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1、函,数,的,应,用,第三章,本章内容,3.1 函数与方程,3.2 函数模型及其应用,第三章 小结,3.2 数学模型,及其应用,3.2.2 函数模型的应用实例(第一课时),3.2.1 几类不同增长的函数模型,3.2.2 函数模型的应用实例(第二课时),3.2.1,几类不同增长,的函数模型,返回目录,1. 你所学过的函数中, 哪些是定义在正数范围内的增函数? 各自的增长变化有什么特点?,2. 几种函数相比较, 在一定的范围内, 什么函数的增长速度最快?,问题1. 我们学习了哪些基本函数? 这些函数的图象是怎样的? 在解决实际问题时, 你如何选择函数模型?,一次函数,二次函数,指数函数,对数函数,幂
2、函数,图象为直线, 有单增单减两种情况.,图象为抛物线, 有增减两区间.,图象为过定点的曲线, 有单增单减,两种情况.,图象为过定点的曲线, 有单增单减,两种情况.,图象为直线或曲线, 正指数幂在,0, +)上是增函数.,如何选择函数模型来刻画实际问题, 我们举例说明.,例1. 某人有一笔资金用于投资, 现有三种投资方案供选择, 这三种投资方案的回报如下: 方案一: 每天回报40元; 方案二: 第一天回报10元, 以后每天比前一天多回报10元; 方案三: 第一天回报0.4元, 以后每天回报比前一天翻一番. 请问: 选择哪种投资方案收益最好?,解:,设第 x 天所得回报为 y 元,方案一:,y=
3、40 (xN*),方案二:,y=0.42x-1(xN*).,方案三:,y=10x (xN*),三种方案中, 方案一无增长,若投资5天以下, 方案一的每天收益最大;,若投资58天,方案二的每天收益最大;,若投资8天以上, 方案三最好.,画图象观察.,增长最快的是方案三,51.2,204.8,10,90,102.4,40,y=40,y=10x,y=0.42x-1,方案1,方案2,方案3,例2. 某公司为了实现1000万元利润的目标, 准备制定一个激励销售部门的奖励方案: 在销售利润达到10万元时, 按销售利润进行奖励, 且奖金 y (单位: 万元) 随销售利润 x (单位: 万元) 的增加而增加,
4、 但奖金总数不超过 5万元, 同时奖金不超过利润的 25%, 现有三个奖励模型: y=0.25x, y=log7x+1, y=1.002x, 其中哪个模型能符合公司的要求?,解:,在奖励模型中, 其定义域为,x|10x1000.,按要求, 三个函数的最大值不能超过 5 万元, 同时, y 又,不能超过 x 的 25%.,三个函数在 10, 1000上都是增函数, 其最大值分别是:,y1=0.251000,=250(万元),y2=log71000+1,4.55(万元),y3=1.0021000,7.37(万元).,只有第二个函数 y=log7x+1 符合第一条要求.,再看函数 y=log7x+1
5、 是否满足第二个条: y25%x,即 log7x+125%x, log7x0.25x-1,log7x 和 0.25x-1 都是增函数, 如图:,x,1.5,1.18,2.37,3.55,y=log7x,y=0.25x-1,24,在 10, 1000 内,log7x0.25x-1 成立.,模型 y=log7x+1 符合要求.,100,在 10, 1000 内,最大值不能超过 5 万元, ,y 不能超过 x 的 25%,用计算器算得 y=log71000+14.555,y=1.0021000 7.375, y=log7x+1 符合条件.,另解:,利用几何画板画出三个函数的图象进行分析.,即 y0.
6、25 x, ,很明显, y=0.25x 不满足.,用计算器算得,y=1.002x 不满足.,指数函数随着 x 的增大增长速度很快,y=log7x+1是增函数,且在 10, 1000 内 log7x+10.25x.,上述例子中, 我们接触到了常数函数 y=40, 一次函数 y=10x, y=0.25x-1, 指数函数 y=0.410x, y=1.002x, 对数函数 y=log7x.,这些函数中增长最快的是指数函数, 增长最慢的是对数函数, 常函数没有增长.,应用函数的图象, 通过分析函数的增长速度, 函数的值域等来选择函数模型.,问题2. 我们学过的几种基本函数, 当它们同时是增函数时, 它们
7、的增长快慢如何? 如 y=2x, y=x2, y=2x, y=log2x, 当 x0 时, 随着 x 的增大, 各函数 y 的增长速度如何?,y=2x,y=x2,y=2x,y=log2x,增长速度最慢的是:,对数函数.,增长速度最快的是:,指数函数.,幂函数 y=x2 与一次函数 y=2x,比较:,尽管开始时, y=x2 的增长,不如 y=2x,但到某个数以后,y=x2 的增长速度比 y=2x 快得多.,指数函数 y=2x 与幂函数 y=x2,也是如此.,一般地, 对于指数函数 y=ax (a1) 和幂函数 y=xn (n0), 在区间 (0, +) 上, 无论 n 比 a 大多少, 尽管在
8、x 的一定范围内, ax 会小于 xn, 但 ax 增长快于 xn, 总存在一个 x0, 当 xx0 时, 就会有 axxn.,同样地, 对于对数函数 y=logax (a1) 和幂函数y=xn (n0), 在区间 (0, +)上, 随着 x 的增大, logax增长越来越慢. 尽管在 x 的一定范围内, logax 可能会大于 xn , 但总存在一个 x0, 当 xx0 时, 就会有 logaxxn.,特例如图:,x3,2x,log2x,125,512,1000,1231,32,256,1024,2048,5,8,10,11,y=x3,y=2x,y=log2x,x,5,8,10,11,32,
