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1、1.3.1柱体、椎体、台体的表面积与体积学校:_姓名：_班级：_考号：_ 一、单选题1如果圆柱的轴截面周长为定值4，则圆柱体积的最大值为( )A B C D 2在正方体ABCDA1B1C1D1中，三棱锥D1AB1C的表面积与正方体的表面积的比为( ) A 11 B 1C 1 D 123已知点在同一个球面上，若四面体体积的最大值为，则这个球的表面积是（ ）A B C D4已知四棱锥的所有顶点都在同一球面上，底面是正方形且和球心在同一平面内，若此四棱锥的最大体积为，则球的表面积等于（ ）A B C D5已知三棱锥的三视图如图所示，其中正视图为等边三角形，侧视图为直角三角形，俯视图为等腰直角三角形，
2、则此三棱锥的体积等于（ ） A B C D6若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于（ ） A B C D7已知一个几何体的正视图和俯视图如图所示，正视图是边长为的正三角形, 俯视图是边长为的正六边形，则该几何体侧视图的面积为（ ） A B C D 二、解答题8如图所示，正四面体ABCD的外接球的体积为4，求正四面体的体积 9有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比10如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成的已知半球的直径是6 cm，圆柱筒高为2 cm. （1）这种“浮球”的体积是多少cm3
3、（结果精确到0.1）?（2）要在2 500个这样的“浮球”表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需胶多少克？ 三、填空题11如图,在边长为1的正方形中, 把沿对角线折起到,使平面 平面,则三棱锥的体积为_ . 参考答案1A【解析】【分析】根据题意得到V2R22R3,V2R(23R)，当R时，圆柱的体积最大，代入求出体积即可.【详解】设圆柱的底面半径为R，高为h，则2Rh2.VR2hR2(22R)2R22R3，V2R(23R)令V0，则R0(舍)或R.经检验知，当R时，圆柱的体积最大，此时h，Vmax.故答案为：A.【点睛】这个题目考查了实际应用问题，利用了导数研究函数的最值问题，通
4、过导数研究导函数的正负得到函数的单调区间，进而得到函数的单调性，得到函数的最值.2C【解析】【分析】设出正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长，求出正方体的表面积和三棱锥D1-AB1C的表面积即可【详解】设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，则正方体ABCD-A1B1C1D1的表面积为S2=6a2，且三棱锥D1-AB1C为各棱长均为 的正四面体，其中一个面的面积为 所以三棱锥D1-AB1C的表面积为： 所以三棱锥D1-AB1C的体积与正方体ABCD-A1B1C1D1的表面积之比为： 故选：C【点睛】本题考查了正方体与三棱锥的表面积公式的应用问题，是基础题目3D【解析】由可知ABC为直角
5、三角形，所以ABC的外心为的中点，由四面体的体积公式可知，当顶点到平面的距离最大时，有最大体积，当，球心共线时，顶点到平面的距离最大，由题可求得此时顶点到平面的距离为，设球的半径为，则球心到圆心的距离为,则，解得，则球的表面积，故选D.考点：三棱锥的体积，球的表面积.4B【解析】当此四棱锥的体积取得最大值时，四棱锥为正四棱锥，设球的半径为，因为底面是正方形且和球心在同一平面内，所以正四棱锥的底面边长为，高为，所以，所以球的表面积为，故选B 考点：四棱锥的体积与球的表面积公式5B【解析】由三视图可知该几何体为三棱锥，底面为等腰直角三角形，直角边为，高为，所以体积为，故选B.考点：三视图，三棱锥的
6、体积.6C【解析】由三视图可知，原几何体是一个三棱柱被截去了一个小三棱锥得到的，如图，故选C. 考点：三视图，几何体的体积.7D【解析】由题图可知该几何体为正六棱锥，侧视图为等腰三角形，其中底边长为，高与正视图的高相同，为，所以面积为，故选D.考点：三视图，侧面积.8【解析】【分析】设正四面体的外接球的半径为R，由已知得R. 如图，连接DE，O1D，因为AE为球的直径，故ADDE，AEO1D. 设ADa，则由已知得O1Da，故AO1a.所以O1E2RAO12a.由AO1DDO1E知O1D2AO1O1E，解得a，由此能求出正四面体ABCD的体积【详解】设正四面体的外接球的半径为R，由已知得R34
7、，故R.如图，连接DE，O1D，因为AE为球的直径，故ADDE，AEO1D. 设ADa，则由已知得O1Daa，故AO1a.所以O1E2RAO12a.由AO1DDO1E知O1D2AO1O1E，即a，解得a (a0舍去)故正四面体的体积Va2AO18.【点睛】本题考查正四面体体积的求法，考查正四面体外接球等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题9123【解析】设正方体的棱长为a，三个球的半径依次为，表面积依次为正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是正方体六个面的中心，则有2r1a，所以球与正方体的各棱的切点为每条棱的中点
8、，则有2r2a，所以正方体的各个顶点在球面上，则有2r3a，所以综上可得S1S2S3123考点：球的表面积.10（1） 169.6 （2） 1 200【解析】（1）因为半球的直径是6 cm，所以半径R3 cm，所以两个半球的体积之和为V球R32736（cm3）又圆柱筒的体积为V圆柱R2h9218（cm3）所以这种“浮球”的体积是VV球V圆柱361854169.6（cm3）（2）上下两个半球的表面积是S球表4R24936（cm2），又“浮球”的圆柱筒的侧面积为S圆柱侧2Rh23212（cm2），所以1个“浮球”的表面积为S（m2）因此2 500个这样的“浮球”的表面积为2 500S2 50012（m2）因为每平方米需要涂胶100克，所以共需要胶的质量为100121 200（克）考点：圆柱、球的体积、表面积.11【解析】【分析】将边长为1的正方形沿对角线AC折起到，使得平面 平面,可以直接求出三棱锥的底面积和高，利用体积公式求得结果.【详解】根据题意，可知所得的三棱锥的底面是一个直角三角形（正方形的一半），其高为点到底面的距离，即为半条对角线，即为，所以三棱锥的体积为，故答案是.【点睛】该题考查的是有关平面图形的翻折问题，折后求相关的几何体的体积的问题，在解题的过程中，注意应用折后所满足的条件，利用公式求得底面积和高，利用椎体的体积公式求得结果.
