《2018_2019学年高中数学第一章导数及其应用1.4生活中的优化问题举例习题新人教a版选修2_》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018_2019学年高中数学第一章导数及其应用1.4生活中的优化问题举例习题新人教a版选修2_（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第一章1.4 生活中的优化问题举例 A级基础巩固一、选择题1(2017杭州高二检测)炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时时，原油温度(单位：)为f(x)x3x28(0x5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是(C)A8 B C1 D8解析瞬时变化率即为f (x)x22x为二次函数，且f (x)(x1)21，又x0,5，故x1时，f (x)min12(2017西安高二检测)要做一个圆锥形的漏斗，其母线长20 cm，要使其体积最大，则高为(D)A cm Bcm Ccm Dcm解析设圆锥的高为x cm，则底面半径为(cm)，其体积为Vx(202x2)(0x20)，V(
2、4003x2)，令V0，解得x1，x2(舍去)当0x0，当x20时，V0，当x时，V取最大值3把长为12 cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是(D)Acm2 B4 cm2 C3cm2 D2cm2解析设一个三角形的边长为xcm，则另一个三角形的边长为(4x)cm，两个三角形的面积和为Sx2(4x)2x22x4令Sx20则x2，所以Smin24(2017泰安高二检测)已知某个车轮旋转的角度(弧度)与时间t(秒)的函数关系是t2(t0)则车轮启动后16秒时的瞬时速度为(B)A20弧度/秒 B10弧度/秒C8弧度/秒 D5弧度/秒解析，车轮启动16秒时的瞬
3、时速度为：1610故选B5如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为(A)A()3 B()3C()3 D()3解析设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则4r2hl，h，Vr2hr22r3(0r0，r是其唯一的极值点当r时，V取得最大值，最大值为()36用总长为6m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的相邻两边长之比为34，那么容器容积最大时，高为(A)A05m B1m C08m D15m解析设容器底面相邻两边长分别为3xm、4xm，则高为(m)，容积V3x4x18x284x3，V36x252x2，由V0得x或x0(舍去)x时，V0，x时，V0)，yx2，由y0，得x25
4、，x(0,25)时，y0，x(25，)时，y0，所以x25时，y取最大值8如图所示，一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积一定，窗户周长最小时，x与h的比为11解析设窗户面积为S，周长为L，则Sx22hx，hx，窗户周长Lx2x2hx2x，L2由L0，得x，x时，L0，当x时，L取最小值，此时1三、解答题9成都某景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y万元与投入x(x10)万元之间满足：yf(x)ax2xbln，a，b为常数当x10万元时，y192万元；当x30万元时，y505万元(参考数据：ln207，ln311，ln516
5、)(1)求f(x)的解析式；(2)求该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值(利润旅游增加值投入)解析(1)由条件可得解得a，b1，则f(x)xln(x10)(2)T(x)f(x)xxln(x10)，则T(x)，令T(x)0，则x1(舍)或x50，当x(10,50)时，T(x)0，因此T(x)在(10,50)上是增函数；当x(50，)时，T(x)0，因此T(x)在(50，)上是减函数，当x50时，T(x)取最大值T(50)50ln244(万元)即该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值为244万元10如图所示，设铁路AB50，B，C之间距离为10，现将货物从A运往C，已知单位距离铁路费用为2，
6、公路费用为4，问在AB上何处修筑公路至C，可使运费由A到C最省？解析设MBx，于是AM上的运费为2(50x)，MC上的运费为4，则由A到C的总运费为p(x)2(50x)4(0x50)p(x)2，令p(x)0，解得x1，x2(舍去)当0x时，p(x)0；当0，所以当x时，取得最小值即在离B点距离为的点M处筑公路至C时，由A至C的货物运费最省B级素养提升一、选择题1若球的半径为R，作内接于球的圆柱，则其侧面积的最大值为(A)A2R2 BR2 C4R2 DR22一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积为S，为使窗户周长最小，用料最省，圆的半径应为(C)A BC D2解析设圆的半径为x，记矩形高为
7、h，则窗户的面积为S2hx，2hx则窗户周长为lx2x2h2x令l20，解S或(舍)因为函数只有一个极值点，所以x为最小值点，所以使窗户的周长最小时，圆的半径为，故C二、填空题3(2018沈阳高二检测)某银行准备设一种新的定期存款业务，经预测，存款额与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k0)，贷款的利率为48%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去若存款利率为x(x(0,48%)，则使银行获得最大收益的存款利率为0032解析用y表示银行的收益，由题可知存款量是kx2，银行应付的利息为kx3，银行应获得的贷款利息为0048kx2y0048kx2kx3，x(0,0048)y0096x3kx23kx(
8、0032x)令y0，解x0032或x0(舍)当0x0，当0032x0048，y88ln 2；(2)若a34ln 2，证明：对于任意k0，直线ykxa与曲线yf(x)有唯一公共点解析(1)证明：函数f(x)的导函数为f(x)由f(x1)f(x2)得因为x1x2，所以由基本不等式得2因为x1x2，所以x1x2256由题意得f(x1)f(x2)ln x1ln x2ln (x1x2)设g(x)ln x，则g(x)(4)，x(0,16)16(16，)g(x)0g(x)24ln 2所以g(x)在256，)上单调递增，故g(x1x2)g(256)88ln 2，即f(x1)f(x2)88ln 2(2)证明：令
9、me(|a|k)，n21，则f(m)kma|a|kka0，f(n)knann0，直线ykxa与曲线yf(x)有唯一公共点6甲乙两地相距400km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100km/h，已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(km/h)的函数关系是Pv4v315v(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式；(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值解析(1)汽车从甲地到乙地需用h，故全程运输成本为Q6000(0，60，因此，f(x)在(6,50上是增函数；当x(50，)时，f(x)0，因此，f(x)在50，)上是减函数x50为极大值点当50，即t(，时，投入50万元改造时取得最大增加值；当650，即t(，)时，投入万元改造时取得最大增加值8
