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1、利用函数性质判定方程解的存在一、教材分析利用函数性质判定方程解的存在是北师大版教材必修一，第四章，第一节的内容。 函数在数学中占据着不可替代的核心地位，它与其它知识具有广泛的联系，而本节课“利用函数性质判定方程解的存在”就是其中的一个链结点,它从不同的角度,将数与形,函数与方程有机地联系在一起。本节内容起着承上启下的作用：在函数性质的基础上，利用函数的图象和性质来判断方程根的存在，是函数图像与性质内容的延续。函数零点的概念和函数零点存在的判定方法，这又是学习下一节“利用二分法求方程的近似解” 的基础。同时，本节课还是培养学生“数形结合思想”、“ 函数与方程思想”、“ 转化与化归思想”的优质载体
2、。二、学情分析学生已经具备了：(1)基本初等函数的图象和性质；(2)初步了解一元二次方程和相应二次函数的关系；(3)初步具备将“数”与“形”相结合及转化的意识。 缺乏的能力：(1)应用函数解决问题的能力还不强；(2)由特殊到一般的归纳能力还不够；(3)数形结合的思想敏锐性还有待提高；三、教学目标： 1.知识与技能：（1）能说出函数零点的概念（2）能归纳并叙述函数零点存在性定理（3）会判断函数零点的个数和所在区间2.过程与方法：经历“类比归纳应用”的过程；经历方程与函数的转化过程3.情感、态度与价值观：体验自主探究，合作交流的乐趣；体会事物间普遍联系的辩证思想四、教学重点、难点：重点：函数零点的
3、概念，函数零点的判定方法。难点：探究发现函数零点的存在性，利用函数的图像和性质判断函数零点的个数 五、教法学法：教法：启发探究讨论 学法：自主合作交流 六、教学过程： 教学准备：导学案，多媒体课时安排：1课时（一）设问激疑，创设情景 问题引入：求下列方程的根前两个方程学生容易求解，后两个却无从下手，于是，引出本节课所要解决的问题，同时引入本节课题利用函数性质判定方程解的存在。（二）启发引导，形成概念探究（一）：函数零点的概念问题1：一元一次方程 的解? 一次函数 图像与x轴交点坐标？方程的根与交点的横坐标有什么关系？ 问题2：给定二次函数yx22x3，（1）做出函数图像，观察函数的图像与x轴的
4、交点是什么？（2）方程x22x30的根是什么？（3）方程的根与交点的横坐标有什么关系？ 由问题1、2引出函数零点的概念，及函数零点与对应方程根之间的联系。零点定义：我们把函数 的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点。等价定义：即方程 的实根。 学生活动：按定义给出一次函数的零点，判断二次函数的零点。教师活动：引导学生总结求零点的方法，方法一、函数的零点是图象与x轴的交点的横坐标。方法二、函数零点就是方程的解。例1.函数 的零点为（ ） A.(0，0) B.0 C.(1，0) D.1练习1如图所示的四个函数图像，在区间 (，0)内，函数y=fi(x)(i1,2,3,4)有零点的是()Af1
5、(x) Bf2(x) Cf3(x) Df4(x)思考：以下三个结论有怎样的相关性？函数 图像与x 轴的交点的横坐标方程 的实根函数 的零点（三）讨论探究，揭示原理探究（二）：函数零点的存在性定理右图是焦作市2月份的某一天从0点到12点的气温变化图，假设气温是连续变化的，请将图形补充成一个完整的函数图象。思考：这段时间内，是否一定有某个时刻的气温为0度？为什么？学生活动：动手画图，体会图像的连续性，思考并回答问题。引入生活实例：（小马过河）问题1：观察两组画面,请你推断下列哪一组一定能说明小马已经成功过河？分别从位置关系，数学抽象，轨迹图像等角度分析问题。（部分结果展示在小白板上）问题2：回到探
6、究（一） 观察二次函数的图像，在每一个交点附近，两侧函数值符号有什么特点？学生组内小白板展示，教师巡视教室，提示学生。零点存在性定理：如果函数yf(x) 在闭区间a，b上的图象是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)f(b)0 ，则在区间(a，b)内，函数yf(x) 至少有一个零点，即相应的方程在区间(a，b)内至少有一个实数解。教师活动：怎样判断函数是否有零点？ 若函数满足以下条件： （1） (2) 函数的图象在上连续函数yf(x) 在上有零点，即方程在上有解。备注：必须同时满足上述条件，函数就有零点，则方程一定有解。（四）巩固应用，发展思维例2. 已知函数f(x)=3x-x2
7、. 问：方程 f(x) =0在区间-1,0内有没有实数解？为什么？（结果展示在小白板上，学生纠错，互评，教师总结）练习2. 已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x, f(x)对应值表：x1234567f(x)239 7 1151226那么函数在区间1，6上的零点至少有（ ）个。 A 5 B 4 C 3 D 2 想一想：函数yf(x) 在a，b上图像连续，则下列哪个说法是正确的（ ） A. f(a)f(b)0，则函数f(x) 在(a，b)上只有一个零点。 B. 若函数f(x)在区间(a，b)内存在零点，则f(a)f(b)0 ，则f(x)在(a，b)内一定没有零点。 D. f(a)f(b)
8、0 ，则函数f(x)在(a，b)内至少有一个零点。 练习3. 函数 的零点有 () A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个借助图像，考虑函数零点所在的大致区间？练习4.方程 必有一个根的区间是( ) A.(1, 2) B.(2, 3) C.( , 1) D.(3, ) 判断函数零点个数问题方法总结(1)转化为求方程的根，因式分解等直接法 (2)画出函数的图像，由零点定义求解 (3)利用零点存在性定理 (4)利用函数与方程的思想，转化为两个简单函数的图像的交点 （五）归纳整理，整体认识请同学们谈谈自己本节课的收获？从知识和思想方法两个角度分析。（六）课后反馈，作业布置必做题：1.习题4-1 A组1, 2 2.若函数yax2x1只有一个零点，求实数a的取值范围 选做题：3.求函数 的零点个数。 板书设计：4.1.1利用函数的性质判定方程解的存在新课的引入：函数零点的概念：例1：练习1：生活实例（小马过河）：函数零点存在性原理：例2：练习2：练习3：回到引入练习4：多媒体演示
