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1、第二章,推理与证明,22 直接证明与间接证明,22.2 反证法,自主预习学案,1反证法的定义 一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出_，因此说明假设_，从而证明了原命题_，这样的证明方法叫做反证法反证法是间接证明的一种基本方法 2反证法证题的原理 (1)反证法的原理是“否定之否定等于肯定” (2)用反证法解题的实质就是否定结论，导出矛盾，从而说明原结论正确,矛盾,成立,错误,1应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用( ) 原结论的相反判断，即假设 原命题的结论 公理、定理、定义等 原命题的条件 A B C D 解析 由反证法的规则可知都可作为条件使用，故应选C,C
2、,2用反证法证明某命题时，对其结论：“自然数a、b、c中恰有一个偶数”正确的反设为( ) Aa、b、c都是奇数 Ba、b、c都是偶数 Ca、b、c中至少有两个偶数 Da、b、c中至少有两个偶数或都是奇数 解析 “自然数a、b、c中恰有一个偶数”即a、b、c中有两奇一偶，故其反面应为都是奇数或两偶一奇或都是偶数，故选D,D,3如果两个实数之和为正数，则这两个数( ) A一个是正数，一个是负数 B两个都是正数 C至少有一个正数 D两个都是负数 解析 假设两个数分别为x1、x2，且x10，x20，则x1x20，这与两个数之和为正数矛盾，所以两个实数至少有一个正数，故应选C 4“任何三角形的外角都至少
3、有两个钝角”的否定应是_ 解析 全称命题的否定形式为特称命题，而“至少有两个”的否定形式为“至多有一个”故该命题的否定为“存在一个三角形，其外角最多有一个钝角”,C,存在一个三角形，其外角最多有一个钝角,互动探究学案,命题方向1 用反证法证明否(肯)定性命题,典例 1,(1)(2017武汉高二检测)用反证法证明命题“如果ab，那么a3b3”时，假设的内容是( ) Aa3b3 Ba3b3 Ca3b3 Da3b3且a3b3,C,(2)(2017德州高二检测)用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤： ABC9090C180，这与三角形内角和为180相矛盾，则AB90
4、不成立； 所以一个三角形中不能有两个直角； 假设A、B、C中有两个角是直角，不妨设AB90 正确顺序的序号排列为_ 解析 (1)假设的内容应为结论“a3b3”的否定“a3b3”，故选C (2)根据反证法证题的三步骤：否定结论、导出矛盾、得出结论,规律总结 1用反证法证明否定性命题的适用类型 结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法 2用反证法证明数学命题的步骤,特别提醒：(1)用反证法证题时，首先要搞清反证法证题的思路步骤，其次注意反证法是在条件较少，直接证明不易入手时常用的方法 (2)结论中含有“不”“不是
5、”“不可能”“不存在”“没有”等词语的否定性命题，结论的反面比较具体，适于应用反证法 (3)注意否定结论时，要准确无误,命题方向2 反证法证明“至多”“至少”问题,典例 2,规律总结 1当命题中出现“至少”、“至多”、“不都”、“都不”、“没有”、“唯一”等指示性词语时，宜用反证法 2用反证法证题，必须准确写出命题的否定，把命题所包含的所有可能情形找全，范围既不缩小，也不扩大常用反设词如下：,命题方向3 用反证法证明存在性、唯一性命题,已知：一点A和平面 求证：经过点A只能有一条直线和平面垂直 思路分析,典例 3,规律总结 1证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性当证明
6、结论以“有且只有”、“只有一个”、“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以宜用反证法证明 2若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立,跟踪练习3 若函数f(x)在区间a，b上的图象连续，且f(a)0，f(x)在a，b上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点,正难则反是运用反证法的原则，有一些基础命题都是我们在数学中常运用的明显事实，它们的判定方法极少，宜用反证法证明这些题型有：(1)一些基本命题、基本定理；(2)易导出与已知矛盾的命题；(3)“否定性”命题；(4)“唯一性”命题；(5)“必然性”命题；(6)“至多”“至少”类
7、命题；(7)涉及“无限”结论的命题,适宜运用反证法证明的命题,已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y1ax22bxc，y2bx22cxa和y3cx22axb确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点,典例 4,规律总结 1反证法的“归谬”是反证法的核心，其含义是从假设(即把“反设”作为一个新的已知条件)及原命题的条件出发，引用一系列论据进行正确推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果 2反证法中引出矛盾的结论，不是推理本身的错误，而是开始假定的“结论的反面”是错误的，从而肯定原结论是正确的,跟踪练习4 证明：对于直线l：ykx1，不存在这样的实数k，使得l与双曲线C：3x
8、2y21的交点A，B关于直线yax(a为常数)对称,已知abc0，abbcca0，abc0，求证：a0，b0，c0 错解 假设a0，b0，c0，则abc0，abc0与题设条件abc0，abc0矛盾 假设不成立，原命题成立 辨析 错解没有弄清原题待证的结论是什么？导致反设错误“求证：a0，b0，c0”的含义是“求证a、b、c三数都是正数”，故反设应为“假设a、b、c中至少有一个不大于0”,结论反设不当致误,典例 5,正解 证法1：假设a、b、c中至少有一个不大于0，不妨设a0，若a0，得bc0得，bca0， abbcaca(bc)bc0矛盾 又若a0，则abc0与abc0矛盾 故“a0”不成立，
9、a0， 同理可证b0，c0 证法2：假设a、b、c是不全为正的实数，由于abc0，所以a、b、c中只能是两负一正，不妨设a0， abbcac0，a(bc)bc0， bc0， a0矛盾，故假设不成立，原结论成立 即a，b，c全为正实数,点评 含“至多”、“至少”、“唯一”等的结论，或以否定形式给出的结论，常用反证法证明证明的第一步是写出结论的否定，否定一定要准确，证明时要将全部可能情形一一推证,1命题“ABC中，若AB，则ab”的结论的否定应该是( ) Aab”的对立面为“ab” 2“实数a，b，c不全为0”等价于( ) Aa，b，c均不为0 Ba，b，c中至多有一个为0 Ca，b，c中至少有一个为0 Da，b，c中至少有一个不为0 解析 “不全为0”的对立面为“全为0”，故“不全为0”的含义为“至少有一个不为0”,B,D,B,
