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1、1、模糊数学理论,补充知识：模糊推理,A traditional set,A fuzzy set,模糊集合,模糊集合的表示,对于离散论域 。模糊集合的表示方法和经典集合表示方法的相同：可用特征函数法（序偶法）、扎德表示法、向量法表示。 假设论域X=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,设A表示一个接近于0的模糊集合，各元素的隶属度依次为 =1.0,0.9,0.8,0.7,0.6,0.5,0.4,0.3,0.2,0.1, 则A可表示为 序偶法 (0,10),(1.9),(2,0.8),(3,0.7),(4,0.6),(5,0.5),(6,0.4),(7,0.3),(8,0.2),(9,0.1)
2、 扎德表示法： 向量表示法 : 1,0.9,0.8,0.7,0.6,0.5,0.4,0.3,0.2,0.1,隶属度函数的确定,模糊集合的基本运算,模糊集合的基本运算,2、 模糊推理,模糊命题 含有模糊概念、模糊数据的语句称为模糊命题。 它的一般表示形式为： x is A 或者 x is A (CF) 其中，A是模糊概念或者模糊数，用相应的模糊集及隶属函数刻画； x是论域上的变量，用以代表所论述对象的属性； CF是该模糊命题的可信度，它既可以是一个确定的数，也可以是一个模糊数或者模糊语言值。 模糊语言值是指表示大小、长短、多少等程度的一些词汇。如：极大、很大、相当大、比较大。模糊语言值同样可用模
3、糊集描述。,模糊知识的表示,（1）模糊产生式规则的一般形式是： IF E THEN H (CF,) 其中，E是用模糊命题表示的模糊条件；H是用模糊命题表示的模糊结论；CF是知识的可信度因子，它既可以是一个确定的数，也可以是一个模糊数或模糊语言值。是匹配度的阈值，用以指出知识被运用的条件。例如： IF x is A THEN y is B (CF,) （2）推理中所用的证据也用模糊命题表示，一般形式为 x is A 或者 x is A (CF) （3）模糊推理要解决的问题：证据与知识的条件是否匹配：如果匹配，如何利用知识及证据推出结论。,模糊匹配与冲突消解,在模糊推理中，知识的前提条件中的A与证
4、据中的A不一定完全相同，因此首先必须考虑匹配问题。例如： IF x is 小 THEN y is 大 (0.6) 证据： x is 较小 两个模糊集或模糊概念的相似程度称为匹配度。常用的计算匹配度的方法主要有贴近度、语义距离及相似度等。 1）贴近度 设A与B分别是论域U=u1,u2,un上的两个模糊集，则它们的贴近度定义为：(A,B)= AB+(1-AB) /2 其中,(1) 海明距离 (2) 欧几里得距离 (3) 明可夫斯基距离 匹配度为：1-d(A,B),2）语义距离,匹配度举例,设U=a,b,c,d A=0.3/a+0.4/b+0.6/c+0.8/d B=0.2/a+0.5/b+0.6/
5、c+0.7/d 贴近度： AB=(0.30.2)(0.40.5)(0.60.6)(0.80.7)=0.7 AB=(0.30.2)(0.40.5)(0.60.6)(0.80.7)=0.3 (A,B)=1/2AB+(1-AB)=1/20.7+(1-0.3)=0.7 海明距离： d(A,B)=1/4(|0.3-0.2|+|0.4-0.5|+|0.6-0.6|+|0.8-0.7|)=0.075 (A,B)=1-d(A,B)=1-0.075=0.925,(1) 分别计算出每一个子条件与其证据的匹配度 例如对复合条件 E=x1 is A1 AND x2 is A2 AND x3 is A3 及相应证据E:
6、 x1 is A1 , x2 is A2 , x3 is A3 分别算出Ai与Ai的匹配度 match(Ai,Ai),i=1,2,3。 (2) 求出整个前提条件与证据的总匹配度。目前常用的方法有“取极小”和“相乘”等。 match(E,E)=minmatch(A1,A1),match(A2,A2), match(A3,A3) match(E,E)=match(A1,A1)match(A2,A2)match(A3,A3) (3) 检查总匹配度是否满足阈值条件，如果满足就可以匹配，否则为不可匹配。,复合条件的模糊匹配,模糊推理中的冲突消解,1） 按匹配度大小排序 2） 按加权平均值排序 例如，设U
7、=u1,u2,u3,u4,u5, A=0.9/u1+0.6/u2+0.4/u3 B=0.6/u2+0.8/u3+0.5/u4 C=0.5/u3+0.8/u4+1/u5 D=0.8/u1+0.5/u2+0.1/u3 并设有如下模糊知识： R1: IF x is A THEN y is H1 R2: IF x is B THEN y is H2 R3: IF x is C THEN y is H3 用户提供的初始证据为： E: x is D,match(A,D)=D(u1)/A(u1)+D(u2)/A(u2)+D(u3)/A(u3) =0.8/0.9+0.5/0.6+0.1/0.4 同理可得： m