9、256,1024,2048,125,512,1000,1231,2.32,3,3.32,3.46,1,指数函数 y = 2x,幂函数 y = x3,对数函数 y = log2x,随着 x 的增大, 2x 的图象,几乎垂直向上, 增速很大.,练习:,第101页,只 1 题,练习: (课本101页),在同一平面直角坐标系内作出下列函数的图象, 并比较它们的增长情况: (1) y=0.1ex-100, x1, 10; (2) y=20lnx+100, x1, 10; (3) y=20x, x1, 10.,y=0.1ex-100,y=20lnx+100,y=20x,在1, 5, 一次函数 y=20x,
10、在5, 10, 指数型函数,增长最快,y=0.1ex-100 增长最快.,练习: (课本101页),在同一平面直角坐标系内作出下列函数的图象, 并比较它们的增长情况: (1) y=0.1ex-100, x1, 10; (2) y=20lnx+100, x1, 10; (3) y=20x, x1, 10.,y=0.1ex-100,y=20lnx+100,y=20x,约在 x7 时, y=20lnx+100最大.,约在 7x7.8 时, y=20x 最大.,约在 x7.8 时, y=0.1ex-100 最大.,【课时小结】,几种函数模型的增长特点,(1) 各自特点:, 指数函数和二次幂,函数先慢后
11、快., 一次函数均匀增长., 对数函数先快后慢.,【课时小结】,几种函数模型的增长特点,(2) 相互比较:, x 很小时, 对数函数,增速最快, 但是负值., x 很小时, 直线快于, x 较小时, 幂函数快,幂函数和指数函数.,于指数函数., x 增大到一定数值时,指数函数最快, 对数函数最慢.,“直线上升, 指数爆炸, 对数增长.”,练习:,第98页,第 1、2 题,练习: (课本98页),1. 四个变量 y1、y2、y3、y4 随变量 x 变化的数据如下表:,关于 x 呈指数型函数变化的变量是 .,2. 某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的, 如果某台计算机感染上这种病毒, 那么它就会
12、在下一轮病毒发作时传播一次病毒, 并感染其他20台未感染病毒的计算机. 现有10台计算机被第 1 轮病毒感染, 问被第 5 轮病毒感染的计算机有多少台?,1. 四个变量 y1、y2、y3、y4 随变量 x 变化的数据如下表:,关于 x 呈指数型函数变化的变量是 .,分析:,y1, y2, y3 都是,增长速度最快的,所以 y2 最有可能,y4 是减函数, 画出,是指数型函数.,图象如图:,增函数,是 y2,y4 也可能是,指数形函数.,y2,y4,解:,第 1 轮病毒发作时被感染的台数:,10台,被第 2 轮病毒感染的台数:,1020台,被第 3 轮病毒感染的台数:,102020台,被第 4
13、轮病毒感染的台数:,10202020台,被第 5 轮病毒感染的台数:,10204台,=1600000台.,答: 在第 5 轮病毒发作时可能有160万台计算机被感染.,2. 某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的, 如果某台计算机感染上这种病毒, 那么它就会在下一轮病毒发作时传播一次病毒, 并感染其他20台未感染病毒的计算机. 现有10台计算机被第 1 轮病毒感染, 问被第 5 轮病毒感染的计算机有多少台?,3.2.2,函数模型的应用实例,(第一课时),返回目录,1. 在实际问题中, 如何从不同的形式中获取数据信息?,2. 如何建立实际问题的函数模型?,3. 如何检验函数模型对实际问题的拟合效果
14、?,下面我们将通过例题分析的形式进行学习讨论.,上课时, 我们讨论了几种函数模型的增长情况. 怎样用这些函数模型来反映和解决实际问题?,例3. 一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示. (1) 求图中阴影部分的面积, 并说明所求面积的实际含义; (2) 假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为 2004 km, 试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数 s km与时间 t h 的函数解析式, 并作出相应的图象.,解:,(1),面积 S=,=360.,图中的横坐标是时间, 纵坐标是速度,则阴影部分的面积表示5小时所走过的路程.,(50+80+90+75+65)1,例3. 一辆汽
15、车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示. (1) 求图中阴影部分的面积, 并说明所求面积的实际含义; (2) 假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为 2004 km, 试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数 s km与时间 t h 的函数解析式, 并作出相应的图象.,解:,(2),列表表示:,时间段 t,速度,里程表读数 s,0, 1),1, 2),2, 3),3, 4),4, 5),50,80,90,75,65,2004+50t,2054+80(t-1),2134+90(t-2),2224+75(t-3),2299+65(t-4),例3. 一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示. (1) 求图中阴影部分的面积, 并说明所求面积的实际含义; (2) 假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为 2004 km, 试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数 s km与时间 t h 的函数解析式, 并作出相应的图象.,解:,(2),列表表示:,例3. 一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示. (1) 求图中阴影部
