有：红黄白紫、红白黄紫、红紫白黄、黄白红紫、黄紫红白、白紫红黄，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有：红黄白紫、红白黄紫、黄紫红白、白紫红黄，共4种，故所求概率为P，故选C.答案：C类型二几何概型例2(1)在区间0,2上随机地取一个数x，则事
6、件“11”发生的概率为()A. B.C. D.解析：基本法：不等式11可化为2，即x2，解得0x，故由几何概型的概率公式得P.速解法：因此题几何概型只与区间长度有关故当1t1时，t其长度2.故概率为P.答案：A方略点评：基本法是具体求出x的区间再求区间长度.,速解法巧妙利用了1t1与11的区间长度相同，求出1t1的区间长度即可，较简单.(2)设复数z(x1)yi(x，yR)，若|z|1，则yx的概率为()A. B.C. D.解析：基本法：|z|1，(x1)2y21，表示以M(1,0)为圆心，1为半径的圆及其内部，该圆的面积为.易知直线yx与圆(x1)2y21相交于O(0,0)，A(1,1)两点
7、，作图如下：OMA90，S阴影11.故所求的概率P.答案：B方略点评：(1)此题为面积型的几何概型，即利用面积之比求概率.(2)当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解.(3)当出现一个变量时，用“长度”计算；当出现两个变量时，用“面积”计算.1在区间，内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f(x)x22axb2有零点的概率为()A. B.C. D.解析：基本法：函数f(x)有零点4a24(b2)0，即a2b2，设事件A表示“函数f(x)x22axb2有零点”如图所示，试验的全部结果构成的区域是矩形ABCD及其内部，事件A发生的区域是图中阴影部分，且S
8、阴影42232，P(A).答案：B2设A为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A连接，则弦长超过半径倍的概率是()A. B.C. D.解析：基本法：选B.如图，作等腰直角三角形AOC和等腰直角三角形AMC，则CM为圆的直径，设B为圆上任一点，则当点B在 (不包括端点M、C)上运动时，弦长|AB|R，所求概率P.3(2016高考全国乙卷)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是()A. B.C. D.解析：基本法：利用几何概型概率公式求解如图，7：50至8：30之间的时间长度为
9、40分钟，而小明等车时间不超过10分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P.答案：B终极提升登高博见选择题、填空题的解法信息迁移法方法诠释信息迁移法是指根据题中给出的新知识的信息，利用已掌握的数学知识、技能以及题给信息中的知识创造性地解决问题的方法此类题内容丰富，题材新颖，构思别致，富于灵活性和创造性，能较好地考查考生临场阅读、提取信息、处理信息并结合数学基础知识分析问题、解决问题的能力.解题步骤认真审题，获取信息；结合提出的问题，筛选出有价值的信息；要从给予的信息中概括出新知识、新方法；充分
10、发挥联想，与已有知识建立联系，进行类比推理信息给予题的解答过程，一般可表示为：认真审题、获取有效信息、信息与所学知识结合、逐项对照整合、选出正确答案(得出结论).限时速解训练十七古典概型与几何概型(建议用时40分钟)一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积S为()A.B.C. D.解析：选B.由几何概型得，得S.2在区间0,3之间随机抽取一个数x，则满足3x20的概率为()A. B.C. D.解析：选A.由3x20得x，故所求概率为.3同时抛掷两个骰子，
11、则向上的点数之差的绝对值为3的概率是()A. B.C. D.解析：选D.同时抛掷两个骰子，基本事件总数为36，记“向上的点数之差的绝对值为3”为事件A，则事件A包含的基本事件有(1,4)，(2,5)，(3,6)，(6,3)，(4,1)，(5,2)，共6个，故P(A).4在区间0,2上随机取一个数x，则事件“sin x”发生的概率为()A. B.C. D.解析：选B.由sin x，x0,2，得x，所求概率P.故选B.5已知集合M1,2,3,4，N(a，b)|aM，bM，A是集合N中任意一点，O为坐标原点，则直线OA与yx21有交点的概率是()A. B.C. D.解析：选C.易知过点(0,0)且与
12、yx21相切的直线为y2x(斜率小于0的无需考虑)，集合N中共有16个元素，其中使OA的斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4个，故所求的概率为.6在区间2,3上随机选取一个数X，则X1的概率为()A. B.C. D.解析：选B.区间2,3的长度为5，区间2,1的长度为3，因此P(X1)，选B.7从1,2,3,4,5中随机取3个不同的数，则其和为奇数的概率为()A. B.C. D.解析：选B.从1,2,3,4,5中随机取3个不同的数，有(1,2,3)、(1,2,4)、(1,2,5)、(1,3,4)、(1,3,5)、(1,4,5)、(2,3,4)、(2,3,5)、(
13、2,4,5)、(3,4,5)，共10种情况其中(1,2,4)、(1,3,5)、(2,3,4)、(2,4,5)中3个数之和为奇数，所以所求概率为，选B.8如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0)，且点C与点D在函数f(x)的图象上若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于()A. B.C. D.解析：选B.易知点C的坐标为(1,2)，点D的坐标为(2,2)，所以矩形ABCD的面积为6，阴影部分的面积为，故所求概率为.9在平面直角坐标系xOy中，不等式组表示的平面区域为W，从W中随机取点M(x，y)若xZ，yZ，则点M位于第二象限的概率为()A. B.C1 D1解
14、析：选A.画出平面区域M(图略)可知，平面区域M内的整数点有(1,0)，(1,1)，(1,2)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，共12个其中位于第二象限的点有(1,1)，(1,2)，共2个，所以所求概率P，选A.10把半径为2的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放在半径为2的圆内，现在往该圆内任投一点，此点落在星形内的概率为()A.1 B.C. D.解析：选A.由题意知，星形弧半径为2，所以点落在星形内的概率为P1，故选A.11随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过4的概率记为p1，点数之和大于8的概率记为p2，点数之和为奇数的概率记为p3，则()Ap1p2p3 Bp2p1p3Cp1p3p2 Dp3p1p2解析：选A.随机掷两枚质地均匀的骰子