8、atch(B,D)=0.8/0+0.5/0.6+0.1/0.8 match(C,D)=0.8/0+0.5/0+0.1/0.5 以上D与A、B、C的匹配度用模糊集形式表示。 下面求匹配度的加权平均值： AV(match(A,D)=(0.80.9+0.50.6+0.10.4)/(0.9+0.6+0.4)=0.56 同理可得： AV(match(B,D)=0.27 AV(match(C,D)=0.1 于是得到： AV(match(A,D)AV(match(B,D)AV(match(C,D) 所以R1是当前首先被选用的知识。,3）按广义顺序关系排序 由上例可得： match(A,D)=D(u1)/A(
9、u1)+D(u2)/A(u2)+D(u3)/A(u3) =0.8/0.9+0.5/0.6+0.1/0.4 match(B,D)=0.8/0+0.5/0.6+0.1/0.8 match(C,D)=0.8/0+0.5/0+0.1/0.5 下面以match(A,D)与match(B,D)为例说明广义顺序排序的方法： 首先用match(B,D)的每一项分别与match(A,D)的每一项进行比较。比较时D(ui)与D(uj)中取其小者， A(ui)与B(uj)按如下规则取值：若A(ui)B(uj)则取“1”；若A(ui)0 ，则就认为match(A,D)优于match(B,D) ，记为match(A,D
10、) match(B,D) 。,按这种方法，对match(A,D)与match(B,D)可以得到： 0.8/1+0.5/1+0.1/1+0.5/1+0.5/1+0.1/0+0.1/1+0.1/0+0.1/0 =0.8/1+0.1/0 由于1=0.80=0.1，所以得到： match(A,D) match(B,D) 同理可得： match(A,D) match(C,D) match(B,D) match(C,D) 最后得到： match(A,D) match(B,D)match(C,D) 由此可知R1应该是首先被选用的知识。,模糊推理的基本模式,1） 模糊假言推理 知识：IF x is A THE
11、N y is B 证据： x is A - 结论： y is B 对于复合条件有： 知识：IF x1 is A1 AND x2 is A2 ANDAND xn is An THEN y is B 证据： x1 is A1 ， x2 is A2 ， ， xn is An - 结论： y is B,2）模糊拒取式推理 知识：IF x is A THEN y is B 证据： y is B - 结论： x is A 知识：IF x is A THEN y is B 证据： y is not B - 结论： x is not A,简单模糊推理,知识中只含有简单条件，且不带可信度因子的模糊推理称为简单模
12、糊推理。 合成推理规则：对于知识 IF x is A THEN y is B 首先构造出A与B之间的模糊关系R，然后通过R与证据的合 成求出结论。 如果已知证据是 x is A 且A与A可以模糊匹配，则通过下述合成运算求取B： B=AR 如果已知证据是 y is B 且B与B可以模糊匹配，则通过下述合成运算求出A： A=RB,构造模糊关系R的方法,扎德方法、Mamdani方法(自学）、 Mizumoto方法(自学） 扎德提出了两种方法：一种称为条件命题的极大极小规则；另一种称为条件命题的算术规则，由它们获得的模糊关系分别记为Rm和Ra。 设A(U), B(V)，其表示分别为 且用， 分别表示模
13、糊集的笛卡儿乘积、并、交、补及有界和运算，则扎德把Rm和Ra分别定义为：,IF x is A THEN y is B 对于模糊假言推理，若已知证据为 x is A 则： Bm=ARm Ba=ARa 对于模糊拒取式推理，若已知证据为 y is B 则： Am=RmB Aa=RaB,扎德法推理举例,例 设U=V=1,2,3,4,5, A=1/1+0.5/2, B=0.4/3+0.6/4+1/5 并设模糊知识及模糊证据分别为： IF x is A THEN y is B x is A 其中，A的模糊集为：A=1/1+0.4/2+0.2/3 则由模糊知识可分别得到Rm与Ra：,Bm=ARm =1,0.
14、4,0.2,0,0 =0.4,0.4,0.4,0.6,1 Ba=ARa=0.4,0.4,0.4,0.6,1 若已知证据为：y is B，且B=0.2/1+0.4/2+0.6/3+0.5/4+0.3/5，则： Am=RmB Aa=RaB=0.5,0.6,0.6,0.6,0.6,模糊判决方法,在推理得到的模糊集合中取一个相对最能代表这个模糊集合的单值的过程就称作解模糊或模糊判决（Defuzzification）。 模糊判决可以采用不同的方法：重心法、最大隶属度方法、加权平均法、隶属度限幅元素平均法。,下面介绍各种模糊判决方法，并以“水温适中”为例，说明不同方法的计算过程。 假设“水温适中”的隶属函
15、数为 F (x)=X：0.0/0+0.0/10+0.33/20+0.67/30+1.0/40+1.0/50 +0.75/60+0.5/70+0.25/80+0.0/90+0.0/100,所谓重心法就是取模糊隶属函数曲线与横坐标轴围成面积的重心作为代表点。理论上应该计算输出范围内一系列连续点的重心，即,但实际上是计算输出范围内整个采样点（即若干离散值）的重心。这样，在不花太多时间的情况下，用足够小的取样间隔来提供所需要的精度，这是一种最好的折衷方案。,1)、重心法,=（00.0+100.0+20.033+300.67+401.0+501.0 +600.75+700.5+800.25+900.0+1000.0） /（0.0+0.0+0.3
